探索数学实验 1.doc

非线性迭代

一、实验背景与实验目的
迭代是数学研究中的一个非常重要的工具，通过函数或向量函数由初始结点生成迭代结点列，也可通过函数或向量函数由初值（向量）生成迭代数列或向量列。
蛛网图也是一个有用的数学工具，可以帮助理解通过一元函数由初值生成的迭代数列的敛散性，也帮助理解平衡点（两平面曲线交点）的稳定性。
本实验在Mathematica平台上首先利用蛛网图和迭代数列研究不动点的类型；其次通过蛛网图和迭代数列研究Logistic映射，探索周期点的性质、认识混沌现象；第三通过迭代数列或向量列求解方程（组）而寻求有效的求解方法；最后，利用结点迭代探索分形的性质。
二、实验材料
2.1迭代序列与不动点
给定实数域上光滑的实值函数以及初值，定义数列
， （2.2.1）
称为的一个迭代序列。
函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，利用迭代序列可以研究函数的不动点。
对函数的迭代过程，我们可以用几何图象来直观地显示它——“蜘蛛网”。运行下列Mathematica程序：
Clear[f]
f[x_] := (25*x - 85)/(x + 3); （实验时需改变函数）
Solve[f[x]==x , x] （求出函数的不动点）
g1=Plot[f[x], {x, -10, 20}, PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0],
DisplayFunction -> Identity];
g2=Plot[x, {x, -10, 10}, PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0],
DisplayFunction -> Identity];
x0=5.5; r = {};
r0=Graphics[{RGBColor[0, 0, 1],
Line[{{x0, 0}, {x0, x0}}]}];
For[i = 1, i <= 100, i++,
r=Append[r, Graphics[{RGBColor[0, 0, 1],
Line[{{x0, x0},
{x0, f[x0]}, {f[x0], f[x0]}}]
}]];
x0=f[x0]
];
Show[g1, g2, r, r0, PlotRange -> {-1, 20}, （PlotRange控制图形上下范围）
DisplayFunction -> $DisplayFunction]
x[0]=x0;
x[i_]:=f[x[i-1]]; （定义序列）
t=Table[x[i],{i,1,10}]//N
ListPlot[t] （散点图）
观察蜘蛛网通过改变初值，你能得出什么结论？
如果只需迭代次产生相应的序列，用下列Mathematica程序：
Iterate[f_,x0_,n_Integer]:=
Module[{ t={},temp= x0},AppendTo[t,temp];
For[i=1,i <= n, i++,temp= f[temp];
AppendTo[t,temp]];
t
]
f[x_]:= (x+ 2/x)/2;
Iterate[f,0.7,10]
设是一个定义在实数域上的实值函数，如果存在使得，则称为的不动点。我们用表示这件事。如果所有附近的点在选代过程中都趋向于某个不动点，则该不动点称为吸引点，有时也称该不动点是稳定的。如果所有附近的点在选代过程中都远离它而去，则该不动点称为排斥点，有时也称该不动点是不稳定的。
如果，，…，且,则形成一个循环，用记这个事实。称为一个周期点，称为一个周期轨道。显然，不动点就是周期为1的周期点。类似于不动点，如果所有附近的点在迭代过程中都趋向于某个周期点，则该周期点称为吸引点；如果所有附近的点在迭代过程中都远离它而去，则该周期点称为排斥点。如果点最终落于某个循环之中，则称它是一个预周期点。例如，l是的预周期点。
三、实验方案
3.1迭代序列与不动点
首先对函数研究不动点，需要
（1）对Plot中{x,-10,20}可改为{x,-50,50}；对PlotRange中{ -1,20}可改为{-50,50}；
（2）x0=5.5中5.5分别改为-30，-20，-5，-3.001，-2.999，-1，0，1，1.5，2.5，4，4.5，4.9，4.999，5，5.1，5.001，6，10，16，17，18，20，30；
（3）对t=Table[x[i],{i,1,10}]//N中10分别改为100，200，500，1000；
运行程序后观察蛛网图与散点图！一看数列是否收敛？如收敛，极限是多少？收敛速度是快是慢？二看蛛网图中的轨道是否趋于平衡点？与平衡点处曲线的斜率有没有关系？三看初值对结果有没有影响？
其次，分别就，等函数利用（2.2.1）做迭代序列，观察蛛网图中的轨道是否趋于平衡点和序列的收敛性。
四、实验过程与结果
4.1 迭代序列与不动点
实验一：稳定点为5、17
图像为：

结果分析：从图像上观察到，数列收敛于一个常数

实验二：对Plot中{x,-10,20}可改为{x,-50,50}; 对PlotRange中{-1,20}可改为{-50,50}, 稳定点为5、17
图像为：

结果分析：数列收敛到17，收敛速度慢，蛛网图中的轨道趋于平衡点，与平衡点处曲线斜率有关。

实验三：x0=5.5中5.5分别改为-30，-20，-5，-3.001，-2.999，-1，0，1，1.5，2.5，4，4.5，4.9，4.999，5，5.1，5.001，6，10，16，17，18，20，30；

x0=5.5

x0=-30

x0=-20

x0=-5

x0=-3.001

x0=-2.999

x0=-1

x0=0

x0=1

x0=1.5

x0=2.5

x0=4

x0=4.5

x0=4.9

x0=4.999

x0=5

x0=5.1

x0=5.001

x0=6

x0=10

x0=16

x0=17

x0=18

x0=20

x0=30

结果分析：从对蛛网图与散点图的观察发现，数列收敛到17，收敛速度慢，蛛网图中的轨道趋于平衡点，与平衡点处曲线的斜率逐渐相近，初始值对结果没影响。

实验四：对t=Table[x[i],{i,1,10}]//N中10分别改为100，200，500，1000；

改为100

改为200

结果分析：从对蛛网图与散点图的观察发现，数列收敛且收敛速度快，蛛网图中的轨道趋于平衡点，初始值对结果没有影响。