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一共有多少个正三角形.doc

上传人:s4****5z 文档编号:8883592 上传时间:2025-03-06 格式:DOC 页数:6 大小:193.50KB 下载积分:10 金币
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资源描述
6 一共有多少个正三角形? 陕西省兴平市阜寨镇教委 张晨 把正六边形的各边n等分,用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行。这样,正六边形就变成了由许多相同的小正三角形组成的网格状图形。那么,一共有多少个大小不同的正三角形呢?这是一个有趣又有一定难度的数数问题。 这个问题如何解答?我们可以从研究分析简单的情形入手,最后归纳出一般的结论。 如图,把正六边形的各边2等分,用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行。这样,正六边形就变成了由有限个相同的小正三角形组成的网格状图形。图中一共有多少个大小不同的正三角形呢? 通过观察分析可以发现,图中既有正立(△)的正三角形,又有倒立(▽)的正三角形;既有边长为1(图中小正三角形的边长规定为1个单位长度)的小正三角形,又有边长为2和3的大正三角形。而且,由于正六边形的对称性,所有正立正三角形的个数和倒立正三角形的个数相等。 下面我们从上到下逐行数出所有正立正三角形的个数。 第一步,边长为1的正立正三角形有: 3+4+3+2=12(个) 第二步,边长为2的正立正三角形有: 3+2+1=6(个) 第三步,边长为3的正立正三角形有1个。 所以正立正三角形的个数是:12+6+1=19(个) 因为正立正三角形的个数和倒立正三角形的个数相等,所以图中一共有19×2=38(个)大小不同的正三角形。 通过进一步的观察和分析,我们发现正六边形各边的等分数n分偶数和奇数两种情形,即当n=2m和n=2m+1时正六边形中正三角形的个数有不同的结论。 先看当n=2m时正六边形中正三角形的个数。 同上,我们只要先从上到下逐行求出边长为1~3m(边长为3m的正立正三角形是正六边形中最大的正立正三角形)的正立正三角形的个数,再乘2,就可以得出正六边形中全部正三角形的个数。 第一步,边长为i(1≤i≤2m)的正立正三角形的个数是: (2m+1)+(2m+2)+…+(4m+1-i)+(4m-i)+…+(2m+1-i) =[(2m+1)+(2m+2)+…+(4m-i)]×2+(4m+1-i)+2m+(2m-1)+ …+(2m+1-i) =(6m+1-i)(2m-i)+(4m+1-i)+i(4m+1-i) =12m+2m-8mi-i+i+4m+1-i+2mi+i-i =12m+6m+1+i-6mi-i 第二步,边长为2m+j(1≤j≤m)的正立正三角形的个数是: (2m+1-2j)+ (2m-2j)+ …+1 =(2m+1-2j+1)(2m+1-2j)÷2 =(m+1-j)(2m+1-2j) =2m+3m+1+2j-4mj-3j 第三步,边长为1~2m的正立正三角形的个数是: (12m+6m+1+i-6mi-i) =2m(12m+6m+1)+ [1+2+…+(2m)]-(6m+)(1+2+…+2m) =24m+12m+2m+m(2m+1)(4m+1)-m(2m+1)(6m+) =24m+12m+2m+m+m+m-12 m-9m-m =13m+4m+m 注: 1+2+…+(2m)=(2m)(2m+1)(4m+1)=m(2m+1)(4m+1) 1+2+…+2m=(2m)(2m+1)=m(2m+1) 第四步,边长为2m+1~3m的正立正三角形的个数是: (2m+3m+1+2j-4mj-3j) =m(2m+3m+1)+2×(1+2+…+m)-(4m+3)(1+2+…+m) =m(2m+3m+1)+m(m+1)(2m+1)-m(m+1)(4m+3) =2m+3m+m+m+m+m-2m-m-m =m+m-m 所以当n=2m时正六边形中大小不同的正三角形的总数是: (13m+4m+m+m+m-m)×2 =(14m+4m+m)×2 =28m+9m+m (个) 再看当n=2m+1时正六边形中正三角形的个数。 第一步,边长为i(1≤i≤2m)的正立正三角形的个数是: (2m+2)+(2m+3)+…+(4m+3-i)+(4m+2-i)+…+(2m+2-i) =[(2m+2)+…+(4m+2-i)]×2+(4m+3-i)+[(2m+1)+ …+(2m+2-i) ] =(6m+4-i)(2m+1-i)+(4m+3-i)+i(4m+3-i) =12m+14m+4-8mi-5i+i+4m+3-i+2mi+i-i =12m+18m+7+i-6mi-i 第二步,边长为2m+j(1≤j≤m+1,边长为3m+1的正立正三角形是正六边形中最大的正立正三角形)的正立正三角形的个数是: (2m+4-2j)+ (2m+3-2j)+ …+1 =(2m+4-2j+1)(2m+4-2j)÷2 =(m+2-j)(2m+5-2j) =2m+9m+10+2j-4mj-9j 第三步,边长为1~2m的正立正三角形的个数是: ( 12m+18m+7+i-6mi-i) =2m(12m+18m+7)+ [1+2+…+(2m)]-(6m+)(1+2+…+2m) =24m+36m+14m+m(2m+1)(4m+1)-m(2m+1)(6m+) =24m+36m+14m+m+m+m-12 m-15m-m =13m+22m+9m 第四步,边长为2m+1~3m+1的正立正三角形的个数是: (2m+9m+10+2j-4mj-9j) =(m+1)(2m+9m+10)+2×[1+2+…+(m+1)]-(4m+9) [1+2+…+(m+1)] =(m+1)(2m+9m+10)+(m+1)(m+2)(2m+3)- (m+1)(m+2) (4m+9) =2m+11m+19m+10+m+3m+m+2-2m-m-m-9 =m+m+m+3 所以当n=2m+1时正六边形中大小不同的正三角形的总数是: (13m+22m+9m+m+m+m+3)×2 =(14m+25m+15m+3)×2 =28m+51m+31m+6(个) 下表是正六边形各边等分数n为1~6时正六边形中大小不同的正三角形的总数: 等分数n 1 2 3 4 5 6 正三角形 的总数 6 38 116 262 496 840 有兴趣的读者可以亲自画图数一数,分析验证一下。 二〇一二年九月二十三日
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