2023-2024学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2023-2024 学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D． 2．（3 分）二次函数 y＝4（x﹣2）2+3 的对称轴是（ ）
A．直线 x＝2 B．直线 x＝﹣2 C．直线 x＝3 D．直线 x＝﹣3 3．（3 分）用配方法解方程 x2﹣2x﹣5＝0 时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9 4．（3 分）方程 2x2﹣x﹣4＝0 的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根

5．（3 分）如图，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C′，此点 A 在边 B′C 上，若 BC

＝5，AC＝3，则 AB′的长为（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2 6．（3 分）下列说法正确的是（ ）
A. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1

B. 天气预报说每天下雨的概率是 50%，所以明天将有一半的时间在下雨C．彩票中奖的机会是 1%，买 100 张一定会中奖
D．“从一个只有红球的袋子里摸出白球”是随机事件

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7．（3 分）如图，正六边形螺帽的边长为 2，则这个螺帽的面积是（ ）
A． B．6 C． D．
8．（3 分）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：
“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 的平方，另一队猴子数是 12，那么这群猴子的总数
是多少？”设这群猴子的总数是 x 只，根据题意可列出的方程是（ ）

A．（8x）2＝x﹣12 B．（8x）2＝x+12
C． D．
9．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，P 是 AB 延长线上一点，过 P 作⊙O 的切线，切点为点 C，点 D 是劣弧 上一点，连接 AC、BD、CD，若∠OPC＝20°，则∠BDC 的度数为（ ）

A．110° B．135° C．145° D．160°

10．（3 分）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标满足下表：

x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
8
3
0
﹣1
m
3
…
下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线 x＝2；②a＜0；③不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为 1＜x＜3；
④方程 ax2+bx+c＝8（a≠0）有两个不相等的实数根，正确的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）

11．（3 分）把抛物线 y＝2x2 向上平移 4 个单位，所得抛物线的函数表达式为 ．

12．（3 分）若 x2﹣mx+2＝0 的其中一个根为 2，则 m 的值为 ．
13．（3 分）如图，△COD 是△AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40°后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上，则∠

A 的度数是 ．

14．（3 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AC，BD 是两条对角线，现在从以下四个关系：①AB＝BC；② AC＝BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC 中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形 ABCD 是矩形的概率为 ．

15．（3 分）若圆锥的侧面面积为 12πcm2，它的底面半径为 3cm，则此圆锥的母线长为 cm．
16．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，点 D 是半径为 4 的⊙A 上一动点，连接 CD，点 E 是 CD 的中点，当点 D 落在线段 AC 上时，则 BE 的长度为 ； 若点 D 在⊙A 上运动，当 BE 取最大值时，BE 的长度是 ．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤．）

17．（4 分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．

18．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（﹣2，4），B（﹣2，0），C（﹣

4，1）．

（1） 画出△ABC 关于原点 O 成中心对称的图形△A1B1C1；
（2） 在（1）的条件下，求点 B 旋转到点 B1 时，线段 OB 扫过的面积（结果保留π）．

19．（6 分）寒假期间，小陈和小王计划去南沙的天后宫（记为 A）、百万葵园（记为 B）、湿地公园（记为 C）游玩．他们两人在以上三个景点中任选一个游玩（每人独立选择，不相互影响），且每个景点被选中的可能性相同．
（1） 小陈选择去天后宫游玩的概率是 ；

（2） 请用列举法求他们两人选择相同景点游玩的概率．

20．（6 分）如图，在△ABC 中，∠A＝∠B＝30°．

（1） 尺规作图：在线段 AB 上找一点 O，以 O 为圆心作圆，使⊙O 经过 B、C 两点；

（2） 在（1）中所作图中，求证：AC 与⊙O 的相切．

21．（8 分）如图，一架 5 米长的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上，这时点 B 到墙 AC 的距离为 3 米，记梯子的顶端从 A 处沿墙 AC 下滑的距离为 AA1，点 B 向外移动的距离为 BB1．
（1） 当 AA1＝2 米时，求 BB1 的长度；
（2） 当 AA1＝BB1 时，求 BB1 的长度．

22．（10 分）校艺术节上，甲同学用腰长为 20cm 的等腰直角三角形卡纸△ABC 裁剪出如图所示的矩形纸片 MNPQ，且矩形的四个顶点都在△ABC 的边上．
（1） ） 若甲裁剪出来的矩形纸片周长是△ ABC 纸片周长的一半， 那么这个矩形纸片的宽 MQ 是

cm；

（2） 设 MQ 的长度为 x cm，矩形 MNPQ 的面积为 S cm2，
①求 S 关于 x 的函数解析式；
②求矩形 MNPQ 的面积 S 的最大值．

23．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝﹣x2+bx+c，图象经过 A（4，0）、B（0，8）两点．
（1） 求二次函数的解析式及它的对称轴；

（2） 设点 P 是抛物线上的一个动点，横坐标为 m，

①当﹣2＜m＜3，则点 P 的纵坐标 y 的取值范围是 ；
②过点 P 作 PQ∥y 轴，交直线 AB 于 Q，当线段 PQ＝5 时，请求出 m 的值．

，
24．（12 分）如图 1，BC 是⊙O 的直径，点 A、D 在⊙O 上，连接 BD、CD，DB∥OA，BC＝10 ．
（1） 求证：AO⊥CD；

（2） 求 BD 的长；

（3） 如图 2，连接 AB，作∠CAB 的角平分线交⊙O 于 F，求 AF 的长度．

25．（12 分）如图 1，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点 P 为△ABC 内任意一动点．

（1） 当∠ABP＝∠ACP＝20°时，求∠BPC 的度数；

（2） 当点 P 满足 BP2+2CP2＝AP2 时，
①求∠BPC 的度数；
②如图 2，取 AP 的中点 D，连接 CD，试求 BP，CP，CD 之间的数量关系并说明理由．

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2023-2024 学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【解答】解：选项 B、C、D 中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转 180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项 A 中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转 180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：A．
2．（3 分）二次函数 y＝4（x﹣2）2+3 的对称轴是（ ）
A．直线 x＝2 B．直线 x＝﹣2 C．直线 x＝3 D．直线 x＝﹣3

【解答】解：因为抛物线解析式 y＝（x﹣2）2+3 是顶点式，顶点坐标为（2，3），所以对称轴为直线 x
＝2．

故选：A．

3．（3 分）用配方法解方程 x2﹣2x﹣5＝0 时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
【解答】解：由原方程移项，得

x2﹣2x＝5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2 的一半的平方 1，得

x2﹣2x+1＝6
∴（x﹣1）2＝6． 故选：C．
4．（3 分）方程 2x2﹣x﹣4＝0 的根的情况是（ ）

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根
D．无法确定是否有实数根

【解答】解：∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣4）＝33＞0，
∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B．
5．（3 分）如图，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C′，此点 A 在边 B′C 上，若 BC

＝5，AC＝3，则 AB′的长为（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【解答】解：∵△ABC 绕点 C 逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C′，点 A 在边 B′C 上，

∴CB′＝CB＝5，

∴AB′＝CB′﹣CA＝5﹣3＝2． 故选：D．
6．（3 分）下列说法正确的是（ ）

A. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1

B. 天气预报说每天下雨的概率是 50%，所以明天将有一半的时间在下雨C．彩票中奖的机会是 1%，买 100 张一定会中奖
D．“从一个只有红球的袋子里摸出白球”是随机事件

【解答】解：A．事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1，故 A 符合题意；

B. 天气预报说每天下雨的概率是 50%，所以明天不一定有一半的时间在下雨，故 B 不符合题意；

C. 某种彩票中奖的概率是 1%，因此买 100 张该种彩票不一定会中奖，故 C 不符合题意；

D. 从一个只有红球的袋子里摸出白球”是不可能事件，故 D 不符合题意； 故选：A．
7．（3 分）如图，正六边形螺帽的边长为 2，则这个螺帽的面积是（ ）

A． B．6 C． D．
【解答】解：如图，把正六边形螺帽抽象成正六边形 ABCDEF，连接正六边形的中心 O 和两个顶点 D、E，得到△ODE，
∵∠DOE＝360°× ＝60°，
又∵OD＝OE，

∴∠ODE＝∠OED＝（180°﹣60°）÷2＝60°，

∴△ODE 为正三角形，

∴OD＝OE＝DE＝2，
∴S△ODE＝ OD•OM＝ OD•OE•sin60°＝ ×2×2× ＝ ． 即这个螺帽的面积为 6×＝6 ．
故选：C．

8．（3 分）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：
“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 的平方，另一队猴子数是 12，那么这群猴子的总数
是多少？”设这群猴子的总数是 x 只，根据题意可列出的方程是（ ）

A．（8x）2＝x﹣12 B．（8x）2＝x+12
C． D．
【解答】解：∵这群猴子的总数是 x 只，

∴一队猴子数是（ x）2 只．

根据题意得：x＝（ x）2+12． 故选：D．
9．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，P 是 AB 延长线上一点，过 P 作⊙O 的切线，切点为点 C，点 D 是劣弧 上一点，连接 AC、BD、CD，若∠OPC＝20°，则∠BDC 的度数为（ ）

A．110° B．135° C．145° D．160°

【解答】解：连接 OC，

∵PC 切⊙O 于 C，

∴半径 OC⊥PC，

∴∠OCP＝90°

∵∠OPC＝20°，

∴∠POC＝90°﹣20°＝70°，
∴∠A＝ ∠BOC＝35°，
∵四边形 ABDC 是圆内接四边形，

∴∠A+∠BDC＝180°，

∴∠BDC＝145°． 故选：C．

10．（3 分）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标满足下表：

x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
8
3
0
﹣1
m
3
…

下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线 x＝2；②a＜0；③不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为 1＜x＜3；
④方程 ax2+bx+c＝8（a≠0）有两个不相等的实数根，正确的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：∵抛物线经过点（0，3），（4，3），

∴抛物线的对称轴为直线 x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），所以①正确；
∵由表中数据得 x＝2 时，y＝﹣1 最小，

∴抛物线开口向上，

∴a＞0，所以②错误；
∵抛物线的对称轴为直线 x＝2，抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（1，0），

∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0），而抛物线开口向上，
∴当 1＜x＜3 时，y＜0，

即不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为 1＜x＜3，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线 x＝2，抛物线经过点（﹣1，8），

∴抛物线经过点（5，8），

∴方程 ax2+bx+c＝8（a≠0）有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选：C．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）

11．（3 分）把抛物线 y＝2x2 向上平移 4 个单位，所得抛物线的函数表达式为 y＝2x2+4 ．
【解答】解：把抛物线 y＝2x2 向上平移 4 个单位，所得抛物线的函数表达式为 y＝2x2+4， 故答案为：y＝2x2+4．
12．（3 分）若 x2﹣mx+2＝0 的其中一个根为 2，则 m 的值为 3 ．
【解答】解：∵x2﹣mx+2＝0 的其中一个根为 2，
∴4﹣2m+2＝0，

∴m＝3．

故答案为：3．

13．（3 分）如图，△COD 是△AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40°后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上，则∠

A 的度数是 70° ．

【解答】解：∵△COD 是△AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40°后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上，

∴∠AOC＝∠BOD＝40°，OA＝OC，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠OCA，
∴∠A＝ （180°﹣40°）＝70°， 故答案为：70°．
14．（3 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AC，BD 是两条对角线，现在从以下四个关系：①AB＝BC；② AC＝BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC 中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形 ABCD 是矩形的概率为 ．
【解答】解：根据矩形的判定定理，

可推出平行四边形 ABCD 是矩形的有②④，
∴随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形 ABCD 是矩形的概率为＝ ． 故答案为： ．
15．（3 分）若圆锥的侧面面积为 12πcm2，它的底面半径为 3cm，则此圆锥的母线长为 4 cm．
【解答】解：设圆锥的母线长为 l，
根据题意得 •2π•3•l＝12π， 解得 l＝4．
故答案为 4．

16．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，点 D 是半径为 4 的⊙A 上一动点，连接 CD，点 E 是 CD 的中点，当点 D 落在线段 AC 上时，则 BE 的长度为 2 ；若点 D 在
⊙A 上运动，当 BE 取最大值时，BE 的长度是 6 ．

【解答】解：如图 1，连接 AD，

在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，

∴AC＝2BC＝8，∠C＝60°，

∵⊙A 的半径为 4，

∴AD＝4，

∴CD＝4，

∴AD＝CD，

∴△BCD 是等边三角形，

∵点 E 是 CD 的中点，

∴BE⊥CD，

∵∠C＝60°，
∴BE＝ BC＝2 ；
如图 2，取 AC 的中点 N，连接 AD、EN、BN．

∵AN＝NC，
∴BN＝ AC＝4，
∵AN＝NC，DE＝EC，
∴EN＝ AD＝2，
∴BN﹣EN≤BE≤BN+EN，

∴4﹣2≤BE≤4+2，

∴2≤BE≤6，

∴BE 的最大值为 6， 故答案为：2 ，6．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤．）

17．（4 分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
【解答】解：（x+1）（x﹣5）＝0，则 x+1＝0 或 x﹣5＝0，
∴x＝﹣1 或 x＝5．

18．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（﹣2，4），B（﹣2，0），C（﹣

4，1）．

（1） 画出△ABC 关于原点 O 成中心对称的图形△A1B1C1；
（2） 在（1）的条件下，求点 B 旋转到点 B1 时，线段 OB 扫过的面积（结果保留π）．

【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求；

（2）线段 OB 扫过的面积＝ ＝2π．

19．（6 分）寒假期间，小陈和小王计划去南沙的天后宫（记为 A）、百万葵园（记为 B）、湿地公园（记为 C）游玩．他们两人在以上三个景点中任选一个游玩（每人独立选择，不相互影响），且每个景点被选中的可能性相同．
（1） 小陈选择去天后宫游玩的概率是 ；

（2） 请用列举法求他们两人选择相同景点游玩的概率．

【解答】解：（1）∵小陈和小王计划去南沙的天后宫（记为 A）、百万葵园（记为 B）、湿地公园（记为 C）三个景点中任选一个游玩，
∴小陈选择去天后宫游玩的概率是 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如下：

共有 9 种等可能的结果，其中小陈和小王两人选择相同景点游玩的结果有 3 种，
∴小陈和小王两人选择相同景点游玩的概率为 ＝ ．
20．（6 分）如图，在△ABC 中，∠A＝∠B＝30°．

（1） 尺规作图：在线段 AB 上找一点 O，以 O 为圆心作圆，使⊙O 经过 B、C 两点；

（2） 在（1）中所作图中，求证：AC 与⊙O 的相切．

【解答】解：（1）如图，⊙O 即为所作．

（2）证明：连接 OC

∵△ABC 中，∠A＝∠B＝30°

∴∠ACB＝120°

由（1）可知，OC＝OB

∴∠OCB＝∠B＝30°

∴∠ACO＝90°

∴AC 是⊙O 的相切．

21．（8 分）如图，一架 5 米长的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上，这时点 B 到墙 AC 的距离为 3 米，记梯子的顶端从 A 处沿墙 AC 下滑的距离为 AA1，点 B 向外移动的距离为 BB1．
（1） 当 AA1＝2 米时，求 BB1 的长度；
（2） 当 AA1＝BB1 时，求 BB1 的长度．

【解答】解：（1）由题意可知，AB＝AB1＝5 米，∠ACB＝90°，

在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC＝＝＝4（米），当 AA1＝2 米时，CA1＝AC﹣AA1＝4﹣2＝2（米），
在 Rt△CA1B1 中，由勾股定理得：CB1＝＝ ，
∴BB1＝CB1﹣BC＝（ ﹣3）米， 答：BB1 的长度为（﹣3）米；
（2）设 AA1＝BB1＝x 米，则 CA1＝（4﹣x）米，CB1＝（3+x）米，

在 Rt△CA1B1 中，由勾股定理得：（4﹣x）2+（3+x）2＝52，解得：x1＝1，x2＝0（不符合题意，舍去），
答：BB1 的长度为 1 米．
22．（10 分）校艺术节上，甲同学用腰长为 20cm 的等腰直角三角形卡纸△ABC 裁剪出如图所示的矩形纸片 MNPQ，且矩形的四个顶点都在△ABC 的边上．
（1） 若甲裁剪出来的矩形纸片周长是△ABC 纸片周长的一半，那么这个矩形纸片的宽 MQ 是 （15
﹣10） cm；

（2） 设 MQ 的长度为 x cm，矩形 MNPQ 的面积为 S cm2，
①求 S 关于 x 的函数解析式；
②求矩形 MNPQ 的面积 S 的最大值．

【解答】解：（1）∵△ABC 是等腰直角三角形，

∴AB＝AC＝20cm，∠B＝∠C＝45°，

∴BC＝＝20（cm），
∵四边形 MNPQ 是矩形，

∴MQ＝PN，∠MQP＝∠NPQ＝90°，

∴△BQM 和△CPN 是等腰直角三角形，

∴MQ＝BQ＝PN＝PC，
∴ ，
∵甲裁剪出来的矩形纸片周长是△ABC 纸片周长的一半，
∴20 ﹣2MQ+MQ＝×（20+20+20 ），
解得 QM＝15﹣10， 故答案为：（15﹣10）；
（2）①过 A 作 AH⊥BC 于 H，交 MN 于 E，
∵MN∥PQ，

∴AE⊥MN，

∵∠NMQ＝∠MQP＝QHE＝90°，

∴四边形 MEHQ 是矩形，

∴EH＝MQ，

∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC，
∴ ，
∴AH＝ BC＝10 ，

∴
∵△ABC 是等腰直角三角形，

，

∴MN＝20 ﹣2x，
∴S＝MN•MQ＝（20 ﹣2x）•x， 即 S＝﹣2x2+20x；
②∵S＝﹣2x2+20 x＝﹣2（x﹣5 ）2+100，
∴矩形 MNPQ 的面积 S 的最大值为 100．

23．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝﹣x2+bx+c，图象经过 A（4，0）、B（0，8）两点．
（1） 求二次函数的解析式及它的对称轴；

（2） 设点 P 是抛物线上的一个动点，横坐标为 m，

①当﹣2＜m＜3，则点 P 的纵坐标 y 的取值范围是 0＜y≤9 ；
②过点 P 作 PQ∥y 轴，交直线 AB 于 Q，当线段 PQ＝5 时，请求出 m 的值．

【解答】解：（1）由题意得：

，解得： ，

则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8， 则抛物线的对称轴为直线 x＝1；
（2）由点 A、B 的坐标得，直线 AB 的表达式为：y＝﹣2x+8；

①当 x＝﹣2 时，y＝﹣x2+2x+8＝0， 当 x＝1 时，y＝﹣x2+2x+8＝9，
则点 P 的纵坐标 y 的取值范围是：0＜y≤9；

②设点 P（m，﹣m2+2m+8），则点 Q（m，﹣2m+8），

则 PQ＝|﹣m2+2m+2m|＝5， 解得：m＝5 或﹣1．
，
24．（12 分）如图 1，BC 是⊙O 的直径，点 A、D 在⊙O 上，连接 BD、CD，DB∥OA，BC＝10 ．
（1） 求证：AO⊥CD；

（2） 求 BD 的长；

（3） 如图 2，连接 AB，作∠CAB 的角平分线交⊙O 于 F，求 AF 的长度．

【解答】（1）证明：∵BC 是⊙O 的直径，

∴∠D＝90°，

∵OA∥BD，

∴∠CEO＝∠D＝90°，

∴AO⊥CD；

（2） 解：连接 AB，作 AH⊥BC 于 H，OM⊥BD 于 M，如图 1，则 BM＝DM，

∵BC 为⊙O 的直径，

∴∠CAB＝90°，

∴AB＝ ＝4 ，
∵ AH•BC＝ AC•AB，
∴AH＝ ＝4，
在 Rt△OAH 中，OH＝＝ ＝3，
∵OA∥BD，

∴∠AOH＝∠EBO，

在△AOH 和△OBM 中，

，

∴△AOH≌△OBM（ASA），

∴BM＝OH＝3，

∴BD＝2BM＝6；

（3） 解：作 CG⊥AF 于 G，连接 CF、BF，如图 2，

∵AF 平分∠CAB，

∴∠CAF＝∠BAF＝45°，

∴CF＝BF，

∴△CBF 为等腰直角三角形，
∴CF＝ BC＝5 ，
在 Rt△ACG 中，CG＝AG＝AC＝ ，
在 Rt△GFC 中，GF＝＝2 ，
∴AF＝AG+GF＝ +2 ＝3 ．

25．（12 分）如图 1，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点 P 为△ABC 内任意一动点．

（1） 当∠ABP＝∠ACP＝20°时，求∠BPC 的度数；

（2） 当点 P 满足 BP2+2CP2＝AP2 时，
①求∠BPC 的度数；
②如图 2，取 AP 的中点 D，连接 CD，试求 BP，CP，CD 之间的数量关系并说明理由．

【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠ABC＝∠BAC＝45°，

∵∠ABP＝∠ACP＝20°，

∴∠PBC＝∠ABC﹣∠ABP＝45°﹣20°＝25°，∠PCB＝90°﹣20＝70°，

∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣25°﹣70°＝85°；

（2）①将△BPC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△CAN，如图：

∴△BPC≌△ACN，

∴PC＝NC，AN＝BP，CP＝CN，∠PCN＝90°，∠BPC＝∠ANC，
∴PN＝ PC，
∴PN2＝2PC2，
∵BP2+2CP2＝AP2，
∴AN2+PN2＝AP2，
∴∠ANP＝90°，

∴∠ANC＝90°+45°＝135°，

∴∠BPC＝135°；
②2CD＝BP+ PD，
由①知∠BPC＝135°，∠CPN＝45°，
∴∠BPC+∠CPN＝180°，

∴B、P、N 在一条直线上，延长 CD 至 M，使 DM＝CD，连接 AM，如图：
∵AD＝DP，∠ADM＝∠PDC，CD＝DM，

∴△ADM≌△PDC（SAS），

∴∠APC＝∠MAD，CP＝AM，

∵CP＝CN，

∴AM＝CN，

∵∠APC＝∠DAM，

∴AM∥CP，

∴∠MAC+∠ACP＝180°，

∵∠ACB＝∠PCN＝90°，

∴∠ACB+∠PCN＝∠ACB+∠ACN+∠ACP＝∠BCN+∠ACP＝180°，

∴∠MAC＝∠NCB，

∵AC＝BC，CN＝AM，

∴△MAC≌△NCB（SAS），

∴BN＝CM＝2CD，

∵BN＝BP+PN，PN2＝2PC2，
∴PN＝ PC2，
∴2CD＝BP+ PC．