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行列式
一、二阶行列式概念：形如的式子称为二阶行列式；数学规定；
二、三阶行列式：形如的式子称为三阶行列式。
规定

三、n阶行列式的定义
定义：n阶行列式等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积
的代数和，其中p1 p2 … pn是1， 2， … ，n的一个排列，每一项的符号由其逆序数决定。也可简记为，其中为行列式D的（i，j元）。
根据定义，有
代数余子式和余子式的关系：
四、行列式按行（列）展开
余子式 在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作。
代数余子式 ，叫做元素的代数余子式。
l 确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第行，第列)有关，其代数余子式的正负号是“”．
引理 一个阶行列式，如果其中第行所有元素除（i，j）元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即。
定理 阶行列式 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即，，。

五、行列式的性质
定义 行列互换，行列式不变．即
.
记，，行列式称为行列式的转置行列式。
性质1 行列式与它的转置行列式相等。＝
性质2 行列式的两行对换，其值变号。即
=-.
性质3 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即
k.
性质4 行列式中的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到的外面;
性质5 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即
.

性质6　如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即
=0.
性质7 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和。
性质8 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。
.
性质9 行列式中按任一行展开，其值相等，按任一列展开也一样。

六、几个特殊的行列式：
① 主对角行列式：主对角元素的乘积；
② 副对角行列式：副对角元素的乘积；
③ 上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；
形如，这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式．

推论1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积 。
即
推论2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于乘以其副对角线上各元的乘积。
即，

七、行列式的计算：
利用行列式的性质
即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式．
上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：
，.

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