2023-2024学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2023-2024 学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）下列各图中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．

2．（3 分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x2+2x＝0 B． C．x+3＝0 D．x3+2x2＝1 3．（3 分）方程 3x2﹣2x﹣1＝0 的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法确定4．（3 分）下列事件为随机事件的是（ ）
A．太阳从东方升起 B．度量四边形内角和，结果是 720° C．某射击运动员射击一次，命中靶心 D．通常加热到 100℃时，水沸腾
5．（3 分）在平面直角坐标系中，点 P（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（ ）

A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣2，﹣1）

6．（3 分）不透明的袋子中装有 2 个白球，3 个红球和 5 个黑球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球，恰好是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（3 分）如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，⊙O 的半径是 1，则正六边形 ABCDEF 的周长是（ ）

A． B．6 C． D．12

第 9页（共 22页）

8．（3 分）如图，用圆心角为 120°，半径为 6 的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是

（ ）

A．4 B．2 C．4π D．2π 9．（3 分）反比例函数 y＝（m＞0，x＞0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10．（3 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，E 为 BC 延长线上一点，连接 OD，OB，若 OD∥BC，且 OD

＝BC，则∠BOD 的度数是（ ）

A．65° B．115° C．130° D．120°

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．）

11．（3 分）设 x1，x2 是方程 x2+3x﹣4＝0 的两个根，则 x1+x2＝ ．
12．（3 分）若点（2，a）在反比例函数的图象上，则 a＝ ．
13．（3 分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成黑、白两种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停
止后，指针恰好指向白色扇形的概率为 （指针指向 OA 时，当作指向黑色扇形；指针指向 OB 时，当作指向白色扇形），则黑色扇形的圆心角∠AOB＝ ．

14．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，BC＝3，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△AB′

C′，则 BB′＝ ．

15．（3 分）如图某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半径 OA＝10m，地面宽 AB＝16m，则高度 CD 为 ．

16．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 的开口向上，经过点（﹣1，3）和（1，0）且与 y 轴交于负半轴．则下列结论：①a+b+c＝0，②abc＜0；③2a+b＜0；④，其中正确的结论是 ．（填写
所有正确结论的序号）

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4 分）解方程：2x2﹣8＝0．

18．（4 分）如图，在△ABC 中，边 BC 与⊙A 相切于点 D，∠BAD＝∠CAD．求证：AB＝AC．

19．（6 分）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数 y＝2x 的图象与反比例函数 y＝的图象交于 A， B 两点，过点 A 作 AC⊥x 轴，垂足为点 C，AC＝2，求 k 的值．

20．（6 分）如图，四边形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 互相垂直，AC+BD＝10，当 AC，BD 的长是多少时，四边形 ABCD 的面积最大？

21．（8 分）学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣，该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根 C．趣挖番薯、D．开垦播种，学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组．
（1） 甲选择“趣挖番薯”小组的概率是 ；

（2） 请利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一个小组的概率．

22．（10 分）如图，AB 是⊙O 直径，C 为⊙O 上一点．

（1） 尺规作图：求作一点 B′，使得 B′与 B 关于直线 AC 对称；

（2） 在直线 AB′上取一点 D，连接 CD，若 CD⊥AB′，求证：CD 是圆 O 的切线．

23．（10 分）为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长 18 米，宽 10 米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其 余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的 80%．
（1） 求该广场绿化区域的面积；

（2） 求广场中间小路的宽．

24．（12 分）已知抛物线经过点 A（﹣1，0）和 B（3，0）．
（1） 求抛物线的解析式；

（2） 过点 A 的直线 y2＝kx+k 与抛物线交于点 P．
①当 0≤x≤3 时，若 y1﹣y2 的最小值为 5，求 k 的值；
②抛物线的顶点为 C，对称轴与 x 轴交于点 D，当点 P（不与点 B 重合）在抛物线的对称轴右侧运动时，直线 AP 和直线 BP 分别与对称轴交于点 M，N，试探究△AMD 的面积与△BND 的面积之间满足的等量关系．

25．（12 分）如图，点 E 为正方形 ABCD 边上的一点，CG 平分正方形的外角∠DCF，将线段 AE 绕点 E

顺时针旋转，点 A 的对应点为点 H．

（1） 当点 H 落在边 CD 上且 CE＝CH 时，求∠AEH 的度数；

（2） 当点 H 落在射线 CG 上时，求证：AE⊥EH；

（3） 在（2）的条件下，连接 AH 并与 CD 交于点 P，连接 EP，探究 AP2，EP2 与 HP2 之间的数量关系，并说明理由．

2023-2024 学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）下列各图中，是中心对称图形的是（ ）

A． B．
C． D．

【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转 180°后能和原来的图形重合，A、C、D 都不符合；
是中心对称图形的只有 B． 故选：B．
2．（3 分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x2+2x＝0 B． C．x+3＝0 D．x3+2x2＝1
【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意．；

B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

C、未知数的最高次数是 1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、未知数的最高次数是 3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A．
3．（3 分）方程 3x2﹣2x﹣1＝0 的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法确定
【解答】解：∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1，

∴Δ＝4﹣4×3×（﹣1）＝16＞0， 故选：C．
4．（3 分）下列事件为随机事件的是（ ）

A. 太阳从东方升起

B. 度量四边形内角和，结果是 720° C．某射击运动员射击一次，命中靶心D．通常加热到 100℃时，水沸腾
【解答】解：A、明天太阳从东方升起是必然事件，故此选项不符合题意； B、度量四边形内角和，结果是 720°是不可能事件，故此选项不符合题意； C、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故此选项符合题意；
D、通常加热到 100℃时，水沸腾是必然事件，故此选项不符合题意； 故选：C．
5．（3 分）在平面直角坐标系中，点 P（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（ ）

A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣2，﹣1）

【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点 P（﹣1，﹣2）关于原点 O 中心对称的点的坐标为（1，2）．故选：C．
6．（3 分）不透明的袋子中装有 2 个白球，3 个红球和 5 个黑球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球，恰好是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：随机摸出一个球共有 10 种等可能结果，其中恰好是白球的有 2 种结果，
所以随机摸出一个球，恰好是白球的概率为 ＝ ， 故选：C．
7．（3 分）如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，⊙O 的半径是 1，则正六边形 ABCDEF 的周长是（ ）

A． B．6 C． D．12
【解答】解：如图，连接 OA，OB．

第 22页（共 22页）

在正六边形 ABCDEF 中，OA＝OB＝1，∠AOB＝＝60°，
∴△OAB 是等边三角形，

∴AB＝OA＝1，

∴正六边形 ABCDEF 的周长是 1×6＝6． 故选：B．

8．（3 分）如图，用圆心角为 120°，半径为 6 的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是

（ ）

A．4 B．2 C．4π D．2π
【解答】解：扇形的弧长＝ ＝4π，
∴圆锥的底面半径为 4π÷2π＝2． 故选：B．
9．（3 分）反比例函数 y＝（m＞0，x＞0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵反比例函数 y＝中，m＞0，x＞0，
∴函数图象位于第一象限． 故选：A．
10．（3 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，E 为 BC 延长线上一点，连接 OD，OB，若 OD∥BC，且 OD

＝BC，则∠BOD 的度数是（ ）

A．65° B．115° C．130° D．120°

【解答】解：∵OD∥BC，且 OD＝BC，

∴四边形 OBCD 是平行四边形，

∴∠BOD＝∠BCD，
∵∠BAD＝ ∠BOD，∠BCD+∠A＝180°，
∴ ∠BOD+∠BOD＝180°， 解得：∠BOD＝120°，
故选：D．

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．）

11．（3 分）设 x1，x2 是方程 x2+3x﹣4＝0 的两个根，则 x1+x2＝ ﹣3 ．
【解答】解：∵x1，x2 是方程 x2+3x﹣4＝0 的两个根，
∴ ，
故答案为：﹣3．
12．（3 分）若点（2，a）在反比例函数的图象上，则 a＝ 6 ．
【解答】解：∵点（2，a）在反比例函数 的图象上，
∴a＝ ＝6， 故答案为：6．
13．（3 分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成黑、白两种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停
止后，指针恰好指向白色扇形的概率为 （指针指向 OA 时，当作指向黑色扇形；指针指向 OB 时，当作指向白色扇形），则黑色扇形的圆心角∠AOB＝ 45° ．

【解答】解：由题意知黑色扇形的圆心角∠AOB＝360°×（1﹣ ）＝45°，

故答案为：45°．

14．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，BC＝3，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△AB′
C′，则 BB′＝ 6 ．
【解答】解：∵在△ABC 中，BC＝3，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，

∴AB＝2BC＝6，

∵将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°，得到△AB′C′，

∴∠∠BAB′＝90°，AB＝AB′＝6，

∴BB′＝ ＝6 ． 故答案为：6 ．
15．（ 3 分） 如图某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面， 半径 OA ＝10m ， 地面宽 AB ＝ 16m ， 则高度 CD 为

4m ．

【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠ADO＝90°，AD＝AB＝8（m），在 Rt△AOD 中，OD2＝OA2﹣AD2，
∴OD＝ ＝6（m），

∴CD＝10﹣6＝4（m）．故答案是：4m．
16．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 的开口向上，经过点（﹣1，3）和（1，0）且与 y 轴交于负半轴．则
下列结论：①a+b+c＝0，②abc＜0；③2a+b＜0；④，其中正确的结论是 ①④ ．（填写所有正确结论的序号）

【解答】解：∵抛物线经过点（1，0），即 x＝1 时，y＝0，

∴a+b+c＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向上

∴a＞0，

∵抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，

∴a、b 异号，即 b＜0，

∵抛物线与 y 轴相交于负半轴，

∴c＜0，

∴abc＞0，所以②错误；
∵x＝﹣ ＜1， 而 a＞0，
∴﹣b＜2a，

即 2a+b＞0，所以③错误；
∵二次函数经过点（﹣1，3）和（1，0），

∴a﹣b+c＝3，a+b+c＝0，

∴2a+2c＝3，即 a+c＝，所以④正确； 故答案为：①④．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4 分）解方程：2x2﹣8＝0．
【解答】解：x2＝4， 所以 x1＝2，x2＝﹣2．
18．（4 分）如图，在△ABC 中，边 BC 与⊙A 相切于点 D，∠BAD＝∠CAD．求证：AB＝AC．

【解答】解：∵BC 与⊙A 相切于点 D，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，

∴△ABD≌△ACD（ASA），

∴AB＝AC．
19．（6 分）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数 y＝2x 的图象与反比例函数 y＝的图象交于 A， B 两点，过点 A 作 AC⊥x 轴，垂足为点 C，AC＝2，求 k 的值．
【解答】解：∵AC⊥x 轴，AC＝2，

∴A 的纵坐标为 2，

∵正比例函数 y＝2x 的图象经过点 A，

∴2x＝2，解得 x＝1，

∴A（1，2），

∵反比例函数 y＝的图象经过点 A，
∴k＝1×2＝2．

20．（6 分）如图，四边形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 互相垂直，AC+BD＝10，当 AC，BD 的长是多少时，四边形 ABCD 的面积最大？

【解答】解：设 AC＝x，四边形 ABCD 面积为 S，则 BD＝10﹣x， 则：S＝ AC•BD＝ x（10﹣x）＝﹣ （x﹣5）2+ ，
当 x＝5 时，S 最大＝；所以 AC＝BD＝5 时，四边形 ABCD 的面积最大．
21．（8 分）学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣，该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根 C．趣挖番薯、D．开垦播种，学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组．
（1） 甲选择“趣挖番薯”小组的概率是 ；

（2） 请利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一个小组的概率．
【解答】解：（1）甲选择“趣挖番薯”小组的概率是，故答案为： ；
（2）画树状图如下：

共有 16 种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一个小组的结果有 4 种，
∴甲、乙两人选择同一个小组的概率为 ＝ ．
22．（10 分）如图，AB 是⊙O 直径，C 为⊙O 上一点．

（1） 尺规作图：求作一点 B′，使得 B′与 B 关于直线 AC 对称；

（2） 在直线 AB′上取一点 D，连接 CD，若 CD⊥AB′，求证：CD 是圆 O 的切线．

【解答】（1）解：如图，连接 BC 并延长，以点 C 为圆心，BC 的长为半径画弧，交 BC 的延长线于点

B'，

则点 B 即为所求．

（2）证明：连接 OC，

∵B′与 B 关于直线 AC 对称，

∴AC 垂直平分 BB'，

∴AB'＝AB，

∴∠ABB'＝∠AB'B．

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠OCB＝∠AB'B，

∴AB'∥OC，

∵CD⊥AB′，

∴∠B'DC＝90°，

∴∠DCO＝∠B'DC＝90°，

∴OC⊥CD．

∵OC 为圆 O 的半径，

∴CD 是圆 O 的切线．

23．（10 分）为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长 18 米，宽 10 米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其 余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的 80%．
（1） 求该广场绿化区域的面积；

（2） 求广场中间小路的宽．

【解答】解：（1）18×10×80%＝144（平方米）．答：该广场绿化区域的面积为 144 平方米．
（2）设广场中间小路的宽为 x 米，

依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144，整理，得：x2﹣19x+18＝0，
解得：x1＝1，x2＝18（不合题意，舍去）．答：广场中间小路的宽为 1 米．
24．（12 分）已知抛物线经过点 A（﹣1，0）和 B（3，0）．
（1） 求抛物线的解析式；

（2） 过点 A 的直线 y2＝kx+k 与抛物线交于点 P．
①当 0≤x≤3 时，若 y1﹣y2 的最小值为 5，求 k 的值；
②抛物线的顶点为 C，对称轴与 x 轴交于点 D，当点 P（不与点 B 重合）在抛物线的对称轴右侧运动时，直线 AP 和直线 BP 分别与对称轴交于点 M，N，试探究△AMD 的面积与△BND 的面积之间满足的等量关系．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点 A（﹣1，0）和 B（3，0），
∴y1＝﹣（x+1）（x﹣3），

∴抛物线的解析式为 y1＝﹣x2+2x+3；
（2）①由题意可知：y1﹣y2＝﹣x2+2x+3﹣kx﹣k＝﹣x2+（2﹣k）x+3﹣k，
∴该函数的对称轴为直线 x＝﹣＝ ，
∵﹣1＜0，

∴开口向下，
当 0即﹣4＜k＜2 时，
∵当 0≤x≤3 时，若 y1﹣y2 的最小值为 5，
∴当 x＝0 时，y1﹣y2 的最小值为 5，即 3﹣k＝5，解得 k＝﹣2，
当 x＝3 时，若 y1﹣y2 的最小值为 5，即﹣9+3（2﹣k）+3﹣k＝5，解得 k＝﹣（不符合题意，舍去），当 即 k≤﹣4 时，同理可得不符合题意；
②∵抛物线解析式 y＝﹣x2+2x+3，
整理成顶点式为：y1＝﹣（x﹣1）2+4，对称轴为直线 x＝1，
∴顶点（1，4），D（1，0），

∵直线 AP 的解析式为 y2＝kx+k，且直线 AP 与对称轴交于点 M，
∴M（1，2k），即 DM＝2K，

∵过点 A 的直线 y2＝kx+k 与抛物线交于点 P， 有﹣x2+2x+3＝kx+k，
解得，x1＝﹣1，x2＝3﹣k，
将 x＝3﹣k 代入 y2＝kx+k 中，有 y2＝4k﹣k2，
∴P（3﹣k，4k﹣k2），
设直线 PB 的解析式为 y3＝mx+n，

则
解得
，
，

∴直线 BP 的解析式为 y3＝（﹣4+k）x+12﹣3k，
∵直线 BP 与对称轴交于点 N，

∴N（1，8﹣2k），即 DN＝8﹣2k．

当 P 在第一象限时，S△AMD＝ AD•DM＝ ×2×2k＝2k，

S△BND＝ BD•DN＝ ＝8﹣2k，
∴S△AMD+S△BND＝2k+8﹣2k＝8．当点 P 在第四象限时，
S△AMD＝ AD•DM＝ ×2×（﹣2k）＝﹣2k，
S△BND＝ BD•DN＝ ＝8﹣2k，
∴S△BND﹣S△AMD＝8﹣2k﹣（﹣2k）＝8．
综上可知，S△AMD+S△BND＝8 或 S△BND﹣S△AMD＝8．
25．（12 分）如图，点 E 为正方形 ABCD 边上的一点，CG 平分正方形的外角∠DCF，将线段 AE 绕点 E

顺时针旋转，点 A 的对应点为点 H．

（1） 当点 H 落在边 CD 上且 CE＝CH 时，求∠AEH 的度数；

（2） 当点 H 落在射线 CG 上时，求证：AE⊥EH；

（3） 在（2）的条件下，连接 AH 并与 CD 交于点 P，连接 EP，探究 AP2，EP2 与 HP2 之间的数量关系，并说明理由．

【解答】（1）解：如图所示，连接 AH，

∵线段 AE 绕点 E 顺时针旋，当点 H 落在边 CD 上，

∴AE＝EH，

∵四边形 ABCD 是正方形，

∴CB＝CD＝AB＝AD，∠ABE＝∠ADH＝90°，

∵CE＝CH，

∴CB﹣CE＝CD﹣CH，

∴BE＝DH，

在△ABE 和△ADH 中，

，

∴△ABE≌△ADH（SAS），

∴AH＝AE＝EH，

故△AEH 为等边三角形，

∴∠AEH＝60°；

（2）证明：如图，在 AB 上取点 Q，使 BQ＝BE，作 HM 垂直 BF 于点 M，

∵线段 AE 绕点 E 顺时针旋，当点 H 落在边 CG 上，

∴AE＝EH，

∵AB＝AC，BQ＝BE，

∴AQ＝CE，

∵CG 平分∠DCF，

∴CM＝HM，

设 AQ＝CE＝a，CM＝HM＝b，BQ＝BE＝x，

在 Rt△ABE 和 Rt△EMH 中，AE2＝AB2+BE2，EH2＝EM2+MH2，
∴AB2+BE2＝EM2+MH2，
即（a+x）2+x2＝（a+b）2+b2， 整理得：2（x﹣b）（a+b+x）＝0，
∵a+b+x≠0，

∴x﹣b＝0， 解得 x＝b，
∴CM＝BE，

∵CG 平分∠DCF，BQ＝BE，

∴∠GCF＝∠BQE＝45°，

∴∠AQE＝∠ECH＝135°，

∵ ，CH＝ CM，
∴QE＝CH，

在△AQE 和△ECG 中，

，

∴△AQE≌△ECG（SAS），

∴∠QAE＝∠CEG，

∴∠QAE+∠AEB＝90°，

∴∠CEG+∠AEB＝90°，

∴∠AEG＝90°， 故 AE⊥EH．
（3）解：HP2+AP2＝2EP2．
理由如下：如图，过点 P 作 PM⊥EH 于点 M，PN⊥AE 于点 N，

由（2）可知，AE⊥EH，

∴∠EAH＝∠EHA＝45°，

∴△APN 和△PHM 为等腰直角三角形， 即 ， ，
∴PH2＝2PM2，AP2＝2PN2，
∵∠PNE＝∠AEH＝∠PME＝90°，

∴四边形 PNEM 为矩形，

∴PM＝NE，

在 Rt△PNE 中，EP2＝NE2+PN2＝PM2+PN2．
∴HP2+AP2＝2（PM2+PN2）＝2EP2， 故 HP2+AP2＝2EP2．