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复变函数-学习指南

一、单项选择题（每题2分，共20分）
1、在下列函数中，的是（ ）
A． B．
C． D．
2、设a，C：=1，则（ ）
A．0 B．
C． D．
3、下列函数是解析函数的为（ ）
A． B．
C． D．
4、下列命题中，不正确的是（ ）
A．如果无穷远点是的可去奇点，那么
B．若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数，则在内解析
C．幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数
D．函数将带形域映射为单位圆
5、函数在（ ）处可导。
A．全平面 B．
C． D．处处不可导
6、下列命题正确的是（ ）
A．函数在平面上处处连续
B．如果存在,那么在解析
C．每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛
D．如果v是u的共轭调和函数,则u也是v的共轭调和函数
7、幂级数在内的和函数是（ ）
A． B．
C． D．
8、设，则的连续点集合为（ ）。
A．单连通区域 B．多连通区域
C．开集非区域 D．闭集非闭区域
9、下列级数绝对收敛的是（ ）
A． B．
C． D．
10、根式的值之一是（ ）
A． B．
C． D．
11、使成立的复数是（ ）
A．不存在 B．唯一的 C．纯虚数 D．实数
12、下列命题正确的是（ ）
A． B．零的辐角是零
C．仅存在一个数z,使得 D．
13、下列级数绝对收敛的是（ ）
A． B．
C． D．
14、下列函数是解析函数的为（ ）
A． B．
C． D．
15、幂级数在内的和函数是（ ）
A． B． C． D．
二、判断题（每题2分，共30分；正确：√；错误：×）

1、解析函数的与互为共轭调和函数。（ ）
2、如果在连续，那么存在。（ ）
3、解析函数的导函数仍为解析函数。（ ）
4、如果在解析，那么在连续。（ ）
5、解析函数的零点是孤立的。（ ）
6、单位脉冲函数与常数1构成一个傅氏变换对。（ ）
7、如果，的偏导数存在，那么可导。（ ）
8、因为，所以在复平面上有界。（ ）
9、在处可导的函数，一定可以在的邻域内展开成泰勒级数。（ ）
10、每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。（ ）
11、如果是的奇点，则在不可导。（ ）
12、若在解析，则也在解析。（ ）
13、对任何复数,成立。（ ）
14、初等函数在其定义域内解析，可导。（ ）
15、.（ ）
16、方程的根全在圆环内。（ ）
17、幂级数的和函数在其收敛圆内解析。（ ）
18、函数在的去心邻域内可展成洛朗级数。（ ）
19、孤立奇点的留数在该奇点为无穷远点时其值为.（ ）
20、幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。（ ）
21、共形映射具有保角性和伸缩率的不变性。（ ）
22、幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。（ ）
23、幂级数在内一致收敛。（ ）
24、单位脉冲函数与常数1构成一个傅氏变换对。（ ）
25、如果在解析，那么在连续。（ ）
26、每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。（ ）
27、在其定义域内解析。（ ）
28、.（ ）
29、解析函数的零点是孤立的。（ ）
30、对任意的，.（ ）

三、解答题（每题5分，共50分）

1、（积分曲线取正向）
2、求幂级数的和函数，并注明其收敛域。
3、设，求其像原函数.
4、求下列各函数在其孤立奇点的留数。
(1) ; (2) ; (3) .
5、应用傅代变换解微分方程：
6、请指出指数函数、对数函数、正切函数的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。
7、求以为虚部的解析函数，使.
8、计算积分：，其中为以为圆心，为半径的正向圆周，为正整数。
9、（积分曲线取正向）
10、求对数函数的主值ln（1＋z）在z=0处的泰勒展式。
11、利用拉氏变换的性质求L []
12、求这个拉氏变换的逆变换。
13、己知F，求函数的傅里叶逆变换。
14、将函数在圆环内展成罗朗级数。
15、求把上半平面映照成单位圆的分式线性函数，并使
16、讨论函数的可导性，并求出函数在可导点的导数。另外，函数在可导点解析吗？请说明理由。
17、应用留数的相关定理计算：（积分曲线取正向）
18、求函数的拉普拉斯变换；
19、求与它的共扼调和函数构成的解析函数
20、复数与点对应,请依次写出的代数、几何、三角、指数表达式和的3次方根。
21、求函数在处的罗朗展式，并指明其收敛圆环。
22、已知解析函数的实部，求函数的表达式，并使.
23、求将上半平面保形映照成单位圆的分式线性函数。
24、分别在圆环（1），(2)内将函数展为罗朗级数。

复变函数-学习指南
一、单项选择题
1、D 2、A 3、C 4、A 5、B
6、A 7、D 8、A 9、C 10、A
11、D 12、D 13、C 14、C 15、D
二、判断题
1、╳ 2、╳ 3、√ 4、√ 5、╳ 6、╳ 7、╳ 8、╳ 9、╳ 10、╳
11、╳ 12、√ 13、╳ 14、╳ 15、╳ 16、√ 17、√ 18、╳ 19、√ 20、╳
21、√ 22、╳ 23、╳ 24、√ 25、√ 26、╳ 27、╳ 28、╳ 29、╳ 30、╳
三、解答题
1、（积分曲线取正向）
解：
2、求幂级数的和函数，并注明其收敛域。
解： ．
3、设，求其像原函数.
解：

4、求下列各函数在其孤立奇点的留数。
(1) ; (2) ; (3) .
解：（1）为的可去奇点,
;
（2）为的三阶极点, 为的一阶极点。
,
;
（3）为的本性奇点,
,
.
5、应用傅代变换解微分方程：
解：∵F=F
∴F [H(t)]+F[H(t)]=1
∴F[H(t)]=
∵衰减函数 F[f(t)]=
∴H(t)=
6、请指出指数函数、对数函数、正切函数的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。
答：（1）指数函数的解析域为：整个复平面，解析域是无界开区域；
（2）对数函数的解析域为：除去原点及负半实轴，解析域是无界开区域；
（3）正切函数的解析域为：除去点，解析域是无界开区域。
7、求以为虚部的解析函数，使.
解：

由 得
8、计算积分：，其中为以为圆心，为半径的正向圆周，为正整数。
解：设的方程为,则

所以：（当时）；（当时）。
9、（积分曲线取正向）
解：

10、求对数函数的主值ln（1＋z）在z=0处的泰勒展式。
解：
（1分）

11、利用拉氏变换的性质求L []
解：

12、求这个拉氏变换的逆变换。
解：（公式）
有两个一级零点s1=i，s2=－i
∴f(t)=L－1

13、己知F，求函数的傅里叶逆变换。
解：
F-1F-1

14、将函数在圆环内展成罗朗级数。
解：

15、求把上半平面映照成单位圆的分式线性函数，并使.
解：设
即
∴
16、讨论函数的可导性，并求出函数在可导点的导数。另外，函数在可导点解析吗？请说明理由。
答： ，
因为可微，所以时函数可导，且 。
因为函数在可到点的任一邻域均不可导，所以可导点处不解析。
17、应用留数的相关定理计算：（积分曲线取正向）
解：原式=

∵=0
∴ 原式==
18、求函数的拉普拉斯变换；
解：
19、求与它的共扼调和函数构成的解析函数
解：∵
∴
∵
∴ ∴g(x)=x3+c
∴
20、复数与点对应,请依次写出的代数、几何、三角、指数表达式和的3次方根。
答：；
三次方根.
21、求函数在处的罗朗展式，并指明其收敛圆环。
解：将在内展开为罗朗级数
∵
原式
22、已知解析函数的实部，求函数的表达式，并使.
答：

23、求将上半平面保形映照成单位圆的分式线性函数。
解：
24、分别在圆环（1），(2)内将函数展为罗朗级数。
解：（1）,
.
（2） ,

.