一共有多少个正三角形.doc

6
一共有多少个正三角形？
陕西省兴平市阜寨镇教委 张晨
把正六边形的各边n等分，用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行。这样，正六边形就变成了由许多相同的小正三角形组成的网格状图形。那么，一共有多少个大小不同的正三角形呢？这是一个有趣又有一定难度的数数问题。
这个问题如何解答？我们可以从研究分析简单的情形入手，最后归纳出一般的结论。
如图，把正六边形的各边2等分，用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行。这样，正六边形就变成了由有限个相同的小正三角形组成的网格状图形。图中一共有多少个大小不同的正三角形呢？
通过观察分析可以发现，图中既有正立（△）的正三角形，又有倒立（▽）的正三角形；既有边长为1（图中小正三角形的边长规定为1个单位长度）的小正三角形，又有边长为2和3的大正三角形。而且，由于正六边形的对称性，所有正立正三角形的个数和倒立正三角形的个数相等。
下面我们从上到下逐行数出所有正立正三角形的个数。
第一步，边长为1的正立正三角形有：
3+4+3+2=12（个）
第二步，边长为2的正立正三角形有:
3+2+1=6（个）
第三步，边长为3的正立正三角形有1个。
所以正立正三角形的个数是：12+6+1=19（个）
因为正立正三角形的个数和倒立正三角形的个数相等，所以图中一共有19×2=38（个）大小不同的正三角形。
通过进一步的观察和分析，我们发现正六边形各边的等分数n分偶数和奇数两种情形，即当n=2m和n=2m+1时正六边形中正三角形的个数有不同的结论。
先看当n=2m时正六边形中正三角形的个数。
同上，我们只要先从上到下逐行求出边长为1～3m(边长为3m的正立正三角形是正六边形中最大的正立正三角形)的正立正三角形的个数，再乘2，就可以得出正六边形中全部正三角形的个数。
第一步，边长为i(1≤i≤2m)的正立正三角形的个数是：
(2m+1)+(2m+2)+…+（4m+1-i）+(4m-i)+…+(2m+1-i)
=［(2m+1)+(2m+2)+…+(4m-i)］×2+（4m+1-i）+2m+(2m-1)+ …+(2m+1-i)
=(6m+1-i)(2m-i)+（4m+1-i）+i(4m+1-i)
=12m+2m-8mi-i+i+4m+1-i+2mi+i-i
=12m+6m+1+i-6mi-i
第二步，边长为2m+j(1≤j≤m)的正立正三角形的个数是：
(2m+1-2j)+ (2m-2j)+ …+1
=(2m+1-2j+1)(2m+1-2j)÷2
=(m+1-j)(2m+1-2j)
=2m+3m+1+2j-4mj-3j
第三步，边长为1～2m的正立正三角形的个数是:
(12m+6m+1+i-6mi-i)
=2m(12m+6m+1)+ ［1+2+…+(2m)］-(6m+)(1+2+…+2m)
=24m+12m+2m+m(2m+1)(4m+1)-m(2m+1)(6m+)
=24m+12m+2m+m+m+m-12 m-9m-m
=13m+4m+m
注： 1+2+…+(2m)=(2m)(2m+1)(4m+1)=m(2m+1)(4m+1)
1+2+…+2m=(2m)(2m+1)=m(2m+1)
第四步，边长为2m+1～3m的正立正三角形的个数是：
（2m+3m+1+2j-4mj-3j）
=m（2m+3m+1）+2×(1+2+…+m)-(4m+3)(1+2+…+m)
=m（2m+3m+1）+m(m+1)(2m+1)-m(m+1)(4m+3)
=2m+3m+m+m+m+m-2m-m-m
=m+m-m
所以当n=2m时正六边形中大小不同的正三角形的总数是：
（13m+4m+m+m+m-m）×2
=（14m+4m+m）×2
=28m+9m+m (个)
再看当n=2m+1时正六边形中正三角形的个数。
第一步，边长为i(1≤i≤2m)的正立正三角形的个数是：
(2m+2)+（2m+3）+…+（4m+3-i）+(4m+2-i)+…+(2m+2-i)
=［(2m+2)+…+(4m+2-i)］×2+（4m+3-i）+［(2m+1)+ …+(2m+2-i) ］
=(6m+4-i)(2m+1-i)+（4m+3-i）+i(4m+3-i)
=12m+14m+4-8mi-5i+i+4m+3-i+2mi+i-i
=12m+18m+7+i-6mi-i
第二步，边长为2m+j(1≤j≤m+1，边长为3m+1的正立正三角形是正六边形中最大的正立正三角形)的正立正三角形的个数是：
(2m+4-2j)+ (2m+3-2j)+ …+1
=(2m+4-2j+1)(2m+4-2j)÷2
=(m+2-j)(2m+5-2j)
=2m+9m+10+2j-4mj-9j
第三步，边长为1～2m的正立正三角形的个数是:
( 12m+18m+7+i-6mi-i)
=2m(12m+18m+7)+ ［1+2+…+(2m)］-(6m+)(1+2+…+2m)
=24m+36m+14m+m(2m+1)(4m+1)-m(2m+1)(6m+)
=24m+36m+14m+m+m+m-12 m-15m-m
=13m+22m+9m
第四步，边长为2m+1～3m+1的正立正三角形的个数是：
(2m+9m+10+2j-4mj-9j)
=（m+1）（2m+9m+10）+2×［1+2+…+（m+1)］-(4m+9) ［1+2+…+（m+1)］
=（m+1）（2m+9m+10）+(m+1)(m+2)(2m+3)- (m+1)(m+2) (4m+9)
=2m+11m+19m+10+m+3m+m+2-2m-m-m-9
=m+m+m+3
所以当n=2m+1时正六边形中大小不同的正三角形的总数是：
(13m+22m+9m+m+m+m+3)×2
=（14m+25m+15m+3）×2
=28m+51m+31m+6(个)
下表是正六边形各边等分数n为1～6时正六边形中大小不同的正三角形的总数：
等分数n
1
2
3
4
5
6
正三角形
的总数
6
38
116
262
496
840

有兴趣的读者可以亲自画图数一数，分析验证一下。
二〇一二年九月二十三日