正交多项式相关.doc

上的正交多项式
由最佳平方逼近的一般理论知，上的最佳平方逼近完全可以转化为正交系的讨论。因为若是f的最佳平方逼近元，则系数向量满足方程组：，而当{φi}为规范正交时，该方程组的解立即可以写为：
                       。
正交多项式的性质
假设ω0(x),ω1(x),…是空间上的幂函数系1,x,x2,…经正交化手续得到的正交多项式系，则它有如下性质
（1）ωn(x)是n次代数多项式；
（2）任一不高于n次的多项式都可以表示成;
（3）ωn(x)在中与所有次数低于n的多项式正交，也即

以下假设是ωn的首一化多项式，也即，且的最高次项系数为1，则仍然是一正交系，且有如下递推关系。
定理1 ，其中：
，
。
证明 由于是k+1次多项式，因此可由线性表出，即
（1）
其中cj是适当常数，将（1）式两边同乘以并积分，有

上式左端当s=0,1,…,k-2时，的次数小于k，从而积分值为0，同样右端第一个积分也为0。于是，当s=0,1,…,k-2时，上式变为

令s=0，上式变为

从而c0=0。同理，当s依次为1,…,k-2时，可推出cs=0。于是（1）式可简化为
（2）
下面我们来确定ck,ck-1，在（2）式两边乘以并积分，得
（3）
由于，代入（3）式两端得

同理，用乘（2）式两端并积分，可得

将ck,ck-1代入（2）式两端并加以整理即得定理结论。
如果设ωk(x)的首项系数为αk，则对规范正交系ω0(x),ω1(x),…可以得到如下递推关系
（4）
注：（4）式可通过令代入定理1得到。
定理2 n次正交多项式ωn(x)有n个互异零点，并且都包含在(a,b)中。
证明 令n≥1,假定ωn(x)在(a,b)不变号，则

这与正交性相矛盾。于是至少有一个点x1∈(a,b)使ωn(x1)=0，若x1是重根，则ωn(x)/( x - x1)2是一n-2次多项式，由正交性知

但另一方面有

从而推出x1只能是单根。
今假设ωn(x)在(a,b)内只有j个单根x1, x2,…, xj(j<n)，则
ωn(x)( x- x1) ( x- x2) …( x- xj)=q(x)( x- x1)2 ( x- x2) 2 …( x- xj) 2

现将上式两端乘以ρ(x)并积分，则对于左端来说，由于(x-x1)(x- x2)…(x- xj)的次数小于n，因此积分值等于零；但对右端来说，由于q(x)在(a,b)不变号，所以积分值不为零。由这个矛盾推出j=n。定理证毕。
定理3假设a=x1<x2<…<xn=b是正交多项式ωn(x)的n个根，那么在每个区间( a, x1) ,( x1, x2) …(xn,b)内都有ωn+1(x)的一个零点。
常用的正交多项式
自然，根据ρ(x)的不同选择，我们可以构造许许多多的正交多项式，这只要分别利用施密特正交化过程就可以完成，然而在这些正交多项式类中，真正有用的是如下几个具有代表性的正交多项式系。
其一是勒让德（Legendre）多项式，它是L2[-1,1]上的正交多项式，并且可以表示成如下形式：
（5）
由于是2n次多项式，所以Pn(x) 是n 次多项式，其最高次项系数与单项式

的系数相同。可以证明勒让德多项式具有如下性质：
（1）
（2）Pn(x)=(-1)n Pn(-x).
（3）
其二是第一类契比雪夫多项式，由引理3不难发现，它是在区间[-1,1]上关于权函数的正交多项式。
其三是取，则上的正交多项式定义为

它满足如下的递推公式

和正交性条件