流体力学第8、10、11章课后习题.docx

第八章 边界层理论基础
一、主要内容
（一）边界层的基本概念与特征
1、基本概念：绕物体流动时物体壁面附近存在一个薄层，其内部存在着很大的速度梯度和漩涡，粘性影响不能忽略，我们把这一薄层称为边界层。
2、基本特征：
（1）与物体的长度相比，边界层的厚度很小；
（2）边界层内沿边界层厚度方向的速度变化非常急剧，即速度梯度很大；
（3）边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；
（4）由于边界层很薄，因而可以近似地认为边界层中各截面上压强等于同一截面上边界层外边界上的压强；
（5）在边界层内粘性力和惯性力是同一数量级；
（6）边界层内流体的流动与管内流动一样，也可以有层流和紊流2种状态。
（二）层流边界层的微分方程（普朗特边界层方程）

其边界条件为：在处，
在处，
（三）边界层的厚度
从平板表面沿外法线到流速为主流99%的距离，称为边界层的厚度，以表示。边界层的厚度顺流逐渐加厚，因为边界的影响是随着边界的长度逐渐向流区内延伸的。

图8-1 平板边界层的厚度
1、位移厚度或排挤厚度

2、动量损失厚度

（四）边界层的动量积分关系式

对于平板上的层流边界层，在整个边界层内每一点的压强都是相同的，即常数。这样，边界层的动量积分关系式变为

二、本章难点
（一）平板层流边界层的近似计算
根据三个关系式：（1）平板层流边界层的动量积分关系式；（2）层流边界层内的速度分布关系式；（3）切向应力关系式。可计算得到在平板一个壁面上由粘性力引起的总摩擦力及摩擦阻力系数。
三、习题与解答
8-1一平板顺流放置于均匀流中。如果将平板的长度增加1倍，试问：平板所受的摩擦阻力将增加几倍？(设平板边界层内的流动为层流)
解：当平板边界层为层流边界层时，摩擦阻力系数，即
平板所受摩擦力可表示为，所以，
可得：如果将平板的长度增加1倍，平板所受的摩擦阻力将增加倍。
8-2设顺流长平板上的层流边界层中，板面上的速度梯度为。试证明板面附近的速度分布可用下式表示

式中，为板长方向的压强梯度，为至板面的距离。（设流动为定常流）
证明：对于恒定二维平板边界层，普朗特边界层方程为：
（1）
由于平板很长，可以认为，由连续性方程可得：
（2）
在平板壁上，因此在边界层内，式（1）可简化为：
（3）
上式中右端是的函数，左端是的函数，要使左右两端相等，必须使得常数，对式（3）积分一次得：
（4）
再积分得到：
（5）
由题意，代入式（4）中，故
当时，由无滑移条件，得
证得
8-3温度为25℃的空气，以30的速度纵向绕流一块极薄的平板，压强为大气压强，计算离平板前缘200处边界层的厚度为多少？
解：查表得温度为25℃的空气，其运动粘度为
对应的雷诺数为＞＞，按紊流边界层计算
边界层厚度为
8-4温度为20℃、密度的油流，以的速度纵向绕流一宽、长的薄平板流动。试求总摩擦阻力和边界层厚度。在20℃时油的。
解：对应的雷诺数为，按层流边界层计算
边界层厚度为
总摩擦阻力为
8-5平板层流边界层内速度分布规律为，试求边界层厚度和摩擦阻力系数与雷诺数的关系式。
解：边界层的动量积分关系式为
（1）
由题可得
（2）
利用牛顿内摩擦定律和式（2）得出：
（3）
为便于计算边界层厚度，先求下列2个积分式
（4）
（5）
将式（3）、（4）、（5）代入式（1）中得：

积分后得

因为在平板壁面前缘点处边界层厚度为0，即，，所以积分常数。于是得边界层厚度为
（6）
位移厚度
动量损失厚度
将式（6）代入式（3）中，得切向应力为
（7）
在平板一个壁面上由粘性力引起的总摩擦阻力为
（8）
摩擦阻力系数为

8-6若平板层流边界层内的速度分布为正弦曲线，试求和与之间的关系式。
解：边界层的动量积分关系式为
（1）
由题可得
（2）
利用牛顿内摩擦定律和式（2）得出：
（3）
为便于计算边界层厚度，先求下列2个积分式
（4）
（5）
将式（3）、（4）、（5）代入式（1）中得：

积分后得

因为在平板壁面前缘点处边界层厚度为0，即，，所以积分常数。于是得边界层厚度为
（6）
位移厚度
动量损失厚度
将式（6）代入式（3）中，得切向应力为
（7）
在平板一个壁面上由粘性力引起的总摩擦阻力为
（8）
摩擦阻力系数为

8-7根据边界层内紊流速度分布的指数规律和，试求紊流边界层厚度。
解： 紊流边界层动量积分方程为
（1）
的物理含义为压力与粘性力之比，它代表压强梯度
（2）
由题可得
（3）
利用牛顿内摩擦定律和式（3）得出：
（4）
为便于计算边界层厚度，先求下列2个积分式
（5）
（6）
将式（2）、（4）、（5）、（6）代入式（1）中得：

积分后得

因为在平板壁面前缘点处边界层厚度为0，即，，所以积分常数。于是得边界层厚度为
（7）
8-8在同样雷诺数的情况下，试求20℃的水和30℃的空气各平行流过长度为的平板时产生的摩擦阻力之比。
解：相同雷诺数，即

查表得20℃的水，，30℃的空气，，因为平板上摩擦阻力满足
所以
8-9一块长，宽的平板平行静止地安放在速度为的40℃空气流中，在平板边界层内从层流转变为紊流的临界雷诺数，试计算平板的摩擦阻力。
解：查表得40℃的空气运动粘度为
平板边界层流动状态转换点位置，可基本按紊流边界层计算
对应的雷诺数
平板摩擦阻力为
8-10假设一平板顺流放置于速度为的均流中，如已知平板上层流边界层内的速度分布可用（为该点至板面的距离）的三次多项式表示，试求这一速度分布。
解：设板上层流边界层内速度分布为
在上式中有4个待定系数，应用下列4个边界条件：
① ，
② ，
③ ，，
④ 由普朗特边界层方程
当处，，故
而对于势流区，故，因此，对于平板而言，可得：
，，
应用4个条件得到如下4个方程：

解得：

即速度分布可表示为：
第十章 气体紊动射流
一、主要内容
(一)射流分类
流体由孔口、喷嘴或条缝射出，流入另一部分流体介质中，这种流动称为射流。
射流有淹没射流和非淹没射流之分。流体射入与其性质相同的介质中的流动称为淹没射流。淹没射流的流动情况与流动空间的大小有关。如流动空间很大，射流基本上不受周围固体边壁的影响，称为无限空间射流，反之称为有限空间射流或受限射流。
按射流的断面形状可分为平面射流、圆断面轴对称射流和矩形断面三维射流等。
淹没射流的流态一般都是紊流，层流射流几乎是不存在的。按射流的物理性质可分为等密度射流和变密度射流。一般等密度射流属于动量射流（纯射流），以出流的动量为原动力。当射流与环境流体存在温度差或浓度差时，形成变密度射流，原动力包括出流动量和浮力两部分，即所谓浮射流。
（二）无限空间淹没紊流射流的特征
气流从半径为的圆断面喷管喷出，出口断面上的速度可以认为是均匀分布的，记为，假设流动为紊流。得出的射流流动特性和结构图形如下。

图10-1 射流结构
1、结构特征
刚喷出的射流速度是均匀的，射流沿方向流动，不断带入周围介质，不仅使边界层扩张，而且使射流主体的速度逐渐降低。速度为的部分（锥体）称为射流核心，其余部分速度小于，称为边界层。射流边界层从出口开始沿射程不断地向外扩散，带动周围介质进入边界层，同时向射流中心扩展，至某一距离处，边界层扩展到射流轴心线，核心区域消失，只有轴心点上速度为。射流这一断面（）称为过度断面或转折断面。以过度断面分界，出口断面至过度断面称为射流起始段，过度断面以后称为射流主体段。起始段射流轴心上速度都为，而主体段轴心速度沿方向不断下降，主体段中完全为射流边界层所占据。
2、几何特征
射流外边界层是一条直线（及线）。、延至喷嘴内交与点，此点称为极点。的一半（）称为极角，又称为扩散角。
为圆断面射流截面的半径（或平面射流边界层的半高度），它和从极点起算起的距离成正比，即。

式中，为形状系数，圆断面射流，平断面射流；为紊流系数，可查表得出。
3、运动特征
射流各截面上的无量纲速度分布用半经验公式可表示为
（三）射流参数的计算
表10-1 等密度射流参数的计算
流段
参数名称
符号
圆断面射流
平面射流

射程

主体段
扩散角

射流半径或半高度

轴心速度

流量

断面平均流速

质量平均流速

起始段
收缩角

喷嘴至极点的距离

核心段长度

流量

断面平均流速

质量平均流速

（四）温差射流与浓差射流
当射流喷口处流体的温度或含有物浓度与环境流体有差异时，射流密度不同于环境流体的密度，形成变密度的浮射流。

图10-2浮射流
以下标表示周围气体的参数。
对温差射流：出口断面温差，轴线上温差，截面上任一点温差。
对浓差射流：出口断面浓差，轴线上浓差，截面上任一点浓差。
截面温差、浓度分布为
表10-2 温差浓差射流参数的计算
流段
参数名称
圆断面射流
平面射流
主体段
轴线温差浓差

质量平均温差浓差

起始段
质量平均温差浓差

轴线轨迹

阿基米德数

二、本章难点
（一）、无限空间淹没紊流射流的特征
由其结构特征，几何特征，运动特征及动力特征，理解并掌握射流结构图。
（二）、射流参数的计算
包括圆断面射流的运动分析和平面射流的运动分析，利用公式解答。
（三）、温差和浓差射流参数的计算
当射流喷口处流体的温度或含有物浓度与环境流体有差异时，射流密度不同于环境流体的密度，形成变密度的浮射流。其公式发生相应改变。
三、习题与解答
10-1圆射流以，从管嘴流出。试求处射流半径，轴心速度，断面平均流速，质量平均流速，并进行比较。
解：查表得紊流系数
由题易得：，，
可得：
由，可得：
核心段长度＜，即所求横截面在主体段内，得：
，
10-2某体育馆的圆柱形送风口，，风口至比赛区为。要求比赛区风速（质量平均风速）不得超过。求送风口的送风量应不超过多少。
解：查表得紊流系数
由题易得：，，
可得：，核心段长度＜，即所求横截面在主体段内。
由，，可得：
，
10-3岗位送风所设风口向下，距地面。要求在工作区（距地高范围）造成直径为射流截面，限定轴心速度为，求喷嘴直径及出口流量。
解：查表得紊流系数
由题易得：，，
由，得： ，
核心段长度＜，即所求横截面在主体段内。
由，可得：
，
10-4有一两面收缩均匀的矩形孔口，截面为，出口速度为，求距孔口处，射流轴心速度、质量平均速度及流量。
解：查表得紊流系数
由题易得：，，，
核心段长度＜，即所求横截面在主体段内。
由，得 ，即：
，，
10-5空气以的速度从圆管喷出，为，求距出口处的、及。
解：查表得紊流系数
由题易得：，，
由，得：
核心段长度＜，即所求横截面在主体段内。
由，可得：
，
10-6清扫沉降室中灰尘的吹吸系统如图所示。室长，吹风口高，宽为，由于贴附底板，射流相当于半个平面射流。底板即为轴心线。问：（1）吸风口高度为多少？（2）若吸风口处速度为，应为多少？（3）吸风口处的风量应为多少？

解：查表得紊流系数
由题易得：，
（1）由，得：
（2）由，，得：
，
（3）核心段长度＜，即所求横截面在主体段内。

10-7要求空气淋浴地带的宽度。周围空气中有害气体的浓度。室外空气中浓度。工作地带允许的浓度为。今用一平面喷嘴，试求喷嘴及工作地带距喷嘴的距离。
解：由题易得：，，出口断面浓差，轴线上浓差
由，，解得：
，
10-8温度为40℃的空气，以，从水平圆柱形喷嘴射入℃的空气中。求射流轨迹方程。
解：查表得紊流系数，
由题易得，，，，出口断面温差，，，阿基米德数
射流轨迹方程为
将数据代入上式，整理得：
10-9高出地面处设一孔口为，以速度向房间水平送风。送风温度℃，室内温度℃。试求距出口处的、及弯曲轴心坐标。
解：查表得紊流系数，
由题易得，，，，，，出口断面温差，，，阿基米德数
核心段长度＜，即所求横截面在主体段内。
由，，得：

由，，得：℃
射流轨迹方程为
将数据代入上式，整理得：，即弯曲轴心坐标距地面。
10-10如图所示，室外空气经过墙壁上处的扁平窗口（）射入室内，室外温度℃，室内温度℃，窗口处出口速度为，问距壁面处，、及冷射流轴心坐标。

解：查表得紊流系数
由题易得，，，，，出口断面温差。
阿基米德数。
核心段长度＜，即所求横截面在主体段内。
由得：， ℃
由，得：，
射流轨迹方程为
将数据代入上式，整理得：，将代入得：
10-11喷出清洁空气的平面射流，射入含尘浓度为的静止空气中，要求距喷口处造成的宽度为的射流区。求设计喷口尺寸，并求工作区轴心处灰尘浓度。
解：查表得紊流系数
由题可得：，
假设在主体段，由得：
此时核心段长度＜，即所求横截面在主体段内，假设成立。
出口断面浓差，，则轴线上浓差，所以工作区轴心处灰尘浓度
10-12实验测得轴对称射流的，某断面处，试求在该断面上气体流量是初始流量的多少倍？
解：对圆断面射流，有，即
易得：
对平面射流，有，即
易得：
10-13有一圆形射流，在距出口处的地方测得为的50%，试求其圆形喷嘴半径。
解：由题可得：，由，即
射流半径，取紊流系数，则：

10-14试求的圆断面、射流出口断面为，距轴心处的射流速度与出口速度之比值。
解：查表得紊流系数，由题可得：，，
核心段长度＜，即所求横截面在主体段内
易得：，得到，轴心速度，同时射流各截面上的无量纲速度分布用半经验公式可表示为
所以，
10-15为保证距喷口中心，处的流速及初始段长度，当时，试求喷口出口处的初始风量。
解：由题可得：，，，，
核心段长度＜，即所求横截面在主体段内，
易得：，得到，轴心速度，同时射流各截面上的无量纲速度分布用半经验公式可表示为
所以：，

10-16由的喷口中射出温度为的气体射流，周围介质温度为，试求喷口中心，处的气体温度（）。
解：由题可得：，，，，出口断面温差，核心段长度＜，即所求横截面在主体段内
易得：，轴线上温差
由，截面温差分布为
所以，
10-17绘制，的自由淹没紊流射流结构几何图。
解：由题可得：，
扩散角，核心段长度，喷嘴至极点的距离
画法参照图10-1。
10-18为什么用无因次量研究射流运动？
答：用无量纲可以更清楚的描述射流的运动分布特征。
10-19什么是质量平均流速？为什么要引入这一流速？
答：质量平均流速表示的是射流断面上按动量相等求出的算术平均值。
在通风、空调工程上通常使用的是轴心附近较高的速度区，因此按体积流量相等求出的断面平均流速不能恰当的反映被使用区的速度。为此，引入质量平均流速。
10-20在温差射流中，无因次温度分布线为什么在无因次速度线的外边？
答：射流与周围气体之间存在的质量、热量和浓度的交换中，热量和浓度的扩散比质量扩散快，所以射流的温度和浓度边界层比速度边界层发展得要快。下图为无因次温度分布曲线和无因次速度分布曲线图。

10-21温差射流轨迹为什么弯曲？它是怎样寻求轨迹方程的？
答：温差射流与浓差射流由于密度与周围气体密度不同，所受的重力与浮力不相平衡，使整个射流发生向下或向上的弯曲。
可将轴心线的弯曲轨迹作为射流的弯曲轨迹。
第十一章 多孔介质中的渗流
一、主要内容
（一）基本概念
1、多孔介质：如果一个体积被分成很多微小的体积后，在每个小体积中都包含有固体和流体，则该体积所包含的介质称为多孔介质。其中固体部分称为骨架，而充满流体（液体或气体）的部分称为孔隙。
2、渗流：水或其他流体在多孔介质中的流动称为渗流。
3、孔隙率：孔隙体积与整个体积之比。
4、孔隙比：孔隙体积与骨架体积之比。
（二）、达西定律
1、渗流的适用范围：渗流区域设想为没有土粒存在，而是全部充满了水，并沿着主流方向作为连续介质而运动，这种虚构的渗流模型称为渗流模型。
2、达西定律：
式中：—点流速；
—改点的水力坡度；
—反映土和流体性质综合影响渗流的系数，具有速度的量纲，称为渗流系数。
3、达西定律的适用范围：用雷诺数进行判别，因为土孔隙的大小、形状和分布在很大的范围内变化，相应的判别雷诺数为
式中：—渗流断面平均流速；
—土颗粒的有效直径，一般用，即筛分时占10%质量的土颗粒所通过的筛孔直径；
—水的运动粘度。
（三）、两个简单的渗流解
1、平面单向流
假设地层是均质而且是水平的，渗透系数为；地层的一端是供给边界，供给压头为；另外一端为排液边界，其压头为。

图11-1 平面单向流
地层内任意点的压头分布为，该式表明平面单向稳定渗流情况下，底层内的压头分布是线性的。流量为。
2、平面径向流
地层为水平圆盘形、均质等厚，渗透系数为；圆形边界是供给边界，供给水头为。在圆心处有半径为的井，井底压头为。

图11-2 平面径向流
平面径向流的压头分布为，该式表明平面径向流的压头分布是按对数规律降低的。流量为。
二、习题与解答
11-1什么是渗流流动？
答：水或其他流体在多孔介质中的流动称为渗流。
11-2若将半径相同的球体进行正立方体排列（即最松排列），试求其孔隙度和孔隙比。
解：理想化的同样大小球体以最松的立方体排列时，孔隙率；对应的孔隙比。
11-3若将半径相同的球体进行斜立方体排列（即最紧排列），试求其孔隙度和孔隙比。
解：以最密的菱形体排列时，孔隙率；对应的孔隙比。
11-4什么叫渗流系数？渗流系数与哪些因素有关？
答：反映土和流体性质综合影响渗流的系数，具有速度的量纲，称为渗流系数。
渗流系数与许多因素有关，不仅取决于多孔介质的性质，如颗粒成分、颗粒排列、充填状况等，而且与渗流液体的物理性质（密度、粘度等）有关。
11-5达西定律说明了渗流流动过程的什么关系？
答：达西定律为，因为流量与压差呈线 性关系，故达西定律也是线性渗流定律。
11-6解决渗流流动的一般思路是什么？
答：第一步，建立比较理想的物理模型；第二步，对物理模型建立相应的数学模型；第三步，对数学模型求解；第四步，将求得的理论结果应用到实际问题中。
11-7平面单向流和平面径向流的压头分布公式，说明其压头降低的特点。
答：（1）平面单向流的压头分布为，该式表明平面单向稳定渗流情况下，底层内的压头分布是线性的。
（2）平面径向流的压头分布为，该式表明平面径向流的压头分布是按对数规律降低的。
11-8由平面径向流的流量公式，说明提高油井产量有哪些途径？
答：平面径向流流量公式为
途径：1、酸化压裂，增加渗透率；2、增大生产压差；3、加入降粘剂，火烧油层；4、补孔处理；5、加密井。
11-9土壤达西实验装置中，已知装有土壤样品的圆筒直径，在土壤中选两个相隔的截面，并用测压管测出两截面间的水头差为。如果测得渗流流量为，求该土壤样品的渗流系数。

解：断面平均渗流速度：
平均水力坡度：
根据达西渗流定律，则渗流系数为：