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点集拓扑学练习题
一、单项选择题（每题1分）
1、已知,下列集族中，（ ）是上的拓扑.
①
②
③
④
答案：③
2、设，下列集族中,（ ）是上的拓扑.
① ②
③ ④
　 答案：②
3、已知,下列集族中，（ ）是上的拓扑.
① ②
③ ④
答案：①
4、设，下列集族中,（ ）是上的拓扑.
① ②
③ ④
答案：②
5、已知,下列集族中，（ ）是上的拓扑.
① ②
③ ④
答案：④
6、设，下列集族中,（ ）是上的拓扑.
① ②
③ ④
答案：③
7、已知，拓扑,则=（ ）
①φ ② ③ ④
答案：④
8、 已知，拓扑,则=（ ）
①φ ② ③ ④
答案：④
9、 已知，拓扑,则=（ ）
①φ ② ③ ④
答案：②
10、已知，拓扑,则=（ ）
①φ ② ③ ④
答案：④
11、已知，拓扑,则=（ ）
①φ ② ③ ④
答案：②
12、已知，拓扑,则=（ ）
①φ ② ③ ④
答案：④
13、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4
答案：②
14、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4
答案：②
15、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3
答案：①
16、设，拓扑,则的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3
答案：③
17、设，拓扑,则的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4
答案：④
18、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4
答案：②
19、在实数空间中，有理数集的内部是（ ）
① ② Q ③ R -Q ④ R
答案：①
20、在实数空间中，有理数集的边界是（ ）
① ② Q ③ R -Q ④ R
答案：④
21、在实数空间中，整数集的内部是（ ）
① ② ③ R-Z ④ R
答案：①
22、在实数空间中，整数集的边界是（ ）
① ② ③ R-Z ④ R
答案：②
23、在实数空间中，区间的边界是（ ）
① ② ③ ④
答案：③
24、在实数空间中，区间的边界是（ ）
① ② ③ ④
答案：③
25、在实数空间中，区间的内部是（ ）
① ② ③ ④
答案：④
26、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中错误的是（ ）
① ②
③ ④
答案: ③
27、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中正确的是（ ）
① ②
③ ④
答案: ①
28、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中正确的是（ ）
① ②
③ ④
答案: ④
29、已知是一个离散拓扑空间，A是的子集,则下列结论中正确的是（ ）
① ②
③ ④
答案：①
30、已知是一个平庸拓扑空间，A是的子集,则下列结论中不正确的是（ ）
① 若,则 ② 若,则
③ 若A={},则 ④ 若, 则
答案：④
31、已知是一个平庸拓扑空间，A是的子集,则下列结论中正确的是（ ）
① 若,则 ② 若,则
③ 若A={},则 ④ 若,则
答案：①
32、设，令,则由产生的上的拓扑是（ ）
① { ,,{c},{d},{c,d},{a,b,c}}
② {,,{c},{d},{c,d}}
③ { ,,{c},{a,b,c}}
④ { ,,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}}
答案：①
33、设是至少含有两个元素的集合，, 是的拓扑，则（ ）是的基.
① ②
③ ④
答案：③
34、 设,则下列的拓扑中（ ）以为子基.
① { , ,{a},{a,c}} ② {, ,{a}}
③ { , ,{a},{b},{a,b}} ④ {, }
答案：②
35、离散空间的任一子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭
答案：③
36、平庸空间的任一非空真子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭
答案：④
37、实数空间中的任一单点集是 ( )
① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭
答案：②
38、实数空间R的子集A ={1,, ,,……},则＝（ ）
①φ ② R ③ A∪{0} ④ A
答案：③
39、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（ ）
① 整数集 ② ③ 有理数集 ④ 无理数集
答案：①
40、在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ）
① 整数集Z ② 有理数集
③ 无理数集 ④ 整数集Z的补集
答案：④
41、已知上的拓扑,则点1的邻域个数是（　　）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4
答案：④
42、已知,则上的所有可能的拓扑有（　　）
① 1个　　　② 2个 ③ 3个 ④ 4个
答案：④
43、已知={a,b,c},则上的含有４个元素的拓扑有（　　）个
① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9
答案：④
44、设为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )
① ②
③当时, ④ 当时,
答案：③
45、在实数下限拓扑空间中，区间是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭
答案：③
46、设是一个拓扑空间，,且满足,则是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭
答案：②
47、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( )
① ②
③ ④
答案：③
48、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( )
① ②
③ ④
答案：②
49、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( )
① ②
③ ④
答案：②
50、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( )
① ②
③ ④
答案：①
51、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( )
① ②
③ ④
答案：②
52、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( )
① ②
③ ④
答案：④
53、设是实数空间，是整数集，则的子空间的拓扑为（ ）
① ②
③ ④
答案：②
54、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射
答案：④
55、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射
答案：④
56、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射
答案：④
57、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射
答案：④
58、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射
答案：④
59、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射
答案：④
60、设和是两个拓扑空间，是它们的积空间,，，则有（ ）
① ②
③ ④
答案：②
61、有理数集是实数空间的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集
③ 开集 　　　　　 ④ 以上都不对
答案：①
62、整数集是实数空间的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集
③ 开集 　　　　　 ④ 以上都不对
答案：①
63、无理数集是实数空间的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集
③ 开集 　　　　　 ④ 以上都不对
答案：①
64、设Y为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若, 则Z为( )
①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集
答案：②
65、设是平庸空间，则积空间是（　　　）
① 离散空间 　　　 　② 不一定是平庸空间
③ 平庸空间 　　　 　　④ 不连通空间
答案：③
66、设是离散空间，则积空间是（　　　）
① 离散空间 　　　　　② 不一定是离散空间
③ 平庸空间 　　　　 　④ 连通空间
答案：①
67、设是连通空间，则积空间是（　　　）
① 离散空间 　　　 　② 不一定是连通空间
③ 平庸空间 　　　　 　④ 连通空间
答案：④
68、实数空间R中的连通子集E为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对
答案：④
69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③　区间 ④ 以上都不对
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　答案：③
70、实数空间R中的连通子集E为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③　区间 ④ 区间或一点
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　答案：④
71、下列叙述中正确的个数为（ ）
（Ⅰ）单位圆周是连通的； （Ⅱ）是连通的
（Ⅲ）是连通的 （Ⅳ）和同胚
① 1 ② 2 ③　3 ④ 4
答案：②
72、实数空间( )
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对
答案：③
73、整数集作为实数空间的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对
答案：③
74、有理数集作为实数空间的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对
答案：③
75、无理数集作为实数空间的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对
答案：③
76、正整数集作为实数空间的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对
答案：③
77、负整数集作为实数空间的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对
答案：③
78、2维欧氏间空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对
答案：③
79、3维欧氏间空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对
答案：③
80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 平庸性 ② 连通性
③ 离散性 ④ 第一可数性公理
答案：②
81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 第一可数性公理 ② 连通性
③ 第二可数性公理 ④ 平庸性
答案：②
82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 第一可数性公理 ② 可分性
③ 第二可数性公理 ④ 离散性
答案：②
83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 平庸性 ② 可分性
③ 离散性 ④ 第二可数性公理
答案：②
84、设是一个拓扑空间，若对于,均有,
则是( )
① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对
答案：①
85、设，，则是( )
① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对
答案：①
86、设，，则是( )
① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 道路连通空间
答案：①
87、设，，则是( )
① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对
答案：④
88、设，，则是( )
① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对
答案：④
89、设，，则是( )
① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对
答案：④
90、设，，则是( )
① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对
答案：④
91、设，，则是( )
①空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对
答案：①
92、设是一个拓扑空间，若的每一个单点集都是闭集，
则是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间
答案：③
93、设是一个拓扑空间，若的每一个有限子集都是闭集，
则是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间
答案：③
94、设是一个拓扑空间，若对及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得,则是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间
答案：①
95、设是一个拓扑空间，若对的任何一个闭集及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得,则是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间
答案：②
96、设，，则是( )
①空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 正规空间
答案：④
97、设，，则是( )
①空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 正规空间
答案：④
98、设，，则是( )
①空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 正则空间
答案：④
99、设，，则是( )
①空间 ② 正则空间 ③ 空间 ④ 正规空间
答案：④
100、设，，则是( )
①空间 ② 正则空间 ③ 空间 ④ 正规空间
答案：④
101、设，，则是( )
①空间 ② 正则空间 ③ 空间 ④ 正规空间
答案：④
102、若拓扑空间的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间 是一个（ ）
① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 答案：③
103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）
　 ① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答案：③
104、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是（ ）
① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答案：③
105、紧致的Hausdorff空间中的紧致子集是（ ）
① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对
答案：③
106、拓扑空间的任何一个有限子集都是（ ）
① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　答案：②
107、实数空间的子集是（ ）
① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　答案：②
108、实数空间的子集是（ ）
① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　答案：②
109、如果拓扑空间的每个紧致子集都是闭集，则是（ ）
① 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间
答案：①
二、填空题（每题1分）
1、设,则的平庸拓扑为 ;
答案：
2、设,则的离散拓扑为 ;
答案：
３、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;
答案：拓扑不变性质
4、在实数空间R中，有理数集Q的导集是___________.
答案： R
5、当且仅当对于的每一邻域有 ;
答案：
6、设是有限补空间中的一个无限子集，则= ;
答案：
7、设是有限补空间中的一个无限子集，则= ;
答案：
8、设是可数补空间中的一个不可数子集，则= ;
答案：
9、设是可数补空间中的一个不可数子集，则= ;
答案：
10、设,的拓扑,则的子集 的内部为 ;
答案：{2}
11、设,的拓扑,则的子集 的内部为 ;
答案：{1}
12、设,的拓扑,则的子集 的内部为 ;
答案：{1}
13、设,的拓扑,则的子集 的内部为 ;
答案：
14、设,则的平庸拓扑为 ;
答案：
15、设,则的离散拓扑为 ;
答案：
16、设,的拓扑,则的子集 的内部为 ;
答案：{3}
17、设,的拓扑,则的子集 的内部为 ;
答案：{1}
18、是拓扑空间到的一个映射，若它是一个单射，并且是从到它的象集的一个同胚，则称映射是一个 .
答案：嵌入
19、是拓扑空间到的一个映射，如果它是一个满射，并且的拓扑是对于映射而言的商拓扑，则称是一个 ;
答案：商映射
20、设是两个拓扑空间，是一个映射，若中任何一个开集的象集是中的一个开集，则称映射是一个　　　　　　;
答案：开映射
21、设是两个拓扑空间，是一个映射，若中任何一个闭集的象集是中的一个闭集，则称映射是一个　　　　　　;
答案：闭映射
22、若拓扑空间存在两个非空的闭子集,使得,则是一个 ；
答案：不连通空间
23、若拓扑空间存在两个非空的开子集,使得,则是一个 ；
答案：不连通空间
24、若拓扑空间存在着一个既开又闭的非空真子集，则是一个 ；
答案：不连通空间
25、设是拓扑空间的一个连通子集，满足，则也是的一个 ;
答案：连通子集
26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；
答案：在连续映射下保持不变的性质
27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；
答案：可商性质
28、若任意个拓扑空间,都具有性质,则积空间也具有性质，则性质称为 ;
答案：有限可积性质
29、设是一个拓扑空间，如果中有两个非空的隔离子集,使得,则称是一个 ；
答案：不连通空间.
30、若满足第一可数性公理，则积空间满足 ;
答案：第一可数性公理
31、若满足第二可数性公理，则积空间也满足 ;
答案：第二可数性公理
32、如果一个拓扑空间具有性质,那么它的任何一个子空间也具有性质,则称性质为 ;
答案：可遗传性质
33、设是拓扑空间的一个子集，且,则称是的一个 ；
答案：稠密子集
34、若拓扑空间有一个可数稠密子集，则称是一个 ；
答案：可分空间
35、设是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称是一个 ；
答案：LindelÖff空间
36、如果一个拓扑空间具有性质,那么它的任何一个开子空间也具有性质,则称性质为 ;
答案：对于开子空间可遗传性质
37、如果一个拓扑空间具有性质,那么它的任何一个闭子空间也具有性质,则称性质为 ;
答案：对于闭子空间可遗传性质
38、设是一个拓扑空间，如果
则称是一个空间;
答案：中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点
39、设是一个拓扑空间，如果
则称是一个空间;
答案：中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另
一点
40、设是一个拓扑空间，如果
则称是一个空间;
答案：中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交
41、正则的空间称为 ；
　 答案：空间
42、正规的空间称为 ；
答案：空间
43、完全正则的空间称为 ；
答案：空间或Tychonoff空间
44、设是一个拓扑空间.如果的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间是一个 .
答案：紧致空间
45、设是一个拓扑空间，是的一个子集.如果作为的子空间是一个紧致空间，则称是拓扑空间的一个 .
答案：紧致子集
46、设是一个拓扑空间. 如果的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间是一个 .
答案：可数紧致空间
47、设是一个拓扑空间. 如果的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间是一个 .
答案：列紧空间
48、设是一个拓扑空间. 如果中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间是一个 .
答案：序列紧致空间
三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）
1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )
答案:√
理由：设是离散空间，是拓扑空间，是连续映射，因为对任意，都有,由于中的任何一个子集都是开集，从而是中的开集，所以是连续的.
2、设是集合的两个拓扑，则不一定是集合的拓扑( )
答案:×
理由：因为（1）是的拓扑，故T1，T２，从而；
（２）对任意的T1T２，则有T1且T２，由于T1, T2是的拓扑，故T1且T2，从而 T1T２；
（３）对任意的，则，由于T1, T2是的拓扑，从而UT’UT1,