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§9.1 直线的方程
2014高考会这样考 1.考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等；考查过两点的斜率公式；2.求不同条件下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等)；3.在直线与圆锥曲线的关系问题中考查直线．
复习备考要这样做 1.理解数形结合的思想，掌握直线方程的几种形式，会根据已知条件求直线方程；2.会根据直线的特征量画直线，研究直线性质．
1． 直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
②倾斜角的范围为[0°，180°)．
(2)直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
2． 直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
3. 过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程
(1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1；
(2)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1；
(3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为x＝0；
(4)若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为y＝0.
4． 线段的中点坐标公式
若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
[难点正本 疑点清源]
(1)直线的倾斜角与斜率的关系
斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率．
(2)①求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．②在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论．
1． 若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为___________．
答案 45°或135°
解析 由|k|＝|tan α|＝1，知：k＝tan α＝1或k＝tan α＝－1.又倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝45°或135°.
2． 若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为__________．
答案 4
解析 由＝＝1，得a＝4.
3． 过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________．
答案 x＋y＋1＝0或4x＋3y＝0
解析 ①若直线过原点，则k＝－，
∴y＝－x，即4x＋3y＝0.
②若直线不过原点．设＋＝1，即x＋y＝a.
∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0.
4． 直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点．则直线l的倾斜角的取值范围为____________．
答案 ∪
解析 直线l的斜率k＝＝1－m2≤1.
若l的倾斜角为α，则tan α≤1.
又∵α∈[0，π)，∴α∈∪.
5． 如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限.
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为 ( )
A. B．－
C．－ D.
(2)直线xcos α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是 ( )
A.∪ B.∪
C. D.
思维启迪：斜率公式和倾斜角的定义是解决这类问题的基础，范围可结合图形考虑．
答案 (1)B (2)B
解析 (1)依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，
则有，解得a＝－5，b＝－3，
从而可知直线l的斜率为＝－.
(2)由xcos α＋y＋2＝0得直线斜率k＝－cos α.
∵－1≤cos α≤1，∴－≤k≤.
设直线的倾斜角为θ，则－≤tan θ≤.
结合正切函数在∪上的图象可知，
0≤θ≤或≤θ<π.
探究提高 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．
已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求实数m的取值范围．
解 如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，
当m≠0时，kQA＝，kPA＝－2，
kl＝－.
∴－≤－2或－≥，
解得0<m≤或－≤m<0；
当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点，
所以，实数m的取值范围为－≤m≤.
题型二 求直线的方程
例2 求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－；
(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.
思维启迪：选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可．
解 (1)方法一 设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
∵l过点(3,2)，∴＋＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
方法二 由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，
设直线方程为y－2＝k(x－3)，
令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k，
由已知3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝，
∴直线l的方程为
y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
(2)设所求直线的斜率为k，依题意
k＝－×3＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.
解方程组，
求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，
即x＝1为所求．
设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为
y＋1＝k(x－1)，
解方程组，
得两直线交点为.
(k≠－2，否则与已知直线平行)．
则B点坐标为.
由已知2＋2＝52，
解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
探究提高 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2，3)，求：
(1)BC所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE的方程．
解 (1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.
(2)设BC中点D的坐标为(x，y)，
则x＝＝0，y＝＝2.
BC边的中线AD过A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.
(3)BC的斜率k1＝－，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，
即2x－y＋2＝0.
题型三 直线方程的综合应用
例3 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
思维启迪：抓住直线过定点这个特征，找直线不经过第四象限的条件，表示△AOB的面积，然后求最值．
(1)证明 直线l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令，解得，
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．
(2)解 由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有，
解之得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.
(3)解 由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．
依题意得
解得k>0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时l的方程为：x－2y＋4＝0.
探究提高 利用直线方程解决问题，要灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．
已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
解 方法一 设直线方程为＋＝1 (a>0，b>0)，
点P(3,2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，
从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.
方法二 依题意知，直线l的斜率k存在且k<0.
则直线l的方程为y－2＝k(x－3) (k<0)，
且有A，B(0,2－3k)，
∴S△ABO＝(2－3k)
＝
≥
＝×(12＋12)＝12.
当且仅当－9k＝时，即k＝－时，等号成立．
即△ABO面积的最小值为12.
故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.
分类讨论思想在求直线方程中的应用
典例：(12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程．
审题视角 (1)题目已告诉直线斜率为k，即斜率存在．(2)从题意上看，斜率k可以为0，也可以不为0，所以要分类讨论．
规范解答
解 (1)当k＝0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程为y＝.[2分]
(2)当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为
G(a,1)，[4分]
所以A与G关于折痕所在的直线对称，
有kAG·k＝－1，k＝－1⇒a＝－k.[6分]
故G点坐标为G(－k,1)，从而折痕所在的直线与AG的交点坐标(线段AG的中点)为M.[8分]
折痕所在的直线方程为y－＝k，
即y＝kx＋＋.[10分]
∴k＝0时，y＝；k≠0时，y＝kx＋＋.[12分]
温馨提醒 (1)求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等时是否为零以及相关位置关系进行分类讨论．
(2)本题对斜率k为0和不为0进行分类讨论．易错点是忽略k＝0的情况.
方法与技巧
1． 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k＝，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x1≠x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.
2． 求斜率可用k＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．
3． 求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．
失误与防范
1． 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
2． 根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．
3． 利用一般式方程Ax＋By＋C＝0求它的方向向量为(－B，A)不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的．
A组 专项基础训练
(时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． 已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为 ( )
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
答案 A
解析 由y－5＝－(x＋2)，得：
3x＋4y－14＝0，故选A.
2. 如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则 ( )
A．k1<k2<k3
B．k3<k1<k2
C．k3<k2<k1
D．k1<k3<k2
答案 D
解析 直线l1的斜率角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D.
3． 已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是 ( )
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
答案 D
解析 由题意得a＋2＝，∴a＝－2或a＝1.
4． 过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为 ( )
A．－ B. C．3 D．－3
答案 A
解析 过两点(－1,1)和(0,3)的直线方程为＝，即y＝2x＋3，令y＝0得x＝－，即为所求．
二、填空题(每小题5分，共15分)
5． 过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．
答案 1
解析 ∵kMN＝＝1，∴m＝1.
6． 直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P、Q两点，线段PQ中点是(1，－1)，则l的斜率是________．
答案 －
解析 设P(m,1)，则Q(2－m，－3)，
∴(2－m)＋3－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2,1)，
∴k＝＝－.
7． 已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
答案 3
解析 直线AB的方程为＋＝1，
设P(x，y)，则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)
＝[－(y－2)2＋4]≤3.
即当P点坐标为时，xy取最大值3.
三、解答题(共22分)
8． (10分)已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为.
解 (1)设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，
由已知，得(3k＋4)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是
y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
9． (12分)经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，求直线l的倾斜角α与斜率k的范围．
解 方法一 如图所示，
kPA＝＝－1，
kPB＝＝1，
由图可观察出：直线l倾斜角α的范围是[135°，180°)∪[0°，45°]；
直线l的斜率k的范围是[－1,1]．
方法二 设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＋1＝kx，
即kx－y－1＝0.
∵A、B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上．
∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，即2(k＋1)(k－1)≤0.
∴－1≤k≤1.
∴直线l的倾斜角α的范围是[135°，180°)∪[0°，45°]；
直线l的斜率k的范围是[－1,1]．
B组 专项能力提升
(时间：25分钟，满分：43分)
一、选择题(每小题5分，共15分)
1． 直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，所有直线都通过定点 ( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ∵(2x＋1)－m(y＋3)＝0恒成立，
∴2x＋1＝0，y＋3＝0，∴x＝－，y＝－3.
2． 设直线l的方程为x＋ycos θ＋3＝0 (θ∈R)，则直线l的倾斜角α的范围是 ( )
A．[0，π) B.
C. D.∪
答案 C
解析 当cos θ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角为；
当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k＝－.
∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，
∴α∈∪.
由上知，倾斜角的范围是，故选C.
3． 经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为
( )
A．x＋2y－6＝0 B．2x＋y－6＝0
C．x－2y＋7＝0 D．x－2y－7＝0
答案 B
解析 方法一 直线过P(1,4)，代入，排除A、D，又在两坐标轴上的截距为正，排除C，故选B.
方法二 设方程为＋＝1，将P(1,4)代入得＋＝1，a＋b＝(a＋b)＝5＋≥9，
当且仅当b＝2a，即a＝3，b＝6时，截距之和最小，
∴直线方程为＋＝1，即2x＋y－6＝0.
二、填空题(每小题5分，共15分)
4． 已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的两倍，则直线l的斜率是________．
答案
解析 因为A(－1，－5)，B(3，－2)，所以kAB＝＝.若设直线AB的倾斜角为θ，则tan θ＝.这时直线l的倾斜角为2θ，其斜率为tan 2θ＝＝＝.
5． 一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________________．
答案 x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
解析 设所求直线的方程为＋＝1，
∵A(－2,2)在直线上，∴－＋＝1.①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，
∴|a|·|b|＝1.②
由①②可得(1)或(2).
由(1)解得或，方程组(2)无解．
故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，
即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．
6． 若ab>0，且A(a,0)、B(0，b)、C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．
答案 16
解析 根据A(a,0)、B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又C(－2，－2)在该直线上，故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又ab>0，故a<0，b<0.
根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4，从而≤0(舍去)或≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号．即ab的最小值为16.
三、解答题
7． (13分)如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过
点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点
C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解 由题意可得kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
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