切角问题.doc

例：将一个正方体切去一个角,剩下部分有多少个面，多少个顶点，多少条棱？
情况一：不经过任何顶点切去一个角，剩下部分有7个面，10个顶点，15条棱。
分析：将如图1正方体ABCD-A1B1C1D1不过任何顶点切去一个角，得到新几何体（如图2），前表面、上表面、右表面各被切掉一部分，但新增一个表面MNP，所以面数增加一个，变为7个面；顶点B被切掉，而新增顶点M、N、P，所以顶点增加二个（3-1=2），变为10个顶点；棱AB、CB、B1B被切短，分别变为AM、CN、B1P，而新增三条棱MN、NP、PM，所以棱数增加三条，变为15条棱。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
P

图1 图2
情况二：经过一个顶点切去一个角，剩下部分有7个面，9个顶点，14条棱。
分析：将如图3正方体ABCD-A1B1C1D1经过顶点B1切去一个角，得到新几何体（如图4），前表面、上表面、右表面各被切掉一部分，但新增一个表面MNP，所以面数增加一个，变为7个面；顶点B被切掉，而新增顶点M、N，所以顶点增加一个（2-1=1），变为9个顶点；棱AB、CB被切短，分别变为AM、CN，而棱B1B被切掉，同时新增三条棱MN、NP、PM，所以棱数增加二条（3-1=2），变为14条棱。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N

图3 图4
情况三：经过二个顶点切去一个角，剩下部分有7个面，8个顶点，13条棱。
分析：将如图5正方体ABCD-A1B1C1D1经过顶点B1、C切去一个角，得到新几何体（如图6），前表面、上表面、右表面各被切掉一部分，但新增一个表面MNP，所以面数增加一个，变为7个面；顶点B被切掉，而新增顶点M，所以顶点没有增加也没有减少（1-1=0），仍为8个顶点；棱AB被切短，分别变为AM，而棱CB、B1B被切掉，同时新增三条棱MN、NP、PM，所以棱数增加一条（3-2=1），变为13条棱。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
C
D
A1
B1
C1
D1
M

图5 图6
情况四：经过三个顶点切去一个角，剩下部分有7个面，7个顶点，12条棱。
分析：将如图7正方体ABCD-A1B1C1D1经过顶点B1、C、A切去一个角，得到新几何体（如图8），前表面、上表面、右表面各被切掉一部分，但新增一个表面MNP，所以面数增加一个，变为7个面；顶点B被切掉，未新增顶点，所以顶点数减少一个，变为7个顶点；棱AB、CB、B1B被切掉，同时新增三条棱MN、NP、PM，所以棱数没有增加也没有减少，仍为12条棱。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
C
D
A1
B1
C1
D1

图7 图8
一个西瓜，自上面横向、纵向各切两刀，变为9块西瓜，吃完西瓜，剩下十块西瓜皮。
一个正方体，六面均涂上红色，平行于正方体的棱，并且三等分各条棱，横向、纵向、水平方面各切两刀后，变为27个小正方体。这时有一个小正方体六个面无色，六个小正方体一面红色，12个小正方体二面红色，8个小正方体三面红色。可以简单记为一个正方体（六面无色），六个面（一面红），十二条棱（两面红），八个顶点（三面红）。