随机过程的定义.doc

例1． (随机徘徊) 无限制地抛掷一枚硬币，并按照每次抛掷结果是正面或反面，让一个粒子从初始位置0点出发，在直线上分别向右或向左走一步。问：抛掷了n次后，粒子恰走到m的概率。
事实上，由于粒子是从初始位置0点出发的，因此，当n＜|m|时，粒子是不可能走到m的，而“抛掷了n次后，粒子恰走到m”意味着：在n次走动中，恰好向左走了步；而向右走了步．此即n次抛掷中恰有次掷得正面；有次掷得反面．因此，这就需要m与n同为奇偶数。所求概率为 (当n≥|m|且m与n同为奇偶数时)，否则概率为0。
综上所述，研究一个随机试验，就是要有一个三元组：(Ω，F，P)，它称为概率空间，其中Ω是全体可能结果组成的集合；F是全体可观测事件(可以合理地给出概率的事件)组成的事件族；而P应该看成一个整体，而不是单个概率值，即P是F上定义的一个取值于[0，1]区间的函数。同时，加法公理应该满足，而且必然事件的概率应该为1。

随机过程的定义：研究对象是随时间演变的随机现象。

例1．随机相位正弦波X(t)=Acos(ωt+Θ)，t∈(－∞，+∞)；Θ～U(0，2π)

图1
例2．以X(t)表示电话交换台在时间间隔[0，t]内接到的呼叫的次数，是一随机过程。
例3．独立地连续掷一骰子，设为第n次独立地掷一骰子所出现的点数，则｛｝为一相互独立同分布的随机序列(过程)，其指标集为T＝｛1，2，3，…｝；状态空间为S＝｛1，2，3，4，5，6｝；如果把序列｛3，2，3，4，6，5，l，3，…｝称为的一条轨道，它表示第1，3，8次掷得“3”点，第2次掷得“2”点，第4次掷得“4”点，第5次掷得“6”点，…．且此时有均值为E＝3.5，方差为D()＝17.5，n＝1，2，…，协方差为Cov(，)＝0，i≠j．
定义1设(Ω，F，P)是一个概率空间，一族随机变量称为一个随机过程，其中T称为指标集，对T中的每个t，X(t)是一个随机变量X(t，ω)，对每个固定的ω，是一个定义在T上，和X(t)有同样取值范围的实值函数，称之为随机过程X的一条(样本)轨道．
对所有固定的t，X(t)的全体可能的取值，称为X的状态空间，对离散随机变量的随机过程，状态空间都可认为是正整数集，因为任何可数集与一正整数集是一一对应的．把全体状态编号，以其编号代表状态就行了。
我们常常把t解释为时间．一般来说，T是一个无限集合，如果它是可数集合，如T＝｛0，1，2，…｝，此时称X为离散参数的随机过程，或随机序列，当T＝[0，+∞)或(－∞，+∞)则称X为连续参数的随机过程。
X的全体有限维联合分布族称为X的概率分布。
例4．在上例中，如果根据每次掷得的点数决定一个粒子在平面格点上作如下运动：如果掷得l，2，3，4点，则分别向上、下、左、右移动1步，如果掷得“5”或“6”，点，则不动。如果粒子从原点(0，0)出发，记在第n步粒子所在位置为(X(n)，y(n))，则我们就得到两个随机过程｛X(n)；n＝0，l，…｝以及｛Y(n)；n＝0，l，…｝．这个随机模型称为2-维随机徘徊。
例5无限制地抛掷一枚硬币，并按照每次抛掷结果是正面或反面，让一个粒子在直线上分别向右或向左走一步。如果我们要研究，这样走下去，最终随机运动的趋向等问题，就需要将无穷多步粒子各自所在的位置作为一个整体来考虑，找出它取值的统计规律。为此，我们先要考虑无限制地抛掷硬币所得结果这一随机序列，因为它完全决定了粒子的走法。
假设每次抛掷得到正面的概率是p，这个试验的全部可能的结果组成的集合是

(其中“1”表示正面，“0”表示反面)。
于是，我们就有了概率空间(Ω，F，P)．若将第n步粒子所在的位置记为Sn，那么，在这里我们就需要研究一连串随机变量之间的动态关系，即同时研究这无穷个随机变量作为整体时，它取值的统计规律。
令

由于随机徘徊是按照硬币的抛掷结果或向右或向左走一步，因此，我们可引入一独立随机变量序列｛Zn｝满足
P(Zn＝1)＝p， P(Zn＝－1)＝1－p (n＝l，2，…)
显然
Sn＝Sn－1＋Zn＝S0十
注意到Zn与2Xn－1是同分布的，于是 ．
,
显然，这里的是一列同分布的随机变量序列：
P(Xn＝1)＝p， P(Xn＝0)＝1－p (n＝l，2，…)

又因为各次抛掷是独立的，我们有

可见又是相互独立的，所以，是一列相互独立同分布的序列(简记为i．i．d．序列)．
上述这样的随机序列是一个最简单的随机过程，称之为贝努利序列。我们称的取值范围S＝｛0, 1｝为随机过程的状态空间．对每一个固定的，就是一个取值为“0”或“l”的无穷序列，称之为X的一条轨道(或样本轨道)。X的一条典型的样本轨道如图2所示．我们称为随机徘徊，它的一条轨道是一个取值为整数的无穷序列，它的状态空间是全体整数．它的与图2相对应的一条轨道如图3所示。

图2 图3
在例1中，我们已经给出了一个随机变量的概率分布(这里)：
(q＝l－p，n＝1，2，…)
因为上面的概率就是：n个相互独立的随机事件，(i = l，2，…，n)中恰好有个发生的概率．这是因为要到达状态k，所需的步数n不可能小于| k |，故n＞| k |。若记：和；分别表示在前n步中正面和反面的出现次数，则显然有

两式相加，可得
因此
注意到必为偶数，因此，若n为偶数，则也为偶数；若n为奇数，则也为奇数。

表示n次抛掷中正面恰好出现次的概率，故只有当n≥|k|且n与k的奇偶性相同时，此概率才为非零，即等于
同理，一般地，对初始状态为的简单随机徘徊，类似可得
例6 对简单随机徘徊，求出经过，n＝4步，=－2的概率。
解 由上式知

下面我们来考察x的最重要的统计特征——有限维联合分布，这里我们先讨论简单的情形(2维的情形)，我们要求的概率是

在前面我们已经看到：随机徘徊X是一列相互独立的随机变量的部分和序列。于是，它在s个互不相交的区间上的增量分别为

它们各自是s组相互独立的随机变量的和，因此它们也相互独立．而且对任意s个互不相交的区间，都有上述的独立性。随机过程的这种性质称为独立增量性。
定义2． 设是一个随机过程，如果它在任意s个互不相交的区间上的增量， ，都相互独立，称随机过程X为一个独立增量过程．又如果对任意的n＞0，都有(n＞0)对一切m同分布，则称X为一个时齐的独立增量过程．
显然，简单随机徘徊就是一个时齐的独立增量过程。
对独立增量过程，容易知道有如下的结论：
命题1．设是一个独立增量过程，我们增补定义，则全部随机变量， (m＞n)的概率分布就决定了随机过程X的概率分布．如果X还是时齐的，则全部随机变量 (n＞0)的分布就决定了随机过程X的分布．
在物理学中，很多确定性现象遵从如下演变原则：由时刻系统或过程所处的状态，可以决定系统或过程在时刻所处的状态，而无需借助于以前系统或过程所处状态的历史资料。
例如，我们考虑一在直线上作对称随机徘徊的粒子，以表示粒子在时刻n时的位置，则其状态空间为Z(全体整数组成的集合)，若在n时刻粒子位于i (即＝i)，那么，粒子在下一时刻n＋1，或者以0.5的概率跳到i ＋ l，或者以0.5的概率跳到i－1．在这一模型中，最有趣的现象是：粒子在n＋1时刻的位置：只依额于它在n时刻的位置，而不依赖于它在n时刻前的位置。这一性质就是所谓的Markov性(这个名字由它的首创者俄国数学家Markov而得名)。具有Markov性的随机过程称为Markov过程，它是一类广泛适用于各种领域的重要的随机过程。
定义3．一随机过程称为一个离散参数的Markov链，如果，n＝l，2，3，…)，其中S为——个有限或可数集合(称为此Markov链的状态空间)，并且对任意的都有

称条件概率为该Markov链的(一步)转移概率；并记为，若与n无关，则称Markov链为齐次的。
例7． (随机徘徊) 对简单随机徘徊，其状态空间为S=Z，由的定义

其中若为独立同分布随机变量序列，满足，，这里表示一个粒子分别以概率p、q向右与向左走一步。前面所讲简单对称随机徘徊就是这里p=0.5的情况。由于都是的部分和，因此，它们和相互独立，故

从而：

故简单随机徘徊是一齐次Markov链且：

例8．(两端反射壁的随机徘徊)，在上例中，如果在位置a与b(a<b)分别设立一个反射壁，即当粒子到达a与b时，下一步以概率1分别反射到a+1与b-1，于是粒子运动仍然是一Markov链，其它统计规律和例7相同，只是
，； ，

例7．4(品牌选择)市场上销售A，B，C，D四种牌子的牙膏．根据市场调
查表明，可近似地认为，消费者购买哪一种品牌的牙膏，仅与他前一次购买的
品牌有关，而与这之前购买的品牌无关．记xo为某消费者最初所购买的牙膏
的品牌，Xl，x2，…分别表示他在这之后各轮所购买的牙膏的品牌，则Ix”，72
＞0l为一MEm儿ov链，其状态空间为S＝IA，月，C，D 6，它的转移概率矩阵可
以从市场调查中获得，比如说为
在这个问题中，我们感兴趣的是这四种品牌的牙膏的市场占有率随时间的推
移而发生的变化情况，关于它，我们在以后将作具体的讨论．
例7。5 (赌博模型，两端吸收壁随机徘徊) 设某赌徒有赌本i(3．＞1)元，其对手有赔本o—i＞0元，每赌一次该赌徒均以夕的概率赢一元，以g＝1—夕的概率输一元．赌
博一直到两赌徒中有一人破产才告结束，因此，赢的赌徒最终有总赌资“元，
求该赌徒的破产概率．
解 记A为赌徒有赌本i元而最终破产的概率．求此概率的关键是给出
下面的事件关系式，其方法称为首步分析法： 、
Aj＝1有赌本i元而最终破产1 ·’
若记B＝1该赌徒第1次赌赢9，则由上述关系式及全概率公式，我们可得
这是一个差分方程，且它有边界条件 —一’
加二尸(有赔本0元而最终破产)＝1
久＝尸(有赔本。元而最终破产)＝o
为解(1—8)，注意到它等价于
故当多＞0且夕乒十时，有
令z，＝“，则可求得
从而得到：当夕＞o且多，E专(即户，6g)时
当户＝g＝音时，由(1—9)式，我们有第l章中所讲的赌徒破产问
题也可归结为一M比奴)v链问题来研究．假如一赌徒在每局赌博中，赢1元概
率为夕，而输l元的概率为g＝1—入一旦该赌徒输光或他的赌金变为N元
时，他就退出赌博．设X”为该赌徒在n时刻时的赌金，那么，容易验证1xg，n
＞01是一齐次Markov链，它的状态空间为5＝10，l，2，…，N—l，N1，其转
移概率为
状态0和N有特殊的含义，一旦进入这两个状态后，再也不能从这些状态中出