资源描述
6
一共有多少个正三角形?
陕西省兴平市阜寨镇教委 张晨
把正六边形的各边n等分,用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行。这样,正六边形就变成了由许多相同的小正三角形组成的网格状图形。那么,一共有多少个大小不同的正三角形呢?这是一个有趣又有一定难度的数数问题。
这个问题如何解答?我们可以从研究分析简单的情形入手,最后归纳出一般的结论。
如图,把正六边形的各边2等分,用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行。这样,正六边形就变成了由有限个相同的小正三角形组成的网格状图形。图中一共有多少个大小不同的正三角形呢?
通过观察分析可以发现,图中既有正立(△)的正三角形,又有倒立(▽)的正三角形;既有边长为1(图中小正三角形的边长规定为1个单位长度)的小正三角形,又有边长为2和3的大正三角形。而且,由于正六边形的对称性,所有正立正三角形的个数和倒立正三角形的个数相等。
下面我们从上到下逐行数出所有正立正三角形的个数。
第一步,边长为1的正立正三角形有:
3+4+3+2=12(个)
第二步,边长为2的正立正三角形有:
3+2+1=6(个)
第三步,边长为3的正立正三角形有1个。
所以正立正三角形的个数是:12+6+1=19(个)
因为正立正三角形的个数和倒立正三角形的个数相等,所以图中一共有19×2=38(个)大小不同的正三角形。
通过进一步的观察和分析,我们发现正六边形各边的等分数n分偶数和奇数两种情形,即当n=2m和n=2m+1时正六边形中正三角形的个数有不同的结论。
先看当n=2m时正六边形中正三角形的个数。
同上,我们只要先从上到下逐行求出边长为1~3m(边长为3m的正立正三角形是正六边形中最大的正立正三角形)的正立正三角形的个数,再乘2,就可以得出正六边形中全部正三角形的个数。
第一步,边长为i(1≤i≤2m)的正立正三角形的个数是:
(2m+1)+(2m+2)+…+(4m+1-i)+(4m-i)+…+(2m+1-i)
=[(2m+1)+(2m+2)+…+(4m-i)]×2+(4m+1-i)+2m+(2m-1)+ …+(2m+1-i)
=(6m+1-i)(2m-i)+(4m+1-i)+i(4m+1-i)
=12m+2m-8mi-i+i+4m+1-i+2mi+i-i
=12m+6m+1+i-6mi-i
第二步,边长为2m+j(1≤j≤m)的正立正三角形的个数是:
(2m+1-2j)+ (2m-2j)+ …+1
=(2m+1-2j+1)(2m+1-2j)÷2
=(m+1-j)(2m+1-2j)
=2m+3m+1+2j-4mj-3j
第三步,边长为1~2m的正立正三角形的个数是:
(12m+6m+1+i-6mi-i)
=2m(12m+6m+1)+ [1+2+…+(2m)]-(6m+)(1+2+…+2m)
=24m+12m+2m+m(2m+1)(4m+1)-m(2m+1)(6m+)
=24m+12m+2m+m+m+m-12 m-9m-m
=13m+4m+m
注: 1+2+…+(2m)=(2m)(2m+1)(4m+1)=m(2m+1)(4m+1)
1+2+…+2m=(2m)(2m+1)=m(2m+1)
第四步,边长为2m+1~3m的正立正三角形的个数是:
(2m+3m+1+2j-4mj-3j)
=m(2m+3m+1)+2×(1+2+…+m)-(4m+3)(1+2+…+m)
=m(2m+3m+1)+m(m+1)(2m+1)-m(m+1)(4m+3)
=2m+3m+m+m+m+m-2m-m-m
=m+m-m
所以当n=2m时正六边形中大小不同的正三角形的总数是:
(13m+4m+m+m+m-m)×2
=(14m+4m+m)×2
=28m+9m+m (个)
再看当n=2m+1时正六边形中正三角形的个数。
第一步,边长为i(1≤i≤2m)的正立正三角形的个数是:
(2m+2)+(2m+3)+…+(4m+3-i)+(4m+2-i)+…+(2m+2-i)
=[(2m+2)+…+(4m+2-i)]×2+(4m+3-i)+[(2m+1)+ …+(2m+2-i) ]
=(6m+4-i)(2m+1-i)+(4m+3-i)+i(4m+3-i)
=12m+14m+4-8mi-5i+i+4m+3-i+2mi+i-i
=12m+18m+7+i-6mi-i
第二步,边长为2m+j(1≤j≤m+1,边长为3m+1的正立正三角形是正六边形中最大的正立正三角形)的正立正三角形的个数是:
(2m+4-2j)+ (2m+3-2j)+ …+1
=(2m+4-2j+1)(2m+4-2j)÷2
=(m+2-j)(2m+5-2j)
=2m+9m+10+2j-4mj-9j
第三步,边长为1~2m的正立正三角形的个数是:
( 12m+18m+7+i-6mi-i)
=2m(12m+18m+7)+ [1+2+…+(2m)]-(6m+)(1+2+…+2m)
=24m+36m+14m+m(2m+1)(4m+1)-m(2m+1)(6m+)
=24m+36m+14m+m+m+m-12 m-15m-m
=13m+22m+9m
第四步,边长为2m+1~3m+1的正立正三角形的个数是:
(2m+9m+10+2j-4mj-9j)
=(m+1)(2m+9m+10)+2×[1+2+…+(m+1)]-(4m+9) [1+2+…+(m+1)]
=(m+1)(2m+9m+10)+(m+1)(m+2)(2m+3)- (m+1)(m+2) (4m+9)
=2m+11m+19m+10+m+3m+m+2-2m-m-m-9
=m+m+m+3
所以当n=2m+1时正六边形中大小不同的正三角形的总数是:
(13m+22m+9m+m+m+m+3)×2
=(14m+25m+15m+3)×2
=28m+51m+31m+6(个)
下表是正六边形各边等分数n为1~6时正六边形中大小不同的正三角形的总数:
等分数n
1
2
3
4
5
6
正三角形
的总数
6
38
116
262
496
840
有兴趣的读者可以亲自画图数一数,分析验证一下。
二〇一二年九月二十三日
展开阅读全文