三角形正余弦定理.doc

数学正余弦定理
特殊角的三角函数值记住了吗？同角三角函数的基本关系会吗？诱导公式？两角和与差的正、余弦公式记住吗？二倍角公式会吗？
一.正弦定理：
1.正弦定理：（其中R是三角形外接圆的半径）
2.变形：①
②角化边
③边化角
如：△ABC中，①，则△ABC是等腰三角形或直角三角形
A
C
D
B
②，则△ABC是等腰三角形。
3.三角形内角平分线定理：
如图△ABC中，AD是的角平分线，则

A
b
4.△ABC中，已知锐角A，边b，则
①时，无解；
②或时，有一个解；
③时，有两个解。

如：①已知,求(有一个解)
②已知,求(有两个解)
注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
二.三角形面积
1.
2. ,其中是三角形内切圆半径.
注:由面积公式求角时注意解的个数
三.余弦定理
1.余弦定理：

注：后面的变形常与韦达定理结合使用。
2.变形：

A
C
D
B
注意整体代入，如：
3.三角形中线：
△ABC中， D是BC的中点，则
4.三角形的形状
①若时,角是锐角
②若时,角是直角
③若时,角是钝角
如:锐角三角形的三边为,求x的取值范围; 钝角三角形的三边为,求x的取值范围;
5.应用
①用余弦定理求角时只有一个解
②已知,求边
在△ABC中，熟记并会证明：
1）∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；
2）△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。
例1、
例2．在ABC中，已知，，，求b及A；
例3．在中，角所对的边分别为，且满足，．
（I）求的面积； （II）若，求的值．

例4．在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b
例 5、在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；
（II）若，求的值。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

1、在中，面积，则（ ）
A、 B、75 C、55 D、49
2、在中，，则（ ）
A、 B、 C、 D、
3、在中，，那么的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
4、在中，a=15,b=10,A=60°，则=（ ）
A、－ B、 C、－ D、
解三角形课堂练习题
1、在中，，则∠C=（ ）
A.30° B.45° C.60° D.120°
2、在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
3、在△ABC中，°，C=60°，c=1，则最短边的边长是（ ）
A. B. C. D.
4、中，内角A，B，C的对边分别是。若，则
5、中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为___________
6、在中角、、的对边分别是、、，若， 则_______
7、若已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，，A＋B＝2C，则sinB＝＿＿＿＿
8、已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c = asinC－ccosA
(1) 求A （2）若a=2，△ABC的面积为，求b,c
作业
1、△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为
2.在锐角中，角所对的边长分别为.若
A． B． C． D．
3．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
3、设
（I）求（II）若
4、在中，角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影．
5、在△中，角，，对应的边分别是，，. 已知.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△的面积，，求的值.
6、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（conA-sinA）cosB=0.
（1） 求角B的大小；
（2） 若a+c=1，求b的取值范围
7、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=。
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）求sin（A-B）的值。

2013重庆 在中，内角的对边分别是，且。
（1）求；
（2）设，求的值。
2014•重庆 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求ω和φ的值；
（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．