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第十三讲 刚体的运动学与动力学问题
一 竞赛内容提要 1、刚体；2、刚体的平动和转动；3、刚体的角速度和角加速度；4、刚体的转动惯量和转动动能；5、质点、质点系和刚体的角动量；6、转动定理和角动量定理；7、角动量守恒定律。
二 竞赛扩充的内容
1、刚体：在外力的作用下不计形变的物体叫刚体。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动，刚体的任何复杂运动均可由这两种基本运动组合而成。
2、刚体的平动；刚体的平动指刚体内任一直线在运动中始终保持平行，刚体上任意两点运动的位移、速度和加速度始终相同。
3、刚体绕定轴的转动；刚体绕定轴的转动指刚体绕某一固定轴的转动，刚体上各点都在与转轴垂直的平面内做圆周运动，各点做圆周运动的角位移Φ、角速度ω和角加速度β相同（可与运动学的s、v、a进行类比）。且有：ω=；β=。当β为常量时，刚体做匀加速转动，类似于匀加速运动，此时有：ω=ω0+βt； Φ=Φ0+ω0t+βt2/2；
ω2－ω02=2β（Φ－Φ0）。式中，Φ0、ω0分别是初始时刻的角位移和角速度。对于绕定轴运动的刚体上某点的运动情况，有：v=ωR， aτ=βR， an=ω2R=v2/R, 式中，R是该点到轴的距离，aτ、an分别是切向加速度和法向加速度。
例1 有一车轮绕轮心以角速度ω匀速转动，轮上有一小虫自轮心沿一根辐条向外以初速度v0、加速度a作匀加速爬行，求小虫运动的轨迹方程。

例2 一飞轮作定轴转动，其转过的角度θ和时间t的关系式为：θ=at+bt2－ct3，式中，a、b、c都是恒量，试求飞轮角加速度的表示式及距转轴r处的切向加速度和法向加速度。

B
K
A
M
n
α
O
ω

例3 如图所示，顶杆AB可在竖直槽K内滑动，其下端由凸轮K推动，凸轮绕O轴以匀角速度ω转动，在图示瞬间，OA=r，凸轮轮缘与A接触处，法线n与OA之间的夹角为α，试求此瞬时顶杆OA的速度。

例4 人在电影屏幕上看到汽车向前行驶，车轮似乎并没有转动时，则汽车运动的可能的最小速度是多少？已知电影每秒钟放映24个画面，车轮半径为0.5m.

2m
O
O′
A
B
例5 在水平路面上匀速行驶的拖拉机前轮直径为0.8m，后轮直径为1.25m，两轮的轴的距离为2m，如图所示，在行驶过程中，从前轮边缘的最高点A处水平飞出一小石块，0.2s后后轮边缘的最高点B处也水平飞出一小石块，这两块石块先后落在地面上同一处，求拖拉机行驶时速度的大小。

R1
R
R2
ω
v
例6如图所示，由两个圆球所组成的滚珠轴承内环半径为R2，外环半径为R1，在两环之间分布的小球半径为r。外环以线速度v1顺时针方向转动，而内环则以线速度v2顺时针方向转动，试求小球中心在围绕圆环的中心顺时针转动的线速度v和小球自转的角速度ω。设小球与圆环间无滑动。

例7一木板从空中下落，某时刻，板上a、b两点速度相同，va=vb=v，a、b两点均位于板面上，同时还发现板上c点速度为2v，c点到a和b两点的距离等于a和b两点间的距离。问板上那些点的速度等于3v？
O
r
P
F
ρ
θ
Fρ
Fφ

z
O
F
F∥
F⊥
ρ
θ
4、力矩 （1）对转动轴的力矩 如图，转动轴过O点并垂直于纸面，过P点的力F对O轴的力矩M=Fr。其中，r为力臂。∵r=ρsinθ，∴M=Fsinθ·ρ。即，F对轴O的力矩，等于F垂直于OP连线的分力Fφ与OP的积：M=Fφ·ρ。
当力的作用线不在垂直于轴的直线上时，可将力F分解为平行于轴的分量F∥和垂直于轴的分量F⊥，其中，F∥对物体绕轴的转动没有贡献，F⊥就是F在垂直于轴的平面上的投影，此时，F对轴的力矩可写成：M= F⊥·ρsinθ。
O
ρ
F
Fφ
Fρ
θ
（2）对参考点的力矩 如图，F对O点的力矩M=Fsinθ·ρ。
5、质点的角动量
r
m
θ
p
O
如右下图，质点m对 点O的角动量L=r×p=r·psinθ=mv·r·sinθ，角动量又叫做动量矩（与力矩类比）。同一质点对不同的参考点的角动量是不同的。特别地，当p⊥r时，角动量L=mvr。
6、质点系（或刚体）的角动量
即各质点角动量的总和，L=∑miviri=（∑miri2）ω=Iω。其中，I是刚体的转动惯量（I的数值不要求会计算）。质点对轴的转动惯量为：I=mr2，r是转动半径。
7、刚体的转动动能 刚体的动能包括质心的平动动能（EK=mv2/2）和相对质心的转动动能，其中，转动动能的大小： Ek=∑mivi2/2=1/2（∑miri2）ω2=（1/2）Iω2。
8、刚体绕定轴转动的基本规律
（1）力矩M和角加速度β的关系 M=Iβ（类比于F=ma）；（2）合力矩做的功和刚体转动动能的关系 W=F·S=F·rθ=Mθ=（1/2）Iωt2－（1/2）Iω02.（与动能定理类比）。
（2）质点、质点系或刚体的角动量定理L=∑miviri（若是质点则不用∑符号），∴⊿L/⊿t=∑⊿L/⊿t=∑（Fi＋fi）ri，式中，Fi表示第i个质点受到的外力，fi表示该质点受到的系统内力。∵内力矩为零，∴⊿L/⊿t=∑Firi=M外，即M外⊿t=Lt－L0（与动量定理类比）。角动量定理可写成分量式。
θ
A
m，l
（3）质点、质点系或刚体的角动量守恒定律 当M外=0时，L=恒量（与动量守恒类比），即系统的角动量守恒。其中，M外=0有以下三种情况：（i）体系不受外力，即Fi=0（合外力为零≠合力矩为零，如力偶矩的情况）；（ii）所有外力都通过定点（这种外力叫有心力，如卫星所受的万有引力），尽管外力的矢量和不为零，但每个外力的力矩都为零；（iii）每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。
例8、质量为m，长为l的均质细杆，绕着过杆的端点且与杆垂直的轴以角速度ω转动时，它的动能和相对端点的角动量的大小分别为Ek=Iω2/2，L=Iω,其中，I=ml2/3，现将此杆从水平位置由静止释放，设此杆能绕着过A的固定光滑细轴摆下，当摆角从0达θ时，试求：（1）细杆转动的角速度ω和角加速度β；（2）固定光滑细轴为杆提供的支持力。

m1
m2
R
M
a
a
β

例9、质量为M，半径为R的均质圆盘，绕过圆心且与圆盘垂直的轴以角速度ω旋转时的角动量大小为L=Iω，其中，I=MR2/2，如图，细绳质量可忽略，绳与圆盘间无相对滑动，滑轮与轴之间无摩擦，m1＞m2，试求物体运动的加速度。

例10、在光滑的水平面上，两个质量分别为m1和m2的小球，用长为l的轻线连接，开始时，线正好拉直，m1和m2的速度分别为v1和v2（v1＞v2），它们的方向相同，并垂直于连线，试求：
系统相对质心的角动量为多大？（2）线中的张力为多大？

m
v0
M
M
θ

例11、如图所示，在光滑水平面上，质量均为M的两小球用长为l的轻杆相连，另一质量为m的小球以v0的速率向着与杆成θ角的方向运动，若（1）碰后m以v0/2的速率沿原路线反弹，试求碰后轻杆系统绕其质心转动的角速度ω。
（2）若M=m，且θ=45°，小球m以某一速率v0与杆上一球发生弹性碰撞后，沿垂直于原速度的方向运动，如图虚线箭头所示方向，求碰后小球的速度及轻杆绕其质心转动的角速度。

O
R
A
B
vA
vB
例12、一质量m=1 .40×104kg的登陆飞船，在离月球表面高度h=100km处绕月球做圆周运动，飞船采用如下登月方式：当飞船位于图中A点时，它向外侧（即沿OA方向）短时间喷气，使飞船与月球相切地到达B点，且OA⊥OB，试求飞船到达月球表面时的速度。已知月球半径R=1700km，月球表面的重力加速度为g=1.62m/s2。

m，L
例13、如图，一长为L，质量为m的均质棒被两根细线水平悬挂在天花板上，某时刻，右边的线断了，问线断瞬间，左边线中的张力是多大？已知棒绕其一端的转动惯量I=ml2/3。

例14、一颗卫星沿椭圆轨道绕地球运行，在近地点，卫星与地球中心的距离为地球半径的3倍，卫星的速度为在远地点时速度的4倍，求在远地点时卫星与地球中心的距离为地球半径的多少倍。

l
v0
例15、两个质量均为m的小球，用长为l的绳子连接起来，放在一光滑的水平桌面上，给其中一个小球以垂直于绳子方向的速度v0，如图所示，求此系统的运动规律和绳中的张力大小。

A
B
v0
例16、小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌面上的光滑小槽中，两滑块的质量都是m，并用长为l、不可伸长的、无弹性的轻绳相连，如图所示，开始时，A、B间的距离为l/2，A、B间的连线与小槽垂直，今给滑块A一冲击，使其获得平行于槽的速度v0，求滑块B开始运动时的速度。

v0
v0
m
m

例17、如图所示，质量均为m的两小球系于轻弹簧的两端，并置于光滑水平桌面上弹簧原长为a，劲度系数为k。今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等值反向的初速度，若在以后运动过程中弹簧的最大长度b=2a，求两球的初速度v0。

h
α
O

例18、在半顶角为α的圆锥面内壁离锥顶h高处以一定初速度沿内壁水平射出一质量为m的小球，设锥面内壁是光滑的。（1）为使小球在h处的水平面上做匀速圆周运动，则初速v0为多少？（2）若初速v1=2v0，求小球在运动过程中的最大高度和最小高度。

例19、（1）质量为m的人造地球卫星作半径为r0的圆轨道飞行，地球质量为M，试求卫星的总机械能；（2）若卫星运动中受到微弱的磨擦阻力f（常量），则将缓慢地沿一螺旋轨道接近地球，因f很小，轨道半径变化非常缓慢，每周的旋转都可近似处理成半径为r的圆轨道运动，但r将逐周缩短，试求在r轨道上旋转一周，r的改变量⊿r及卫星动能EK的改变量⊿EK。

b
O′
L
O
R
a
例20、图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心，已知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U=1000V。在离球心O很远的O′点附近有一质子b，它以EK=2000eV的动能沿与O′O平行的方向射向a，以L表示b与O′O线间的垂直距离。要使质子b能够与带电球体a的表面相碰，试求L的最大值。把质子换成电子，再求L的最大值。

例21、由火箭将一颗人造卫星送入离地面很近的轨道，进入轨道时，卫星的速度方向平行于地面，其大小为在地面附近做圆运动的速度的倍，试求该卫星在运行中与地球中心的最远距离。

m
m
r0
例22，如图所示，在水平光滑平面上开有一个小孔，一条绳穿过小孔，其两端各系一质量为m的物体，桌上的物体则以v0=的速率做半径为r0（即桌上部分的绳长）的匀速圆周运动，然后放手，求以后的运动中桌上部分绳索的最大长度和最小长度。

o
R
m
m
m
m
m
例23，一块半径为R的水平轻质圆盘，可绕过其圆心O的竖直轴自由旋转，在圆盘下面的边缘处等间隔地系有四个质量都为m的小球，如图所示。开始时，圆盘静止，一辆质量也为m的玩具汽车从O出发，以恒定的相对于盘的速率v0沿半径驶往盘边，并沿盘边行驶，试求：
（1）当玩具汽车沿半径行驶时，圆盘的转动角速度ω1；（2）当玩具汽车沿盘边行驶时，圆盘的转动角速度ω2。

例24，若上题中的竖直轴不经过圆心，而经过某一小球的位置处，玩具汽车从该轴处以恒定的相对于圆盘的速率v0沿盘边行驶，试求：（1）当玩具汽车行驶到第二小球位置处（即行驶了半圈）时，圆盘的转动角速度ω1；（2）当玩具汽车行驶到第三小球位置处（即行驶了3/4圈）时，圆盘的转动角速度ω2；（3）当玩具汽车回倒转轴处时，圆盘的转动角速度ω3。

M
O
M
M
L
L
L
m
v0
例25，在一根长为3L的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为L，再在杆的两端及距另一端为L处各系一质量为M的小球，然后通过此孔将杆悬挂于一光滑的水平细轴O上，如图所示。开始时，轻杆静止，一质量为m的小铅粒以v0的水平速度射入中间的小球，并留在里面。若铅粒相对小球静止时杆的角位移可以忽略，试求杆在以后摆动中的最大摆角。

O
a
b

例26，一质量为Ma，半径为a的圆筒A被另一质量为Mb、半径为b的圆筒B同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。在圆筒A的内表面上散布了薄薄的一层质量为M0的砂子，并在壁上开有许多小孔。在t=0时，圆筒以角速度ω0绕轴匀速转动，而圆筒B则静止。打开小孔，砂子向外飞出并附着在B筒的内壁上，如图所示。设单位时间内喷出砂子的质量为k，并忽略砂子从A筒飞到B筒的时间，求t时刻两筒旋转的角速度。

B
O
A

例27，光滑水平面上有一小球A被一轻绳拴住，轻绳穿过平面上小孔O与小球B连接。开始时A球在水平面上绕O做匀速圆周运动，B球静止地向下垂挂着，如图所示。今使小球B的质量缓慢增加，直到A球绕O点做匀速圆周运动的半径缩短一半，试问此时B球质量为初始质量的多少倍？

h
vc
ωc

例28，实心圆柱体从高度为h的斜坡上由静止做纯滚动到达水平地面上，且继续做纯滚动，与光滑竖直墙发生完全弹性碰撞后返回，经足够长的时间后重新做纯滚动，并纯滚动地爬上斜坡。设地面与圆柱体间的动摩擦因数为μ,试求圆柱体爬坡所能达到的高度h′。

R
v0
ω0

例28，半径为R的乒乓球绕质心轴的转动惯量为I=2mR2/3，m为乒乓球的质量。乒乓球以一定的初试条件在粗糙的水平面上运动，开始时球的质心速度为v0，球的角速度为ω0，两者的方向如图所示。已知乒乓球与地面间的动摩擦因数为μ，试求乒乓球开始做纯滚动所需的时间及纯滚动时的质心速度。

例29，从地球表面以第一宇宙速度朝着与竖直方向成α角的方向发射一抛射体，忽略空气阻力和地球自转的影响，试问抛射体上升多高？设地球半径为R。

8