专转本模拟试题与解析(五).doc

江苏省2013年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（五）解析
高等数学

注意事项：
1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。
2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。
3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。

一、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。
1、已知则常数（ ）
A 、 B、 C、 D、
2、函数的导数为（ ）
A 、 B、
C、 D、
3、是的图形在处有拐点的（ ）
A 、充分条件 B、必要条件 C、充分必要条件 D、以上说法都不对
4、若，则（ ）
A 、 B、 C、 D、
5、广义积分 （ ）
A 、不收敛 B、 C、 D、
6、设，则（ ）
A 、 B、
C、 D、
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。
7、设为连续函数，则
8、________________________(其中为变量，为常量)。
9、设，则定积分___________________________________
10、设，，则___________，__________________
11、设的收敛半径为，则的收敛半径为________________________
12、交换二次积分次序_______________________________

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。
13、讨论函数的连续性，若有间断点，判断其类型。

14、设，求。

15、求不定积分。

16、计算。

17、求的通解。

18、计算，其中由直线和曲线所围成。

19、设其中具有二阶连续偏导数，求。

20、求过点且垂直于直线的平面方程。

四、证明题（每小题9分，共18分）
21、设函数在闭区间上可微，对闭区间上的每一点，函数的值都在开区间内，且。证明：在开区间内仅有唯一的一点，使得。

22、设，且可微，证明： 。

五、综合题（每小题10分，共20分）
23、设曲线
（1）在曲线上求一点，使过该点的切线平行于轴；
（2）求由上述切线与该曲线及轴所围平面图形的面积；
（3）求（2）中平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积。

24、欲造一个体积为常量的圆柱体（顶与底都是水平面）容器，已知底面和顶面的单位造价是其侧面单位造价的2倍，问如何设计其尺寸使得总造价最小？

江苏省2013年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（五）
高等数学
一、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。
1、已知则常数（ ）
A 、 B、 C、 D、
解析：该题为极限反问题，考查有理分式极限，只需比较分子与分母的次数即可，先判断极限类型，若是或型可以直接使用罗比达法则，其余类型可以转化为或型。；故。
故本题答案选C

2、函数的导数为（ ）
A 、 B、
C、 D、
解析：该题考查幂指函数的求导，方法：对数求导法。
，则，故本题答案选D
另外，对由乘除法、乘方、开方等构成的复杂的四则运算一般用对数求导法，取对数的好处是将真数的乘除法转化为对数的加减法，求导变得更加简单。

3、是的图形在处有拐点的（ ）
A 、充分条件 B、必要条件 C、充分必要条件 D、以上说法都不对
解析： 曲线上凹凸性发生改变的界点称为拐点。它可能出现在的点或不存在的点。由于多项式函数处处二阶可导，故拐点处的二阶导数一定为零。反过来，如果，则未必是拐点，关键再看该点左右二阶导数是否变号求出拐点。例如与，在处的二阶导数均为零，是曲线的拐点，但不是的拐点。综上，本题答案选D

4、若，则（ ）
A 、 B、 C、 D、
解析：本题考察导数与积分的关系，令（），
于是，两边对积分，得，故
本题答案选B

5、广义积分 （ ）
A 、不收敛 B、 C、 D、
解析：积分限为无穷的广义积分，当收敛时其收敛值的计算和正常的定积分一样，也有类似的牛顿--莱布尼兹公式：，所以
，本题答案选B

6、设，则（ ）
A 、 B、
C、 D、
解析：该题考察二元显函数偏导数的求法，偏导数的本质就是将其中一个变量当作常量对另一个变量的导数。
（这里先将中的当作常量对求导），
（这里将中的当作常量对求导）
故本题答案选D

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。
7、设为连续函数，则
解析：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质以及定积分的几何意义。

函数是偶函数，是奇函数，
，而，
故。

8、________________________(其中为变量，为常量)。
解析：该题考察定积分的基本概念, 变上限函数的求导公式。
定积分，其本质是和式极限，为一个确定的数值，当然，而的不定积分就是找那些导数为的所有函数全体（只相差任意常数），不定积分求解正确与否，只要反过来求导是否为被积函数即可。
于是，；。
变上限函数的求导公式，对于很多同学可能会觉得不容易记牢，在记忆时不彷考虑牛顿莱布尼兹公式辅助记忆

变下限函数的求导公式，只需交换积分上下限，结果相差一个负号，
故。

9、设，则定积分___________________________________
解析：该题考察多元函数的全微分
若可微，则，

本题中，，代入点有。

10、设，，则___________，__________________
解析：该题考察向量的基本运算——数量积与向量积。两向量数量积为对应分量乘积之和，结果是一个数量。两向量向量积结果是一个向量。三者方向满足右手规则，，其中为两向量的夹角。两向量垂直的充要条件是数量积为0。（平行的充要条件是向量积为0向量或分量对应成比例）
由条件，

11、设的收敛半径为，则的收敛半径为________________________
解析：对于幂级数，如果，则
收敛半径，收敛区间为，若求收敛域，只需再考查的收敛性。若幂级数缺少的奇次项（偶次项）或上述极限不存在（不是无穷），则此时将当作常量转化为常数项级数处理。
本题的收敛半径为，即时，幂级数收敛，时，幂级数发散；于是令，时，即幂级数收敛；时，即，幂级数发散； 故的收敛半径为。
对于幂级数只需作变量代换转化为即可。

12、交换二次积分次序_______________________________
解析：二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别是对称型简化积分计算。
在直角坐标系下，首先要画出积分区域，然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的积分顺序。
积分区域 转化为
故。

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。
13、讨论函数的连续性，若有间断点，判断其类型。
解析：函数在处连续的定义为。实际上包含三个条件
（1） 函数在处必须有定义；
（2） 函数在处的极限存在；
（3） 函数在处的极限值必须等于函数值；
当上述三个条件不全满足时的点即为函数的间断点。而初等函数在定义区间之内均是连续的，所以，没有定义的点一定是间断点，分段函数的分段点是可能的间断点。
根据点处的极限情况来加以分类：
即本题函数在处没有定义，但
，这里因为；
，这里因为；
左右极限均存在且相等，故为函数的跳跃间断点。
14、设，求。
解析：这种函数表达式用极限来定义的，应该引起同学们的关注。首先求出极限（当作常量），这是考查第二重要极限。
，
故 。

15、求不定积分。
解析：该题第二类换元法中的根式代换，
令，则=
=
另外，该题也可使用凑微分法，是经常遇见的固定类型
；
其中最后一步用公式：
16、计算。
解析：定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式：设，则
。
其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要指出的是对于第Ⅱ类直接交换法，注意积分限的变化：
。
本题为含绝对值的分段函数，利用函数的可拆分性质，插入使绝对值为0的点，去掉绝对值，直接积分即可

17、求的通解。
解析：解微分方程首先要判别类型，该方程可化为为一阶方程，但不是同学们熟悉的类型，而一阶线性非齐次方程的标准形式：，其通解为

另外，有时需将变量和对调位置，化为，其通解为

本题进一步化为，于是该方程的通解为

18、计算，其中由直线和曲线所围成。
解析：二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别是对称型简化积分计算。
首先要画出积分区域（如图），然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的坐标以及适当的积分顺序。一般当被积函数形如，区域形状为圆形、圆环、扇形（环）等，往往使用极坐标计算；否则，往往用直角坐标计算。
本题首先画出积分区域图，求出边界曲线的交点坐标选择先对积分，这时；

19、设其中具有二阶连续偏导数，求。
解析：该题型是几乎每年必考。需要认真掌握。
第一步：变量的关系网络图

其中1，2分别表示
第二步：寻找与对应的路径，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”

20、求过点且垂直于直线的平面方程。
解析：求平面方程，基本方法是使用点法式。求出平面上的一个定点和法向量。
平面上的定点已知，直线
是两平面与的交线，它们法向量分别为，
，故该直线方向向量可取

所求平面方程为，即。

四、证明题（每小题9分，共18分）
21、设函数在闭区间上可微，对闭区间上的每一点，函数的值都在开区间内，且。证明：在开区间内仅有唯一的一点，使得。
解析：遇到至少存在一点的问题，通常使用介质定理，零点定理。还有罗尔定理和拉格朗日中值定理。这种问题一般逆向思维构造辅助函数。
（存在性）：令，则函数在闭区间上连续，且当时，因为 ，
所以，，；
因此由连续函数的零点定理，知至少存在一点，使得，即至少存在一点，使得。
（唯一性）：若存在两点，，使得， ；
由Lagrange中值定理，知至少存在一点，使得

这与题设中任意，相矛盾．因此，在开区间内仅有唯一的一点，使。

22、设，且可微，证明： 。
解析：二元抽象复合函数求一阶、二阶偏导数该题型是几乎每年必考。需要认真掌握。
设，则，从而，
，，
则 ，所以，原结论成立。

五、综合题（每小题10分，共20分）
23、设曲线
（1）在曲线上求一点，使过该点的切线平行于轴；
（2）求由上述切线与该曲线及轴所围平面图形的面积；
（3）求（2）中平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积。

解析：本题考查导数的几何意义，定积分的几何应用，应重点掌握。
(1)设切点为，由切线平行于轴及导数几何意义，应有，
即，于是切点为；
（2）切线的方程为，于是所求面积为
；
（3）所求旋转体体积为
。

24、欲造一个体积为常量的圆柱体（顶与底都是水平面）容器，已知底面和顶面的单位造价是其侧面单位造价的2倍，问如何设计其尺寸使得总造价最小？

解析：将导数应用到实际问题的最大、最小或更广泛的最优化问题的求解中是非常重要的考点。是考查考生实际应用能力的一个很重要的知识点，它可能涉及到几何、物理学、经济学等方面的内容。
分析问题的流程为：
（1）适当假设求解变量；
（2）函数关系确定；
（3）求解，交待最大、最小的理由；
（4）合理分析。
注：第二步是整个问题的关键步骤，中的理由部分可能是容易疏忽之处。
设底面半径为,高为,侧面单位造价为, 底面和顶面的单位造价为，总造价为，
则,
又，所以
令，此时。
因为该实际问题有最值，且唯一驻点，即为最小值点。
即当，时，总造价最小。
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