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一个正整数能够表示成两个正整数平方和的充分必要条件

在上面第1楼的帖子中，证明了这样一个定理：

第1楼帖子中定理 正整数 能表示成两个整数平方和的充分必要条件是： 的素因子分解式中，所有形为 的素因子的冪指数都是偶数。

注意，这个定理中说的是“整数平方和”，不是“正整数平方和”，所以，像 ，
， 这样的两整数平方和，都算是符合定理要求的。
如果我们希望把上面这种带 的整数平方和的例子排除在外，把定理中的“整数平方和”改为“正整数平方和”，那么，定理又会是怎么样的呢？
为了证明这样的定理，下面先证明一个引理。

引理 若有 ，其中 都是正整数， ，则必有正整数 ， ，而且 一奇一偶，使得 。
证 不会都是奇数，否则 是形为 的数，不可能等于 。又因为 ， 也不会都是偶数，所以 必定一奇一偶，不妨设 是奇数， 是偶数，这时 显然也是奇数，而且 ， 。
因为 都是奇数， ，所以 ， 显然都是正整数。 这时有
。
因为 是偶数，所以 是整数。又因为 ，所以 ，所以 中的任何一个素因子，或者全部在 中，或者全部在 中。由于 中的素因子的幂次都是偶数，所以 ， 中的素因子的幂次也都是偶数，可见 ， 都是完全平方数。
设 ， ，因为 ， 都是完全平方数，所以 都是正整数，而且有 ， 。
假如 ，则 ， ， 就有公因子 ，与 矛盾，所以必有 。
假如 都是奇数或 都是偶数，则 ， 显然都是偶数，与 矛盾，所以 必定是一奇一偶。

定理 正整数 能表示成两个正整数平方和的充分必要条件是要满足下列两条：
（1） 的素因子分解式中，所有形为 的素因子的冪指数都是偶数。
（2）如果 的素因子分解式中，不含有形为 的素因子，则必有 ，其中 是正整数。
证 先证明充分性。
如果 中不含有形为 的素因子，则 ，显然这时 可以表示成两个正整数的平方和。
如果 中含有形为 的素因子，再加上已知 中形为 的素因子的幂指数都是偶数，只要仿照第1楼帖子中定理的推导过程，就可证明这时 能表示成两个正整数的平方和。
再证明必要性。
设已知 能表示成两个正整数的平方和，有 。
由第1楼帖子中定理可知，这时 中所有形为 的素因子的冪指数都是偶数。所以只要证明“如果 中不含有形为 的素因子，则必有 ”就可以了。
因为 中不含有形为 的素因子，而所有形为 的素因子的冪指数都是偶数，所以， 只有两种可能：或者有 ，或者有 。
下面用反证法证明：
当 中不含有形为 的素因子时，不可能有 。
假设有 ，其中 都是正整数。
设 ，将 都除以 ，则有 ， 。所以，下面只要考虑 的情形就可以了。
在满足 ， 都是正整数， 的解中，总可以找到 最小的一组解。显然 ，所以必有 。
因为 ， 都是正整数， ，所以根据上面的引理，可知必有正整数 ， ，而且 一奇一偶 ，使得 。
因为 一奇一偶，所以 是奇数，不含有因子2 。
因为 中不含形为 的素因子，所以 中也不含形为 的素因子。
又因为 可以表示为两个正整数的平方和，由第1楼帖子中定理可知，这时， 中形为 的素因子的冪指数都是偶数。
由此可见， 是一个完全平方数，所以必有正整数 ，使得 。
由于 ，所以 ，这就与“在满足 ， 的解中， 最小”发生矛盾。
因此，假设 不能成立，这时只可能有 。

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