逆矩阵的计算初等变换法.doc

逆矩阵的计算——初等变换法

1．用初等变换法求逆矩阵

如果A = ，那么A的逆矩阵A-1应当使
A-1 = ．

用一系列的矩阵逐渐把矩阵A变成单位矩阵，就可以求A-1．
取E1 = ，那么
E1A = = ，
所得矩阵的左下角元素为0．

取E2 = ，那么
E2(E1A) = = ，
所得矩阵的右上角元素为0．

取E3 = ，那么
E3(E2E1A) = = ．
因此，E3E2E1A = E，而A-1A = E，所以
A-1 = E3E2E1
=
= = ．

2．解释

矩阵A = 将单位正方形OABC变为四边形OA'B'C'（图1），则A-1应该把OA'B'C'变回到OABC．
O A B C

O A' B' C'
→．
O
A
B
C
C'
B'
A'

图1
下面我们将看到，用初等变换（反射、伸压、切变）怎样将OA'B'C'逐步变回到OABC．

E1 = ，它把OA'B'C'变为OXYZ（图2）．
O A' B' C'

O X Y Z
→．
O
Z
Y
X
C'
B'
A'

图2
E1是切变矩阵，它把OA'B'C'往Ox轴上作切变，使OX与OA重合．

E2 = ，它把OXYZ变为OAPQ（图3）．

O
Z
Y
A(X)
P
Q
O X Y Z

O A P Q
→．

图3
E2是切变矩阵，它把OXYZ往Oy轴上作切变．

E3 = ，它把OAPQ变为OABC，重新得到正方形（图4）．
O
A
P
Q
O A P Q

O A B C
→．
B
C

图4
E3是伸压变换，沿y轴方向，把OAPQ往x轴上压缩- ，得到正方形OABC．