第一章 利息基本计算.doc

第一章 利息基本计算
利息的定义
1 从债权债务关系的角度看，利息是借贷关系中债务人为取得资金使用权而支付给债权人的报酬。
2 从简单的借贷关系的角度看，利息是一种补偿，由借款人支付给贷款人。
3 从投资的角度看，利息是一定量的资本经过一段时间的投资后产生的价值增值。
第一节 利息基本函数
1 原始资本（或本金）：在投资活动中，某一方投资一定量的货币。
2 总量函数：（定义1.1）设用A(t)表示原始投资A（0）经过时间t（t>0）(事先给定时间度量单位)后的价值，则当t变动时称A(t)为总量函数。
3利息：（定义1.2）总量函数A（t）在时间段内的变化量（增量）称为期初货币量A()在时间段内的利息，记为，即=…………………………………（1.1.1）
特别地，当时，
记=。…………………………（1.1.2）
并称为第n个时间段内的利息。
1.1.1 累积函数
1 累积函数（定义1.3）:设1个货币单位的本金在t（）时刻的价值为a(t), 则当t变动时称a(t)为累积函数。
显然有累积函数与增量函数的关系：
2 累积函数的基本性质：
1）a(0)=1
2) a(t)为递增函数。
说明：若累积函数为减函数，则说明将产生负利息，即货币贬值；累积函数为常数，则说明无利息。
3 常见的累积函数a(t)的种类：
1）常数函数。
2）一般的线性函数
3） 二次函数：
4）指数函数：
4 利率：
度量利息的常用方式是计算利率。
1）文字定义：是指一定的货币量在一段时间（计息期）内的变化量（利息）与期初货币量的比值。
2）数学定义：给定时间区间内的总量函数A(t)的变化量（增量）与期初货币量的比值称为在时间区间内的利率，记为（注意与利息记号的区别）即：
=…………………………（1.1.3）
特别地，当时，记
=………………（1.1.4）
通常称为第n个时段的利率。
从而 (此式为递推公式)，可得到：（记住！后面用到）
5 实利率：如果计息期为标准的时间单位（如月、季、半年或年）则所对应的利率常常称为实利率。除特别说明外，以下实利率一般皆指年利率。
说明：
1） 利率表示在一定的时间内的实际利息收入的相对量。
2） 利率通常用百分数表示。
3） 利率的定义要求在计息期内没有其它资本的投入，也没有原始本金的撤出即计息期内本金保持不变。
4） 利息是在计息期期满时支付的。
6 结论1.1 某个计息期内的利率为单位本金在该计息期内的利息与期初资本量的比值，即：
=………………………………………（1.1.5）
证明：=
1.1.2单利和复利
1 单利：若有这样一种累积计算方式：1个货币单位的投资经过任何一个单位的计息期产生的利息为常数，则称对应的利息计算方式为简单利息计算方式，简称单利方式，对应的利息称为单利。
结论1.2 在单利方式下有：……（1.1.6）
其中为1个货币单位本金经过一个单位计息期产生的利息，一般称为单利率。
证明：……。
说明：
1） 在单利方式下，利息与经过的时间成正比。
2） 在单利方式下，
……（1.1.7）
该式说明经过时间s+t产生的利息等于经过时间s产生的利息与经过时间t产生的利息之和。
注：若a(t)满足式1.1.7，则a(t)满足式1.1.6（证明）
3）……（1.1.8）
该式说明经过相同长度t的计息期所产生的利息相同。
3） 在单利方式下的实利率是随计息期变化的。
即每个单位时间内的相对货币价值变化量是逐渐下降的。
2 复利
定义1.6 若有这样一种累积计算方式：1个货币单位的投资经过任何一个单位的计息期产生的利率为常数，则称对应的利息计算方式为复合利息计算方式，简称复利方式，对应的利息称为复利。
对复利方式，在投资期间的每个时刻，过去所有的本金与利息的收入之和都将用于下一个时刻的再投资，即利滚利。
结论1.3 在复利方式下有： ……（1.1.9）
其中为1个货币单位本金经过一个单位计息期产生的利率，一般称为复利率。
证明：因为：
所以，
说明：在复利方式下，累积函数满足条件：……………………(1.1.10)
注：若a(t)满足式1.1.10，则a(t)满足式1.1.9（证明）
即：…………………（1.1.11）
上式说明，经过相同长度t的计息期所产生的利率相同。
3 单利方式与复利方式的区别：
1）短期内两种方式计算的利息差异不大。
2）当货币量的数额增大时，两种方式计算的利息差异也会增大。
3）复利方式几乎用于所有的金融业务，单利方式只是用于短期计算或不足期的近似计算。
特别说明：今后除特别说明，一般考虑复利计算方式。
例 1.1 设年利率为5%，比较单利方式与复利方式的异同效果。
解：见p6-7
1.1.3贴现函数
1 贴现函数（定义1.7）若t（）时刻的1个货币单位在0时刻的价值记为，则当t变动时，称为贴现函数。
注：在单利方式下有= （）……（1.1.12）
在复利方式下有=（）……（1.1.13）
说明：由累积函数与贴现函数的计算公式知：累积函数与贴现函数互为倒数（无论是单利方式还是复利方式）。
2 贴现率（定义1.8）计息期内的利息与期末货币量的比值称为在时间区间内的贴现率，记为,即：
=
特别地，当时，记
=…………（1.1.14）
注明：在进行投资时，选择利息越高越好；同样也是选择贴现率越高的，收益越高。
3 复贴现率：若每个计息期内的贴现率相同，则称该相同的贴现率为复贴现率，对应的贴现模式称为复贴现模式，一般用d表示复贴现率。

4 贴现因子：称为贴现因子，其中为实利率。用表示。即=。（于是）
5 终值与现值：称为1个货币单位的本金在第t个计息期末的终值（简称AV）;称为第t个计息期末1个货币单位在0时刻的现值（简称PV）。
注：现值与终值的名称往往就隐含着复利方式。
6 利率和贴现利率等价（定义1.11）：若相同的原始本金经过相同的计息期按利率和贴现利率计算的终值相同。
即它们满足：
复利方式下：
单利方式下：
证明：因在单利方式下，
所以， 所以，
所以，在单利方式下，
7 利率与贴现率的关系（结论1.4）在任一个计息期内，利率与贴现率有如下关系：
（1）
证明：
（1）设期末货币量为1，则该计息期内的利息是d,于是期初货币量为1-d,所以该式成立。
（2）设期初货币量为1，则期末货币量为1+i，所以该式成立。
8 利率、贴现率和贴现因子的关系（结论1.5）：
在任一个计息期内，利率、贴现率和贴现因子有如下关系：
（1）贴现率是同期期末的利率用贴现因子贴现到期初的值，即： （）
（2）贴现率与贴现因子互补，即
）
（3）利率与贴现率的差等于利率与贴现率的积，即
例1.2 现有面额为100元的债券，在到期前1年的时刻其价值为95元。同时1年定期储蓄利率为5.25%。讨论如何进行投资选择。
解：比较贴现率：
债券的贴现率
储蓄的贴现率
所以应进行投资债券。
比较利率：
债券的利率：
储蓄的利率：i=5.25%
所以，应进行投资债券。
1.1.4名利率和名贴现率
1名利率或挂牌利率：若在单位计息期内利息依利率换算次，则称为换算名利率或挂牌利率。
例如，表示在一年内利息依利率1%换算4次，即4%为季换算名利率，都表示每个季度换算一次利息，且每个季度的实际利率为1%。
一年的实际利率i与4次换算的名利率有下列关系：
。一般地有下列结论：
2 结论1.6 相同单位计息期内的利率i与m换算名利率有下列关系：
即：
3 结论1.7 相同单位计息期内的贴现率d与p换算名贴现率有如下关系：
即：
4 结论1.8 相同单位计息期内的m换算名利率与p换算名贴现率有下列关系：

证明: 再有结论1.6和1.7即证。
注：在上式中，若m=p，则有如下关系：
…………………………（1.1.16）
上式说明名利率和名贴现率在每个换算期内是等价的。注：由1.1.16得到：
………………………………（1.1.17）
该式表明，名贴现率的倒数与名利率的倒数之差为常数，且该常数只与换算次数m有关，与利率水平无关。
例1.3 现有以下两种5年期的投资方式：
方式A：年利率为7%，每半年计息一次；（说明7%为2次换算的名利率）
方式B：年利率为7.05%,每年计息一次。
比较两种投资方式的收益进而确定投资选择。
解：
比较年实际利率：
方式A 高于方式B的年实际利率7.05%，
故应选择方式A进行投资。
比较5年到期的终值：
方式A 1个货币单位到期的终值：
方式B 1个货币单位到期的终值：
故应选择方式A进行投资。
1.1.5 连续利息计算
1 利息力函数（定义1.13）设累积函数为t的连续可微函数，则称函数为累积函数对应的利息力函数，并称利息力函数在各个时刻的值为利息力。
2 累积函数、贴现函数和利息力函数的关系
………………………………（1.1.19）
……………………………（1.1.20）
说明：在复利方式下，利息力函数为常数。常数利息力一般用表示。
3 贴现力函数：设累积函数为t的连续可微函数，则称函数为累积函数对应的贴现力函数，并称贴现力函数在各个时刻的值为贴现力。
说明：贴现力与利息力相等，即:
4 结论1.9 如果利息力函数为常数，则：
（1）
（2）
（3）
证明：……。
5 结论1.10 在相同单位计息期内，名利率，名贴现率与常数利息力有如下关系：
（1）
（3）
证明：（1）由结论1.6知：
所以（1）成立
（2根据结论1.7即证。
（3）根据（1）（2）即证。
（4）根据结论1.7及二项定理（1+x）m即证。
由（2）式及的展开式即证
由（1）式及的展开式即证
由结论1.6及二项式定理即证
6 结论1.11 各种利率函数的导数有如下结论：
（1）
因为
（2）
因为
（3）
因为
结论（1）、（2）、（3）分别表示贴现率、常数利息力及名利率都是其相同单位计息的利率的增函数；贴现率是常数利息力的增函数，而常数利息力则是贴现因子的减函数。
例1.4 已知基金F以利息力函数累积，基金G以利息力函数若分别用和表示两个基金在时刻的累积函数，并令-，试计算使达到最大的时刻T
解:………………。
第二节 利息基本计算
与利息计算有关的量主要有以下四个:原始投入的资本（即本金）、投入经过的时间、利率和投资结束时的终值。其中任何三个量的值都可以唯一的决定第四个量的值。
1.2.1时间单位的确定：
目前常用的三种度量投资的时间的计算方法是：
1 精确利息算法：按实际的投资天数计算，1年为365天，若依此方法度量投资时间，则称对应的利息计算方法为精确利息算法，一般用“实际投资天数/年实际天数”表示。（在美国长期国债市场上应用此算法）
2 普通利息算法：假设每月有30天，1年为360天，若依次方法度量投资时间，则称对应的利息计算方法为普通利息算法，一般用“30/360”表示。（在美国的公司债券市场上应用此算法）。
此方法计算实际投资天数的公式为
360（Y2-Y1）+30(M2-M1)+(D2-D1)
分别表示投资起止日期的年、月和日。
3 银行家利息法则算法：按实际的投资天数计算，但1年设为360天，若依此方法度量投资时间，则称对应的利息计算方法为银行家利息法则算法，一般用“实际投资天数/360”表示。（在欧洲债券市场上用此算法）。
说明：显然，该算法比上两种算法对贷款方有利。
除非特别说明，总是假定起息日与到期日不能同时计入利息计算期。
1.2.2价值方程
由于不同时刻的货币量是无法直接比较大小的，必须将这些量调整到某一个共同日期，这个共同日期被称为比较日。
将调整到比较日的计算结果按照收入支出相等的原则列出的等式称为价值方程。
时间流程图：用一条直线表示时间（从左到右），上面的刻度为事先给定的时间单位，发生的现金流量写在对应时间的上方或下方（一般同一流向的现金流写在同一方）。
说明：采用复利方式或复贴现模式计算时，最终的计算结果与比较日的选取无关；采用单利方式或单贴现模式计算时，比较日的选取将直接影响到计算结果。
例1.5 某资金帐户现金流如下，在第1年初有100元资金支出，在第5年末有200元资金支出，在第10年末有最后一笔资金支出；作为回报在第8年末有资金收回600元。假定半年换算名利率为8%，使利用价值方程计算第10年末的支出金额大小。（分别考虑复利方式和单利方式）。
解：设第10年末的支出金额为X，则这个业务的货币时间流程图为：
（1）采用复利方式计算：
①选第1年初为比较日，根据当事人支出与收回的价值在比较日应该相等的原则，有价值方程：
100+200
X=
②选第5年末为比较日，则价值方程为：

由此价值方程求得：

（2）采用单利方式计算
首先计算等价的年利率i,由题设：
得：
①选第1年初为比较日，则价值方程为

解得X=178.5
②选第5年末为比较日，则价值方程为

解得：X=129.9
③选第10年末为比较日，则价值方程为

解得：X=204
1.2.3等时间法
1 问题1 设有两种投资方式：方式一，分别于。若两种方式的投资价值相等，计算时刻t.
根据价值相等的基本价值方程得：

求得：

近似计算公式：

2问题2 在给定的利率下，求货币价值增加一倍的时间间隔
设给定的利率为i，要计算的时间间隔为n，则基本价值方程为：

解得:
近似计算公式：
特别当i在8%左右时，有近似公式：称此式为72算法。
1.2.4 利率的计算
1 直接对价值方程进行指数或对数计算法
例1.6 以什么样的季换算挂牌利率，可以使当前的1000元在6年后本利和为1600元。
解 设季换算挂牌利率为时，当前的1000元在6年后本利和为1600元。令，则价值方程为

则
故=4j=0.0791=7.91%
2代数法
例 1.7 已知第2年底的2000元和第4年底的3000元现值之和为4000元，计算年利率。
解：设年利率为i，则价值方程为：
4000=
解得
3 线性插值的递推或迭代法
例1.8 已知现在投入1000元，在第3年底投入2000元，在第10年底的全部收入为5000元。计算半年换算名利率。
解：设半年换算名利率为，则价值方程为：

求方程=0的近似解。
方法有：①二分法：
②切线法：在纵坐标与同号的那个端点（此端点记作()）作切线，这切线与x轴的交点的横坐标就比更接近方程的根。
有下列迭代公式

③线性插值的递推或迭代法：
求的解的步骤
第一步：给定两个初值：满足：
，则：

再给一个初值
第二步，再重复第一步。

第三节 实例分析
1.3.1 现实生活中与利率有关的金融现象
1 银行的挂牌利率：
一年定期存款利率7.91%/收益率8.15%，表示名利率，实利率。
拆借市场利率8.00% /收益率8.03%。表示名利率实利率
例1.9 2004年10月29日中国人民银行公布的金融机构人民币存款利率如表1—5所示，表中的利率水平是单利方式，计算除活期外各种期限的年利率
表1—5
期限
活期 3个月 6个月 1年 2年 3年 5年
年利率
0.72 1.71 2.07 2.25 2.70 3.24 3.60
2 计息天数
在实际计算中，银行在计算利息的天数时，常用一些灵活的算法。见例P22
3 利率与贴现率
生活中的收益率有的时候指利率，有的时候指贴现率。
例1.10 若面值为100元的债券，在到期前3个月时的买价为96元，计算买方的：
（1） 季换算名贴现率
（2） 年实利率i
解：
（1）
（2）季换算名利率：
所以 %
4信用卡：信用卡上欠款的利息通常是在每个月的月底依照卡上的结余计算的，所以每个月中间的欠款是不用付利息的。也就是说，如果持卡人在每个月内能够完全付清卡上的欠款，实际上享受着短期无息贷款；另一方面，那些月底结算时仍然有未结欠款的账户，将付出很高的利息。
1.3.2 提前支取的处罚
例1.11 2年期定期存款的年利率为10%，在提前支取时储户可以有以下两种选择：方式A：利率降为8%；方式B：原利率不变，扣除3个月的利息，使对以下两种情况，给出对储户较为有利的选择：
（1） 存入6个月时提前支取；
（2） 存入一年半时提前支取。
解：设原始本金为1个货币单位，并分别用IA和IB表示两种选择的利息收入，则：
（1）

所以，此情况下选择方式A对储户较为有利。
（2）

所以，此情况下选择方式B对储户较为有利。
例1.12 已知储蓄方式：年利率为7%，在每三年底（如果存款未提前支取）将奖励余额的2%，使对以下三个取款时刻计算实际的年利率：第2年底、第3年底、第4年底。
解：若第2年底取款，年实利率仍然为7%
若第3年底取款，设年利率为i则：

解得：
若第4年底取款，设年利率为i则

解得：
（问题：若在第三年底到期后，再转存一年，比一直存4年，哪种方式更有利？若是5年的存款，你又如何理财？）
例1.13 现有不允许提前支取的银行定期存款，其利率（保持6年不变）如表1—6所示。
存期（年）
1 2 3 4
季结算名利率（%）
5 6 7 8
某投资者准备存入1000元，存期为6年，计算最大收益的定期储蓄组合的平均年利率。
解：若选择一个4年期存款和一个2年期存款，则1个货币单位的存款在第6年的总额为

于是平均年利率i可有下式计算得出：
解得
注：书中有错误（见课本P25）
1.3.3其它实例
例1.14 某人需要50000元的1年期贷款，市场中现有两种可能的融资机会：方式A：1年期贷款年利率为5%；方式B：1年期贷款年利率小于5%，但是最低贷款额度为100000元。如果现有1年期可能的投资利率为3%，问：要使两种方式等价，方式B的最大可接受年利率为多少？
解：设i为方式B的最大可接受年利率，则有价值方程为

解得：i=4%
例1.15 现有如下的投资经历：原始投资100000元，资金在前两年投资于13周的短期国债，假定均以贴现方式报价；从第三年初开始进行组合投资，该投资的利息力函数为。如果希望5年后新增加的金额为原投资的1.6倍，试分析13周短期国债的可接受的折价价格。
解：设国债以名贴现率折价出售，则该资金在第2年底的累积价值为
第五年底的累积价值
解得：
所以，即面额为100元的债券的可接受折价价格为100-3.23=96.77