品质管理全套资料qm07.docx

致 遠 管 理 學 院
工 業 管 理 學 系

課 程：實 驗 設 計

主 講 人：林 東 成 助理教授
時間：2002/9/** ~ 2003/1/**

參 考 資 料

1. Douglas C. Montgomery, Design and Analysis of Experiments, 5th Edition, John Wiley & Sons, Inc.
2. 黎正中 譯，實驗設計與分析，高立圖書有限公司。
3. 白賜清 編著，工業實驗計劃法，中華民國品質學會發行。
4. 吳玉印 著，新版實驗計劃法，中興管理顧問發行。
5. 陳耀茂 譯，田口實驗計劃法，滄海書局。
6. 吳柏林 著，現代統計學，五南圖書出版公司。
7. 陳順宇、鄭碧娥 著，統計學，華泰書局。
8. 王文中 著，Excel於資料分析與統計學上的應用，博碩文化股份有限公司。

授 課 目 錄
第1章 簡 介
第2章 簡單比較性的實驗
第3章 一因子實驗：變異數分析
第4章 隨機化集區，拉丁方陣，與相關設計
第5章 因子設計簡介
第6章 2k因子設計
第7章 2k因子設計的集區劃分與交絡
第8章 2水準部份因子設計
第9章 3水準與混合水準因子和部份因子設計
第10章 配適迴歸模式
第11章 反應曲線法與其他製程最佳化法
第12章 有隨機因子之因子實驗
第13章 套層及分裂圖設計
第14章 其他設計與分析題目

第7章 2k因子設計的集區劃分與交絡
Chap 7. Blocking and Confounding in the 2k Factorial Design

7-1 簡介 (Introduction)
有多種情況實驗者無法在均一的條件下進行2k因子實驗的所有試驗，如原料不足、或故意改變實驗條件，以確保處理於實際上可能遇到的狀況能一樣地有效(i.e., 即穩健的)。此種情況用到的設計技巧是集區劃分(Blocking)，本章集中於2k因子設計的一些特殊的集區劃分技巧。

7-2 集區劃分一個反覆的2k因子設計
(Blocking a Replicated 2k Factorial Design)
假設2k因子設計反覆n次，此情況與第5章討論的完全相同，每一種不同的條件就是一個集區，而每個反覆就在集區內，在各個集區(或反覆)的試驗以隨機順序進行。

**************
範例 7-1
15% (低)
a = 100
36+32+32
B
因子
A因子
1 lb
(低)
25% (高)
2 lb
(高)
ab = 90
31+30+29
b = 60
18+19+23
(1) = 80
28+25+27
考慮在6-2節所描述一反應濃度(Reaction Concentration)和觸媒量(Catalyst)對化學反應過(製)程合格率效果的研究。假設單一批原料只容納4次試驗，所以，需要3批原料來進行3次反覆，其中每一原料批對應到一個集區，

集區1
集區2
(1)=28
a=36
b=18
ab=31
集區3
(1)=27
a=32
b=23
ab=29
(1)=25
a=32
b=19
ab=30
B1=113
B2=106
B3=111

SSblock= Bi2/4 - yŸŸŸ2/12 = 6.50
由ANOVA分析，集區效果不顯著。
****************

7-3 2k因子設計的交絡(Confounding in the 2k Factorial Design)
許多情況是在一個集區裡進行一次完整的2k因子設計是不可能的。交絡(Confounding)是一個設計技巧，可安排一個完整的因子實驗到數個集區，其中集區的大小是小於一次反覆中處理組合的個數，此技巧造成某些處理效果(通常指高階交互作用)的資訊成為無法區分於(In-distinguishable from)或交絡於(Confounded with)集區效果。本章集中於2k因子設計的交絡系統。

7-4 2k因子設計交絡於2個集區
(Confounding the 2k Factorial Design in Two Blocks)
假設進行一個未反覆的2k因子設計，22= 4種處理組合均需要一些原料，而每一批原料只夠試驗2個處理組合，因此共需2批原料，倘將原料批視成集區，則須指訂4種處理組合中的2種到每一個集區裡。
=集區1試驗
A
+
B
-
+
-
=集區2試驗

集區1
集區2
(1)
ab
a
b
(a) 幾何上視之

(b) 置於2集區裡的4個試驗
圖7-1 2集區之2k因子設計
上圖(a)顯示相對對角的處理組合被安置到不同的集區，圖(b)視出集區1包含處理組合(1)與ab、集區2包含處理組合a與b，當然，在集區裡處理組合的試驗順序是隨機決定的，且隨機決定集區順序。則A與B的主效果(與似無發生集區般)為，
A = [ab+a-b-(1)]/2
B = [ab+b-a-(1)]/2
A與B均無受到集區劃分的影響，因為上式中各有來自每個集區的一個正的與一個負的處理組合，亦即，集區1與集區2之間的任何差異均被抵消矣。
續考慮AB交互作用效果
AB = [ab+(1)-a-b]/2
因2個正號的處理組合[ab與(1)]在集區1裡、而2個負號的處理組合[a與b]在集區2裡，集區效果與AB交互作用效果是完全相等的，亦即，AB是交絡於集區。
此理由可從2k設計的正負符號表明顯視出，
處理
組合
因子效果
I
A
B
AB
(1)
+
-
-
+
a
+
+
-
-
b
+
-
+
-
ab
+
+
+
+
這作法可用來交絡任何效果(A，B或AB)於集區。如(1)與b指訂到集區1及a與ab指訂到集區2，則A的主效果將被交絡於集區。一般是將最高階交互作用效果交絡於集區。上述作法可用來交絡任何2k設計於2個集區。

建構集區的其他方法
(Other Methods for Constructing the Blocks)
此為利用線性組合，
L = a1x1+ a2x2 + …+ akxk (7-1)
其中xi是出現在處理組合中第i個因子的水準，與ai是要被交絡的效果中第i個因子的冪次(Exponent)。對2k系統，ai = 0或1，及xi= 0 (低水準)或xi= 1 (高水準)。式(7-1)稱之為定義對比(Defining Contrast)，會產生相同L(Mod 2)的可能值只有0與1，如此指訂2k個處理組合正好到2個集區裡。
茲考慮23設計而且交絡ABC於集區，在此x1對應A、x2對應B、x3對應C，與a1 = a2 = a3 =1，因此，對應於ABC的定義對比為，
L = x1+ x2 + x3
因此處理組合(1)在(0,1)的符號表示下為000；所以，
L = 1(0)+1(0)+1(0)= 0 = 0 (Mod 2)
同理，處理組合a為100；所以，
L = 1(1)+1(0)+1(0)= 1 = 1 (Mod 2)
故(1)與a將分屬不同的集區。對於其他的處理組合，
b: L = 1(0)+1(1)+1(0)= 1= 1 (Mod 2)
ab: L = 1(1)+1(1)+1(0)= 2 = 0 (Mod 2)
c: L = 1(0)+1(0)+1(1)= 1= 1 (Mod 2)
ac: L = 1(1)+1(0)+1(1)= 2 = 0 (Mod 2)
bc: L = 1(0)+1(1)+1(1)= 2 = 0 (Mod 2)
abc: L = 1(1)+1(1)+1(1)= 3 = 1 (Mod 2)
所以，(1), ab, ac, bc屬於集區1；a, b, c, abc屬於集區2，這與用正負符號表所產生的設計完全相同。
另一種建構這些設計的方法，包含處理組合(1)的集區稱之為主集區(Principal Block)，在此集區裡的處理組合有一個很有用的群理論性質(Group-Theoretic Property)，即它們以乘法Mod 2的運算而形成之一”群”(Group)，此意謂著主集區內的任何元素[除(1)外]可由主集區內任2個元素(處理組合)相乘法的Mod 2得到，如ABC交絡之23設計在2個集區的主集區，
ab × ac = a2bc = bc； ab × bc = ab2c = ac；
ac × bc = abc2 = ab
因此主集區的元素為(1), ab, ac, bc。而另一集區，可由一個非主集區的元素(處理組合)乘以主集區的每一個元素Mod 2產生。其中，b是在另一集區裡，故另一集區的元素為，
b × (1) = b； b × ab = ab2 = a； b × ac = abc；
b × bc = b2 c = c
其結果與先前得到的一致。

誤差的估計(Estimation of Error)
當因子數目很小時(2k，LevelFactor)，如k = 2或3，通常有必要反覆實驗以獲得一個誤差估計值。如23因子實驗必須以2個集區來進行且ABC被交絡，實驗者決定反覆設計4次，如下圖，
集區1
集區2
(1)
ac
ab
bc
abc
a
b
c
反覆1
集區1
集區2
(1)
ac
ab
bc
abc
a
b
c
反覆2
集區1
集區2
(1)
ac
ab
bc
abc
a
b
c
反覆3
集區1
集區2
(1)
ac
ab
bc
abc
a
b
c
反覆4

圖7-3 反覆4次ABC被交絡之23設計
此設計總共32個觀測值和31個自由度，有8個集區即7個自由度，此7個自由度分解為FA= FB= FC= FAB= FBC= FAC= FABC= 1，而誤差平方為反覆與因子效果(A, B, C, AB, AC, BC)之二者交互作用。
考慮視交互作用為零且將其均方作為誤差估計值的作法是成立的，此均方誤差可以檢定主效果與2-因子交互作用效果。
ANOVA---反覆4次且交絡ABC之23設計
變源
自由度
反覆
3
集區(ABC)
1
ABC的誤差(反覆´集區)
3
A, B, C, AB, AC, BC各
1
誤差(反覆´效果)
18
總和
31
倘實驗資源允許反覆的交絡設計，較佳方式是稍微以不同方式來設計各個反覆的集區，此方式包括在每個反覆中交絡不同的效果，使得所有的效果都能有一些資訊，此法稱之為部分交絡(Partial Confounding)。倘k 不算太小，即k ³ 4，且只一次反覆時，實驗者常假設高階交互作用效果是可忽略的，並將其平和合併為誤差。

範例7-2
回顧再續範例6-2，一個化學產品於一壓力槽內生產，在實驗工廠進行因子實驗來研究產品的過濾比率(Filtration Rate)，4個因子為溫度(A)、壓力(B)、甲醛濃度(C)、與攪拌速度(D)，各因子均有2水準，單次反覆。有興趣於極大化過濾比率。
用此實驗來說明一個未反覆設計集區劃分與交絡的概念，假設24 = 16種處理組合無法利用一批原料進行所有的試驗，實驗者由一批原料可以試驗8個處理組合，所以一個24 交絡於2個集區的設計是適當的，且交絡最高階交互作用效果(ABCD)於集區。
-
+
D
A
B
C
集區1
集區2
(1)=25
ab=45
ac=40
bc=60
ad=80
bd=25
cd=55
abcd=76

a=71
b=48
c=68
d=43
abc=65
bcd=70
acd=86
abd=1044

******************
假設二批原料中有一批的品質低劣，造成所有的反應值均比用另一批原料所得值低20，即原始反應值減去20，低劣品質原料是集區1與良好品質原料批為集區2。計算結果，
◎ 4個主效果、6個2-因子交互作用效果、4個3-因子交互作用效果的估計值均與無集區效果的例6-2所得之效果估計值完全相同。當劃出這些效果估計值的常態機率圖時，因子A、C、D與AC、AD交互作用為顯著重要效果。
◎ ABCD交互作用效果的估計值原為1.375，但在此實驗其估計值為-18.625，因ABCD交絡於集區，ABCD交互作用效果的估計值是原1.375加上區集效果(-20)，即ABCD = 1.375+(-20)= -18.625。集區效果亦可由二個集區平均反應差得之，即
集區效果 = =406/8 – 555/8 = -18.625
所以，此效果真正估計= 集區 + ABCD
◎ 此實驗倘非以集區方式進行，且前8次試驗均減去20，則結果可能會非常不同。

7-5 2k因子設計交絡於4個集區
(Confounding the 2k Factorial Design in Four Blocks)
建構一個交絡於4個集區而每個集區有2k-2個觀測值的2k因子設計是有可能的，這種設計對於因子個數k ³ 4而集區大小卻相當小時特別有效。
茲考慮25設計，如每個集區只能容納8次試驗，則需要4個集區，選出2個效果交絡於集區，如ADE與BCE，此二個效果所對應之定義對比為，
L1 = x1+ x4 + x5
L2 = x2+ x3 + x5
則每一個處理組合會產生一個L1 (Mod 2)與L2 (Mod 2)的特定成對值，即(L1 , L2)= (0, 0), (0, 1), (1, 0),或(1, 1)，產生相同的(L1 , L2)值的處理組合將被指訂至同一集區，如，
L1 = 0, L2= 0 Þ(1), ad, bc, abcd, ab, ace, cde, bde
L1 = 1, L2= 0 Þa, d, abc, bcd, be, abde, ce, acde
L1 = 0, L2= 1 Þb, abd, c, acd, abce, ae, bcde, de
L1 = 1, L2= 1 Þe, ade, bce, ab, abcde, bd, ac, cd

L1 = 0
L2 = 0

(1) abc
ad ace
bc cde
abcd bde
a be
d abde
abc ce bcd acde
Block 1
L1 = 1
L2 = 0

Block 2
L1 = 1
L2 = 1

b abce
abd ae
c bcde
acd de
e abcde
ade bd
bce ac ab cd
Block 4
L1 = 0
L2 = 1

Block 3

圖7-5 交絡ADE, BCE與ABCD之4個集區之25設計
仔細思量，除了ADE與BCE外，尚有另一個效果被集區交絡，因4個集區有3個自由度，而ADE與BCE各有1個自由度，明顯地另有一個1個自由度的效果亦被交絡矣，此即ADE與BCE的廣義交互作用(Generalized Interaction)，其定義為ADE與BCE的乘積Mod 2，因此，ADE與BCE的廣義交互作用為(ADE)(BCE) = ABCDE2 = ABCD ，且亦交絡於集區。
注意，對某個特定集區裡的任何2個效果的符號相乘(e.g., ADE與BCE)帶來該集區另一個效果的符號(即ABCD)。因此，ADE，BCE與ABCD都是交絡於集區。
由25設計的正負符號，可知處理組合被指派至集區如下
處理組合在
ADE的符號
BCE的符號
ABCD的符號
集區1
-
-
+
集區2
+
-
-
集區3
-
+
-
集區4
+
+
+
在上節7-4中提及之主集區的群理論性質仍成立，主集區裡的2個處理組合的乘積產生主集區裡的另一個元素，亦即，如，
ad × bc = abcd； abe × bde = ab2de2 = ad
要建構另一集區，則選一個不在主集區裡之處理組合(如b)與主集區裡的處理組合乘以b，則，
b × (1) = b； b × ad = abd；
b × bc = c； b × abcd = acd
如此會產生集區3裡之8個處理組合。實務上，主集區可以從定義對比與群理論性質得到，而其他集區之處理組合由上述方法決定。建構一個4集區的2k設計的一般步驟：
◎ 選擇2效果與集區交絡，自然會有第3個效果(即是前2個的廣義交互作用)與集區交絡，
◎ 利用2個定義對比(L1 , L2)與主集區的群理論性質來建構所要的設計，
◎ 在選擇交絡於集區之效果時務必謹慎，以免有興趣的效果被交絡。
犧牲3因子交互作用的資訊比犧牲2因子交互作用更合意
(ADE 與BCE Þ ABCD；ABCDE與ABD Þ CE)

7-6 2k因子設計交絡於2p個集區
(Confounding the 2k Factorial Design in 2p Blocks)
上述方法可擴至建構一個交絡於2p( p < k )個集區，而其中每個集區恰有2k-p個處理組合的2k因子設計，實驗者選出p個獨立要交絡之效果，此處獨立意指所選出的效果非其中任2個效果之廣義交互作用，這些集區可以利用所對應的p個定義對比產生。另外，恰有2p-p-1個其他效果亦被交絡，即初選之p個獨立效果的廣義交互作用，當然，選出p個獨立交絡效果時須謹慎，以免一些有興趣之效果被交絡矣。
這些設計之統計分析，即所有效果平方和的計算如無集區劃分般，而集區平方和則為被交絡效果平方和之和。
假設建構一個26設計而交絡在23 = 8個集區，且每個集區有8個試驗，茲選ABEF, ABCD, 與ACE作為p = 3個獨立將被集區交絡之效果，同時亦有2p-p-1=23-3-1=4效果被交絡，即這些為3個(ABEF, ABCD, 與ACE)之廣義交互作用，則為，
(ABEF)(ABCD)= A2B2CDEF= CDEF
(ABEF)(ACE)= A2BCE2F = BCF
(ABCD)(ACE) =A2BC2DE = BDE
(ABEF)(ABCD)(ACE)=A3B2CDE2F = ADF

7-7 部份交絡(Partial Confounding)
除非實驗者有一個誤差的事先估計值，或假設某些交互作用可忽略，否則必須反覆設計以得到一個誤差的估計值，
如23因子實驗必須以2個集區來進行且ABC被交絡， 實驗者決定反覆設計4次，如下圖，
集區1
集區2
(1)
ac
ab
bc
abc
a
b
c
反覆1
集區1
集區2
(1)
ac
ab
bc
abc
a
b
c
反覆2
集區1
集區2
(1)
ac
ab
bc
abc
a
b
c
反覆3
集區1
集區2
(1)
ac
ab
bc
abc
a
b
c
反覆4

圖7-3 反覆4次的ABC被交絡之23設計
由上圖(7-3)與其ANOVA表知，交互作用ABC的資訊是完全喪失，因每次反覆中ABC均與集區交絡，此稱之為完全交絡(Completely Confounded)。

交絡ABC
(1)
ab
ac
bc
a
b
c
abc
反覆1
交絡AB

(1)
c
ab
abc
a
b
ac
bc
反覆2
交絡BC

(1)
a
bc
abc
b
c
ab
ac
反覆3
交絡AC

(1)
b
ac
abc
a
c
ab
bc
反覆4

圖7-6 部份交絡之23設計

如上圖(7-6)，仍是23因子實驗，反覆設計4次，但每次反覆所交絡的交互作用卻不一樣，如，
◎ 反覆1交絡ABC、反覆2交絡AB、反覆3交絡BC、反覆4交絡AC，
◎ ABC的資訊可由反覆2, 3, 4資料得知、AB的資訊可由反覆1, 3, 4資料得知、AC的資訊可由反覆1, 2, 4資料得知、AC的資訊可由反覆1, 2, 3資料得知。
稱此可得到3/4資訊的交互作用，因為4次反覆中有3次反覆無被交絡，Yates(1937)稱比值3/4為交互作用的相對資訊(Relative Information for the Confounded Effect)，此設計稱之為部分交絡(Partial Confounding)。另其ANOVA表如下，

ANOVA---反覆4次且比值3/4交絡之23設計
變源
自由度
反覆
3
反覆內的集區[或ABC(rep. 1)+ AB(rep. 2)+ BC(rep. 3)+ AC(rep. 4)]
4
A, B, C各
1
AB(從反覆1, 3, 4)
1
AC(從反覆1, 2, 3)
1
BC(從反覆1, 2, 4)
1
ABC(從反覆2, 3, 4)
1
誤差
17
總和
31

***************
範例 7-3--- 一個部份交絡之23設計
考慮範例 6-1，探討有關碳酸百分比(A)、操作壓力(B)、速度(C)，對碳酸飲料充填高度影響之研究，假設每一批糖漿只能測試4種處理組合，因此，每一次23設計之反覆須在2個集區裡進行，計反覆2次，反覆 I 交絡ABC、反覆II 交絡AB，其資料如下，
交絡ABC
(1)= -3
ab= 2
ac= 2
bc= 1
a =0
b= -1
c= -1
abc =6
反覆 I
交絡AB

(1) =-1
c= 0
ab= 3
abc= 5
a= 1
b= 0
ac= 1
bc= 1
反覆II

經ANOVA分析，三個主效果均顯著的。
**********************