近代数学的兴起.pptx

,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,四川师范大学,数学史,#,近代数学的兴起,主讲人：周思波,一、中世纪的欧洲,时代背景,中世纪前期约从,400,年起到,1100,年左右为止。数学是这个时期受到最大排斥的学科之一。,如罗马皇帝狄奥多西的法典就规定：,“,任何人不得向占卜人与数学家请教。,”,6,世纪时查士丁尼的法典则更直截了当地称：,“,彻底禁止应受到谴责的数学技艺。,”,奥古斯丁（,354-430,年）说：,“,从圣经以外获得的任何知识，如果它是有害的，理应加以排斥；如果它是有益的，那它是会包含在圣经里的。,”,这一时期的欧洲在基督教统治下，一切学术思想屈从于宗教教义，当时欧洲的中心学科只剩下与理性格格不入的神学，欧洲文明不可避免地裹足不前甚至萎缩倒退。许多史学家称之为欧洲的黑暗时代。,数学的停滞,博伊西斯（约,480-524,）根据希腊材料选编成,几何,、,算术,被作为欧洲教会学校的标准课本沿用了近千年。,中世纪欧洲的大学，仅仅开设算术、几何和主要是包括简单计算和迷信十分浓厚的术算（理论算术）。几何差不多仅限于欧几里得的前三卷，连硕士学位考试所需要的知识也不过如此。在某些大学，所能达到的最高水平也就是非常初等的等腰三角形底角相等定理。,总体来说，,1000,多年前，一位学识渊博的欧洲数学家所拥有的知识，比今天任何一名中学毕业生要少得多。,欧洲数学的翻译时代,直到,12,世纪，欧洲数学才出现复苏的迹象。这种复苏开始由于受翻译、传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激。,贸易和旅游,十字军东征,可以说,12,世纪是欧洲数学的翻译时代。,90,多部阿拉伯文著,翻译成拉丁文，其中包括托勒密的,大成,、欧几里得的,原本,、阿波罗尼奥斯的,圆锥曲线论,、花拉子米的,代数学,、,天文学,以及阿基米德的,圆的度量,。,古代学术传播西欧的路线图,波斯,希腊,印度,中国唐汉,中国宋元,巴格达,北非,西西里,西班牙,西欧,斐波那契,斐波那契是中世纪最具影响力的数学家。他早年就随其父亲在北非从师阿拉伯人学习算学，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利写成,算盘书,。,算盘书,主要是古代中国、印度和希腊数学著作的内容，包括印度,-,阿拉伯数码，分数算法，开方法，二次和三次方程，不定方程，以及,几何原本,和希腊三角学的大部分内容。特别是，书中系统介绍了印度数码，影响了欧洲数学面貌。,Fibonacci(11701250),算盘书,可以看作是欧洲数学经历了漫长的黑夜之后,走向复苏的号角,。,黎明前的黑暗,欧洲数学复苏的过程十分曲折，从,12,世纪到,15,世纪中叶，教会中的经院哲学派利用重新传入的希腊著作中的消极成分来阻抗科学的进步。特别是他们把亚里士多德、托勒密的一些学术奉为绝对正确的教条，妄图用这种新的权威主义来继续束缚人们的思想。,欧洲数学真正的复苏，要到,15,、,16,世纪。在文艺复兴的高潮中，数学的发展与科学的革新紧密结合在一起，数学在认识自然和探索真理方面的意义被文艺复兴的代表人物高度强调。,二、向近代数学的过渡,代数学的进步,欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远的领域，拉开了近代数学的序幕。,代数学上有两个伟大的进步：一是得到了一般三次方程和四次方程的解；二是发明了现代符号体系，即用字母表示数的体系。,第一个进步是由意大利北部的数学家在大约,1520,年到,1540,年间完成的；,第二个进步主要是两名法国人的研究成果：韦达和笛卡尔。,三次、四次方程求解,费罗,(1465-1526),x,3,+,px,=,q,(1515),塔尔塔利亚,(1499-1557),x,3,+,px,2,=,q,(1535),菲俄,卡尔达诺,(1501-1576),费拉里,(1522-1565),塔尔塔利亚,费拉里,符号代数的引入,代数上的进步还在于引用了较好的符号体系，这对于代数学本身的发展以及分析学的发展来说，至为重要。正是由于符号化体系的建立，才使代数有可能成为一门科学。,近现代数学最为明显的标志之一，就是,普遍使用了,数学符号,，它体现了数学学科的高度抽象与简练。,数学符号系统化首先归功于法国数学家韦达，由于他的符号体系的引入导致代数性质上产生最重大变革。,对韦达所使用的代数法的改进工作是由笛卡尔完成的，他首先用拉丁字母的前几个（,a,b,c,d,）表示已知量，后几个（,x,y,z,w,）表示未知量，成为今天的习惯。韦达的符号代数保留着齐性原则，要求方程中各项都是,“,齐性,”,的，即体积与体积相加，面积与面积相加。这一障碍随着笛卡尔解析几何的诞生也得到消除。,Viete(1540-1603),三角学,航海、历法推算以及天文观测的需要，推动了三角学的发展，早期三角学总是与天文学密不可分，这样在,1450,年以前，三角学主要是球面三角，,在欧洲，第一部脱离天文学的三角学专著是雷格蒙塔努斯,(Regiomontanus,14361476),的,论各种三角形,。,随后，维勒,(Werner,14681528),著,论球面三角,（,1514,），改进并发表了将雷格蒙塔努斯的思想。,三角学的进一步发展，是法国数学家韦达所做的平面三角与球面三角系统化工作。,在,16,世纪，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立,的数学分支。,几何学的复兴,文艺复兴时期几何创造其动力来自于艺术。正是由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科,透视学的兴起，从而诞生了投影几何学。,中世纪宗教绘画具有象征性和超现实性，而文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临许多问题：,（,1,）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？,（,2,）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？,从透视学到射影几何,第一个认真从事透视几何研究的意大利画家是,布努雷契,（,F.Brunelleschi,13771446,）。,阿尔贝蒂,(L.B.Alberti,14041472),于,1435,年写成了第一本透视学著作，名为,论绘画,。,第一个在真正意义上对于透视法所产生的问题从数学上直接给予解答的是,笛沙格,（,G.Desargues,15911661,）。,1639,年发表著作,试论锥面截一平面所得结果的初稿,，充满了创造性的思想。,法国另一位数学家,帕斯卡,（,BlaisePascal,16231662,）十六岁时就开始也研究投射与取景法，,1640,年完成著作,略论圆锥曲线,。,计算技术与对数,十六世纪前半叶，欧洲人象印度、阿拉伯人一样，把实用的算术计算放在数学的首位，科学成果在工程技术上的应用以及实践上的需要，要求得出数量上的结果，对计算技术提出了前所未有的要求。,苏格兰贵族、业余数学家纳皮尔,(J.Napier,，,1550-1617),发表了世界上第一张对数表，简化了计算过程。,1614,年他在题为,奇妙的对数定理说明书,的小书中，阐述了他的对数方法。,对数的发明大大减轻了计算工作量，很快风靡欧洲，所以拉普拉斯（,Laplace,17491827,）曾赞誉道：,“,对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命,”,。,到十六世纪末、十七世纪初，整个初等数学的主要内容基本,定型，文艺复兴促成的东西方数学的融合，为近代数学的兴,起及以后的惊人发展铺平了道路。,三、解析几何的诞生,背景,文艺复兴以来资本主义生产力的兴起，对科学技术提出了全新的要求。,机械的普遍使用引起了对机械运动的研究；,航海事业的空前发达要求测定船舶位置，这就需要准确地研究天体运行的规律；,武器的改进刺激了弹道问题的探讨；,总之，到了十六世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，这就迫切地需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学亦即近代数学的诞生。,近代数学本质上可以说是变量数学。,变量数学的里程碑,变量数学的第一个里程碑是解析几何的诞生,。,解析几何的基本思想是在平面上引进所谓,“,坐标,”,的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对,(,x,y,),之间建立一一对应的关系。以这种方式可以将一个代数方程,f,(,x,y,)=0,与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。,用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的位置，用坐标来描述空间上的点。,解析几何的创建者,费马,Fermat,16011665,法国人,笛卡儿,Descartes,15961650,法国人,1637,年他发表了最有名的著作,谈谈正确运用自己的理性在各门学问里寻求真理的方法,，通常简称为,方法论,。,在,方法论,中附有三篇论文：,折光学,、,气象学,和,几何学,。在这三篇论文中笛卡尔给出了用自己的方法做出发明的例子。,谈谈方法,：,把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了我们现在称之为的,“,解析几何学,”,。,笛卡儿提出了一种大胆的计划，即：,任何问题数学问题代数问题方程求解,费马的解析几何,费马工作的出发点是试图恢复失传的阿波罗尼奥斯的著作,论平面轨迹,，从而写了一本题为,论平面和立体的轨迹引论,（,1629,）的书，他试图用他所熟悉的代数形式描述阿波罗尼奥斯的结果。,书中清晰地阐述了费马的解析几何原理，指出：,“,只要在,最后的方程中出现两个未知量，就有一条轨迹，这两个量,之一的末端描绘出一条直线或曲线。直线只有一种，,曲线的种类则是无限的，有圆、抛物线、椭圆等等,”,。,笛尔儿与费马的工作对比,笛卡尔,费马,目的,给出方法论在数学上的一个例子,竭力恢复失传的阿波罗尼奥斯的著作,论平面轨迹,途径,先研究轨迹，然后求其方程,先研究方程，然后求其轨迹,时间,1637,年,1629,年,思想,笛卡尔批评了希腊人的传统，主张和这个传统决裂。,费马着眼于继承古希腊的思想，认为自己的工作是重新表述了阿波罗尼奥斯的工作。,解析几何学的意义,解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，证明几何性质。解析几何的出现，把相互对立着的,“,数,”,与,“,形,”,统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。,这种对应关系的建立，不仅标志着函数概念的萌芽，而且标明变量进入了数学，使数学在思想方法上发生了伟大的转折,由常量数学进入变量数学的时期。,解析几何是代数与几何相结合的产物，它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表述成为可能，从而为微积分的创立搭起了舞台。正如恩格斯所说：,“,数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辨证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。,”,