高中全程复习方略课时提能演练：2.7幂 函 数.doc

课时提能演练(十)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2012·南昌模拟)已知f(x)＝，则f(f(f(－2)))的值为(　　)
(A)0　　　　(B)2　　　　(C)4　　　　(D)8
2.(2012·榆林模拟)已知幂函数f(x)＝xα的图像经过点(2，)，则函数f(x)的定义域为(　　)
(A)(－∞，0) (B)(0，＋∞)
(C)(－∞，0)∪(0，＋∞) (D)(－∞，＋∞)
3.已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，则实数m的取值范围是(　　)
(A)(0，＋∞) (B)(1，＋∞)
(C)(0,1) (D)(－∞，0)
4.(2012·渭南模拟)函数y＝x－1的图像关于x轴对称的图像大致是(　　)

5.设函数f(x)＝，若f(a)＜1，则实数a的取值范围是(　　)
(A)(－∞，－3) (B)(1，＋∞)
(C)(－3,1) (D)(－∞，－3)∪(1，＋∞)
6.(易错题)设函数f(x)＝x3，若0≤θ≤时，f(mcosθ)＋f(1－m)＞0恒成立，则实数m的取值范围为(　　)
(A)(－∞，1) (B)(－∞，) (C)(－∞，0) (D)(0,1)
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.设x∈(0,1)，幂函数y＝xa的图像在直线y＝x的上方，则实数a的取值范围是　　　　.
8.已知幂函数f(x)＝，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是　　　　.
9.(2012·蚌埠模拟)已知函数f(x)＝xα(0<α<1，x>0)，对于下列命题：
①若x>1，则f(x)>1；
②若0<x1<x2，则f(x2)－f(x1)>x2－x1；
③若f(x1)>f(x2)，则x1>x2；
④若0<x1<x2，则x2f(x1)<x1f(x2)；
⑤若0<x1<x2，则<f().
其中正确的命题序号是　　　.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·开封模拟)已知函数f(x)＝xm－且f(4)＝.
(1)求m的值；
(2)判定f(x)的奇偶性；
(3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明.
11.已知点(2,4)在幂函数f(x)的图像上，点(，4)在幂函数g(x)的图像上.
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)问当x取何值时有：①f(x)＞g(x)；
②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x).
【探究创新】
(16分)已知幂函数y＝f(x)＝ (p∈Z)在(0，＋∞)上是增函数，且是偶函数.
(1)求p的值并写出相应的函数f(x)；
(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)＝－qf(f(x))＋(2q－1)f(x)＋1.
试问：是否存在实数q(q＜0)，使得g(x)在区间(－∞，－4]上是减函数，在
(－4,0)上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，说明理由.

答案解析
1.【解析】选C.f(f(f(－2)))＝f(f(0))＝f(2)＝22＝4.
2.【解析】选C.由题意得2α＝，∴α＝－1，
∴f(x)＝x－1＝.其定义域为{x|x≠0}.
3.【解析】选A.∵0＜0.71.3＜0.70＝1，
1.30.7＞1.30＝1，∴0＜0.71.3＜1.30.7.
又(0.71.3)m＜(1.30.7)m，
∴函数y＝xm在(0，＋∞)上为增函数，故m＞0.
4.【解析】选B.∵y＝－1＝－1的图像是把y＝的图像向下平移1个单位得到的，如图所示.
∴选B.
5.【解题指南】分a＜0，a≥0两种情况分类求解.
【解析】选C.当a＜0时，()a－7＜1，
即2－a＜23，∴a＞－3，∴－3＜a＜0.
当a≥0时，＜1，∴0≤a＜1.
综上可得：－3＜a＜1.
6.【解题指南】求解本题先由幂函数性质知f(x)＝x3为奇函数，且在R上为单调增函数，将已知不等式转化为关于m与cosθ的不等式恒成立求解.
【解析】选A.因为f(x)＝x3为奇函数且在R上为单调增函数，
∴f(mcosθ)＋f(1－m)＞0f(mcosθ)＞f(m－1)
mcosθ＞m－1mcosθ－m＋1＞0恒成立，
令g(cosθ)＝mcosθ－m＋1，
又0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，
则有：，即，解得：m＜1.
7.【解析】由幂函数的图像知a∈(－∞，1).
答案：(－∞，1)
8.【解析】由于f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数且定义域为(0，＋∞)，则由f(a＋1)＜f(10－2a)得
，解得：3＜a＜5.
答案：(3,5)
9.【解题指南】结合幂函数f(x)＝xα(0<α<1)的图像及性质逐一验证.
【解析】幂函数f(x)＝xα(0<α<1)在第一象限的图像如图所示，
由图易知①③正确；

而当x2>x1>1时，由图像及斜率的意义知
<1，>>0，
即f(x2)－f(x1)<x2－x1，x2f(x1)>x1f(x2)，
∴②④不正确；由图②知，⑤正确.
答案：①③⑤
10.【解析】(1)因为f(4)＝，所以4m－＝，解得m＝1.
(2)由(1)知m＝1，则f(x)＝x－.
因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又f(－x)＝－x－＝
－(x－)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.
(3)方法一：设x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝x1－－(x2－)＝(x1－x2)(1＋)，因为x1＞x2＞0，所以x1－x2＞0,1＋＞0，所以f(x1)＞f(x2).
所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数.
方法二：∵f(x)＝x－，
∴f′(x)＝1＋＞0在(0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数.
11.【解析】(1)设f(x)＝xα，
∵点(2,4)在f(x)的图像上，
∴4＝2α，∴α＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，∵点(，4)在g(x)的图像上，
∴4＝()β，∴β＝－2，即g(x)＝x－2.
(2)∵f(x)－g(x)＝x2－x－2＝x2－
＝ (*)
∴当－1＜x＜1且x≠0时，(*)式小于零，
即f(x)＜g(x)；
当x＝±1时，(*)式等于零，即f(x)＝g(x)；
当x＞1或x＜－1时，(*)式大于零，即f(x)＞g(x).
因此，①当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；
②当x＝±1时，f(x)＝g(x)；
③当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x).
【误区警示】本题(2)在求解中易忽视函数的定义域{x|x≠0}而出错.失误原因：将分式转化为关于x的不等式时，忽视了等价性而致误.
【探究创新】
【解析】(1)∵幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数时，α＞0，∴－＋p＋＞0，即p2－2p－3＜0，解得－1＜p＜3，又p∈Z，∴p＝0,1,2.
当p＝0时，y＝x不是偶函数；
当p＝1时，f(x)＝x2是偶函数；
当p＝2时，f(x)＝x不是偶函数，
∴p＝1，此时f(x)＝x2.
(2)由(1)得g(x)＝－qx4＋(2q－1)x2＋1，
设x1＜x2，则g(x1)－g(x2)＝q(x24－x14)＋(2q－1)·(x12－x22)＝(x22－x12)[q(x12＋x22)－(2q－1)].
若x1＜x2≤－4，则x22－x12＜0且x12＋x22＞32，
要使g(x)在(－∞，－4]上是减函数，
必须且只需q(x12＋x22)－(2q－1)＜0恒成立.
即2q－1＞q(x12＋x22)恒成立.
由x12＋x22＞32且q＜0，得q(x12＋x22)＜32q，
只需2q－1≥32q成立，则2q－1＞q(x12＋x22)恒成立.
∴当q≤－时，g(x)在(－∞，－4]上是减函数，同理可证，当q≥－时，g(x)在(－4,0)上是增函数，
∴存在q＝－时，g(x)在(－∞，－4]上是减函数，
在(－4,0)上是增函数.