八年级数学上册小专题五构造全等三角形的方法技巧选做练习新版新人教版.doc

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小专题(五) 构造全等三角形的方法技巧

(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)
方法 1 利用补形构造全等三角形
1
1．已知：如图，在△ABC 中，∠BCA＝90 AC＝BC，AE 平分∠BAC，BE⊥AE，求证：BE＝2AD. °，

方法 2 利用"截长补短法"构造全等三角形
2．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，∠C＝2∠B，试判断 AB，AC，CD 三者之间的数量关系，并说明理由．(想一
想，你会几种方法)
3．如图，在△ABC 中，∠A＝60 BD，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB，BD，CE 交于点 O
°， ，试判断 BE，CD，BC 的数量
关系，并加以证明．
4．如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE 平分∠BAD，E 是 DC 的中点．问：AD，BC，AB 之间有何关系？并说明理由．
5.德州中考)
( 问题背景：
如图 1 在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝120 ∠B＝∠ADC＝90.E，F 分别是 BC，CD 上的点．且∠EAF＝60.
： °， ° °
探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系．
(1) 小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G.使 DG＝BE.连接 AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明
△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________________ ；
1
(2) 如图 2，若在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180 ，F 分别是 BC，CD 上的点，且∠EAF＝2∠BAD， °.E

上述结论是否仍然成立，并说明理由．
方法 3 利用"倍长中线法"构造全等三角形
6．已知△ABC 中，AB＝4 cm＝6 cm 是 AC 边上的中线，求 BD 的取值范围．
，BC ，BD
1
7．已知：如图，AD，AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且 BA＝BD.求证：AE＝2AC.
8．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点 M为 BC 的中点，求证：DE＝2AM.
小专题(五) 构造全等三角形的方法技巧
1．延长 AC、BE 交于点 F，∵∠ACB＝90 BE⊥AE， °，
∴∠CAD＋∠CDA＝90 °，∠EDB＋∠EBD＝90. °
∵∠CDA＝∠EDB，
∴∠CAD＝∠EBD，即∠CAD＝∠CBF.

ì∠CAD＝∠CBF，
ï
在△ADC 和△BFC 中，íAC＝BC，

ï∠ACD＝∠BCF， î

∴△ADC≌△BFC.∴AD＝BF.

ì∠FAE＝∠BAE，
ï
在△AEF 和△AEB 中，íAE＝AE，

ï∠AEF＝∠AEB， î

1
∴△AEF≌△AEB.∴BE＝EF，即 BE＝2BF.
1
∴BE＝2AD.
2.AB＝AC＋CD.
理由如下：方法 1 ：在 AB 上截取 AE＝AC，连接 DE
.易证△AED≌△ACD(SAS) ED＝CD，∠AED＝∠C. ，∴
∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∴∠C＝∠AED＝∠B＋∠EDB.
又∵∠C＝2∠B，
∴∠B＝∠EDB.∴BE＝DE.
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∴AB＝AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD.
方法 2：延长 AC 到点 F，使 CF＝CD，连接 DF. ∵CF＝CD，∴∠CDF＝∠F.
∵∠ACB＝∠CDF＋∠F，∴∠ACB＝2∠F. 又∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠F.
又∵∠BAD＝∠FAD，AD＝AD，
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∴△ABD≌△AFD(AAS) ．
∴AB＝AF.∴AB＝AF＝AC＋CF＝AC＋CD.
3. 证明：在 BC 上截取 BF＝BE，连接 OF.
∵BD 平分∠ABC， ∴∠EBO＝∠FBO. ∴△EBO≌△FBO. ∴∠EOB＝∠FOB.
∵∠A＝60 BD，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB， °，
1 1 1
∴∠BOC＝180 °－∠OBC－∠OCB＝180 2∠ABC－2∠ACB＝180 2(180
°－ °－ °－∠A)＝120. °

∴∠EOB＝∠DOC＝60. °
∴∠BOF＝60 °，∠FOC＝∠DOC＝60. °
∵CE 平分∠DCB， ∴∠DCO＝∠FCO. ∴△DCO≌△FCO.
∴CD＝CF.∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.
4.AB AD＋BC.理由：作 EF⊥AB 于 F，连接 BE. ＝
∵AE 平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB， ∴EF＝DE.
∵DE＝CE，∴EC＝EF.
∴RtBFE≌RtBCE(HL)
△ △ ．∴BF＝BC
.同理可证：AF＝AD.
∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB，即 AB＝AD＋BC.
5.(1)EF ＋DF (2)EF BE＋DF 仍然成立．证明：延长 FD 到 G，使 DG＝BE，连接 AG，
＝BE ＝
∵∠B＋∠ADC＝180 ADC＋∠ADG＝180

°，∠
°，

ìBE＝DG，
ï

∴∠B＝∠ADG.在△ABE 和△ADG 中，í∠B＝∠ADG，
ïAB＝AD， î

∴△ABE≌△ADG(SAS)
．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.
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∵∠EAF＝2∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.∴∠EAF＝∠GAF.

ìAE＝AG，
ï
在△AEF 和△AGF 中，í∠EAF＝∠GAF，
îïAF＝AF，

∴△AEF≌△AGF(SAS) ．∴EF＝FG.
∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.
6. 延长 BD 至 E，使 DE＝BD.连接 CE. ∵BD 是 AC 边上的中线，∴AD＝CD.
∵∠BDA＝∠EDC，∴△BDA≌△EDC(SAS) ．∴CE＝AB.
在△CBE 中，BC－CE<BE<BCCE，∴2 cm<2BD<10 cm.
＋ ∴1 cm<BD<5 cm.
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7. 证明：延长 AE 至 F，使 EF＝AE，连接 DF. ∵AE 是△ABD 的中线，∴BE＝DE.
∵∠AEB＝∠FED，∴△ABE≌△FDE.∴∠B＝∠BDF，AB＝DF. ∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，BD＝DF.
∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋∠B，∴∠ADF＝∠ADC. ∵AD 是△ABC 的中线，∴BD＝CD.∴DF＝CD.
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∴△ADF≌△ADC(SAS) ．∴AC＝AF＝2AE ，即 AE＝2 AC.
8. 延长 AM 至 N，使 MN＝AM，连接 BN，
∵点 M 为 BC 的中点，∴BM＝CM.
又∵∠BMN＝∠CMA，∴△AMC≌△NMB(SAS) ．
∴AC＝BN，∠C＝∠NBM，∠ABN＝∠ABC＋∠C＝180 °－∠BAC＝∠EAD.
又∵BN＝AC＝AD，AB＝EA，∴△ABN≌△EAD(SAS) ．∴DE＝NA.
又 AM＝MN，∴DE＝2AM.

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