(教师版)一轮复习概率、分布列、统计.doc

新津中学高2011级一轮复习
概率、随机变量及其分布、统计

概率(必修3第三章)
1、随机事件及其概率：
⑴ 事件：试验的每一种可能结果，大写英文字母表示；
⑵ 必然事件、不可能事件、随机事件的特点；
⑶ 随机事件的概率：.
2、古典概型：
⑴ 基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；
⑵ 古典概型的特点：① 所有的基本事件只有有限个；② 每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有个，事件包含了其中的个基本事件，则事件发生的概率.
3、几何概型：
⑴ 几何概型的特点：① 所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生。
⑵ 几何概型概率计算公式：
测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。
4、互斥事件：
⑴ 不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；
⑵ 若事件任意两个都是互斥事件，则称事件彼此互斥。
⑶ 若事件彼此互斥，则

⑷ 对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。
① 事件的对立事件记作：

② 对立事件一定是互斥事件，反之未必. “互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.
（5）条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作________，读作A发生的条件下B发生的概率.

古典概型跟踪训练
【例1】一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)，

轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
现按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类10辆.
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本视为一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,
9.6,8.7,9.3,9.0,8.2把这8辆车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
【解析】(1)依题意知，从每层抽取的比率为，从而轿车的总数为50×40＝2 000辆，所以z＝2 000－100－150－300－450－600＝400.
(2)由(1)知C类轿车共1 000辆，又样本容量为5，故抽取的比率为，即5辆轿车中有2辆舒适型、3辆标准型，任取2辆，一共有n＝10种不同取法，记事件A：至少有1辆舒适型轿车，则事件表示抽取到2辆标准型轿车，有m′＝3种不同取法，从而事件A包含：基本事件数为m＝7种，所以P(A)＝.
(3)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.0，记事件B：从样本中任取一数，该数与样本平均数的绝对值不超过0.5，则事件B包含的基本事件有6种，所以P(B)＝＝.
【点拨】利用古典概型求事件的概率时，主要弄清基本事件的总数，及所求事件所含的基本事件的个数.
【变式训练1】已知△ABC的三边是10以内(不包含10)的三个连续的正整数，求任取一个△ABC是锐角三角形的概率.
【解析】依题意不妨设a＝n－1，b＝n，c＝n＋1(n＞1，n∈N)，从而有a＋b＞c，即n＞2，所以△ABC的最小边为2，要使△ABC是锐角三角形，只需△ABC的最大角C是锐角，cos C＝＝＞0，所以n＞4，
所以，要使△ABC是锐角三角形，△ABC的最小边为4.另一方面，从{2,3,4，…，9}中，“任取三个连续正整数”共有6种基本情况，“△ABC是锐角三角形”包含4种情况，故所求的概率为＝.
【例2】 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品.
(1)如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
(2)如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率.
【解析】(1)有放回地抽取3次，按抽取顺序(x，y，z)记录结果，则x，y，z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10＝103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8＝83 种，因此，P(A)＝＝0.512.
(2)方法一：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录(x，y，z)，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8＝720种.设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6＝336， 所以P(B)＝≈0.467.
方法二：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序(x，y，z)记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但(x，y，z)，(x，z，y)，(y，x，z)，(y，z，x)，(z，x，y)，(z，y，x)是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6＝120.按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6＝56，因此P(B)＝≈0.467.
【变式训练2】有5张卡片，上面分别写有0,1,2,3,4中的1个数.求：
(1)从中任取两张卡片，两张卡片上的数字之和等于4的概率；
(2)从中任取两次卡片，每次取一张，第一次取出卡片，记下数字后放回，再取第二次，两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率.

【解析】(1)两张卡片上的数字之和等于4的情形共有4种，任取两张卡片共有10种，所以概率为P＝＝；
(2)两张卡片上的数字之和等于4的情形共有5种，任取两张卡片共有25种，所以概率为P＝＝.
【例3】 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.从甲、乙两袋中各任取2个球.
(1)若n＝3，求取到的4个球全是红球的概率；
(2)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n.
【解析】(1)记“取到的4个球全是红球”为事件A，
P(A)＝·＝×＝.
(2)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，“取到的4个球全是白球”为事件B2.
由题意，得P(B)＝1－＝.
P(B1)＝·＋·＝，
P(B2)＝·＝.
所以P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝，化简得7n2－11n－6＝0，解得n＝2或n＝－(舍去)，故n＝2.
【变式训练3】甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙二人一次各抽取一题.
(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？
【解析】(1)甲从选择题中抽到一题的可能结果有C个，乙从判断题中抽到一题的的可能结果是C，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果为C×C＝24.又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有C×C＝90，
所以概率为＝.
(2)甲、乙二人一次各抽取一题基本事件的总数是10×9＝90.
方法一：(分类计数原理)
①只有甲抽到了选择题的事件数是：6×4＝24；
②只有乙抽到了选择题的事件数是：6×4＝24；
③甲、乙同时抽到选择题的事件数是：6×5＝30.
故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是＝.
方法二：(利用对立事件)
事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙两人都未抽到选择题”是对立事件.
事件“甲、乙两人都未抽到选择题”的基本事件个数是4×3＝12.
故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是1－＝1－＝.
几何概型跟踪训练
1.如图，∠AOB＝60°，OA＝2，OB＝5，在线段OB上任取一点C，试求：
(1)△AOC为钝角三角形的概率；
(2)△AOC为锐角三角形的概率.
【解析】如图，由平面几何知识知：
当AD⊥OB时，OD＝1；当OA⊥AE时，OE＝4，BE＝1.
(1)当且仅当点C在线段OD或BE上时，△AOC为钝角三角形.
记“△AOC为钝角三角形”为事件M，则P(M)＝＝＝0.4，即△AOC为钝角三角形的概率为0.4.
(2)当且仅当点C在线段DE上时，△AOC为锐角三角形.
记“△AOC为锐角三角”为事件N，则P(N)＝＝＝0.6，即△AOC为锐角三角形的概率为0.6.
【点拨】我们把每一个事件理解为从某个特定的区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个事件发生则理解为恰好在上述区域内的某个指定的区域内的点，这样的概率模型就可以用几何概型求解.
2.点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为　　　.
【解析】如图
可设＝1，则根据几何概率可知其整体事件是其周长3，则其概率是.

3.如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是
（　　）
A． B． C． D．
【答案】A

4 ．节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C

5．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则时间“”发生的概率为________

【答案】
6．在区间上随机取一个数,使得成立的概率为______.
【答案】

7.已知正方体ABCD—A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD—A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是(　　)
A. B. C. D.
条件概率跟踪训练
【例1】一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0~9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率.
【解析】设第i次按对密码为事件Ai(i＝1,2)，则A＝A1∪(A2)表示不超过2次就按对密码.
(1)因为事件A1与事件A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)用B表示最后一位是偶数的事件，则
P(A|B)＝P(A1|B)＋P(A2|B)＝＋＝.
【变式训练1】在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过，若至少能答对其中5道题，就获得优秀，已知某考生能答对20道题中的10道题.并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率？
【例2】设某种动物从出生算起活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是　　　.
【解析】设此种动物活到20岁为事件A，活到25岁为事件B，所求概率为P(B|A)， 由于B⊆A，则P(AB)＝P(B)，所以P(B|A)＝＝＝＝.
相互独立事件概率跟踪训练
【例1】三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别为，，，且他们是否破译出密码互不影响.
(1)求恰有二人破译出密码的概率；
(2)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.
【解析】(1)记三人各自破译出密码分别为事件A，B，C，依题意知A，B，C相互独立，记事件D：恰有二人破译密码，
则P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××(1－)＋×(1－)×＋(1－)××＝＝.
(2)记事件E：密码被破译，：密码未被破译，
则P()＝P()＝(1－)×(1－)×(1－)＝＝，
所以P(E)＝1－P()＝，所以P(E)＞P().
故密码被破译的概率大.
【点拨】解决事件的概率问题的一般步骤：①记取事件；②揭示事件的关系；③计算事件的概率.
【变式训练1】甲、乙、丙三个口袋内都分别装有6个只有颜色不相同的球，并且每个口袋内的6个球均有1个红球，2个黑球，3个无色透明的球，现从甲、乙、丙三个口袋中依次随机各摸出1个球，求恰好摸出红球、黑球和无色球各1个的概率.
【解析】由于各个袋中球的情况一样，而且从每一个袋中摸出红球、黑球、无色球的概率均分别为，，，可得P＝A×××＝.
综合问题
【例1】某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：三门课程中至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
(1)分别求该应聘者在方案一和方案二下考试通过的概率；
(2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由.
【解析】记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P(A)＝a，P(B)＝b，P(C)＝c.
(1)应聘者在方案一下考试通过的概率
P1＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＋P(ABC)
＝ab(1－c)＋bc(1－a)＋ac(1－b)＋abc
＝ab＋bc＋ca－2abc.
应聘者在方案二下考试通过的概率
P2＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＝(ab＋bc＋ca).
(2)由a，b，c∈[0,1]，则
P1－P2＝(ab＋bc＋ca)－2abc＝[ab(1－c)＋bc(1－a)＋ca(1－b)]≥0，
故P1≥P2，即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大.
【点拨】本题首先以相互独立事件为背景，考查两种方案的概率，然后比较概率的大小，要求运用a，b，c∈[0,1]这一隐含条件.
【变式训练1】甲，乙，丙三人分别独立地进行某项体能测试，已知甲能通过测试的概率是，甲，乙，丙三人都能通过测试的概率是，甲，乙，丙三人都不能通过测试的概率是，且乙通过的概率比丙大.
(1)求乙，丙两人各自通过测试的概率分别是多少？
(2)测试结束后，最容易出现几人通过的情况？
【解析】(1)设乙、丙两人各自通过的概率分别为x，y，依题意得
即或 (舍去)，
所以乙、丙两人各自通过的概率分别为，.
(2)因为三人都不能通过测试的概率为P0＝，
三人都能通过测试的概率为P3＝＝，
三人中恰有一人通过测试的概率：
P1＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝＝，
三人恰有两人通过测试的概率：
P2＝1－(P0＋P1＋P3)＝，
所以测试结束后，最容易出现两人通过的情况.
随机变量及其分布(选修2-3第二章)

1、基本概念
⑴ 相互独立事件：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.
当是相互独立事件时，那么事件发生（即同时发生）的概率，等于事件分别发生的概率的积.即 .
若A、B两事件相互独立，则A与、与B、与也都是相互独立的.
⑷ 独立重复试验
① 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验.
② 独立重复试验的概率公式
如果在1次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个试验恰好发生次的概率：

⑸ 条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B发生的概率.

2、离散型随机变量
⑴ 随机变量：若随机试验的结果可以用一个变量来表示，则称之为随机变量，常用字母等表示.
⑵ 离散型随机变量：随机变量可能取值，可按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
⑶ 连续型随机变量：随机变量可能取值，可取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.
⑷ 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：二者均是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.
若是随机变量，是常数）则也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）.
3、离散型随机变量的分布列
⑴ 概率分布（分布列）
设离散型随机变量可能取的不同值为，…，，…，，的每一个值（）的概率，则称表

…

…

…

…

为随机变量的概率分布，简称的分布列.
性质：① ②

0
1

⑵ 两点分布
若随机变量的分布列如右表所示，
则称服从两点分布，称为成功概率.
⑶ 二项分布
若在一次试验中某事件发生的概率是，则在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率：

其中，于是得到随机变量的概率分布如下：
X
0
1
…
k
…
n

…

…

我们称这样的随机变量服从二项分布，记作，并称p为成功概率.
判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：
① 对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；
② 重复性：即试验是独立重复地进行了次;
③ 等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.
注：⑴ 二项分布的模型是有放回抽样；
⑵ 二项分布中的参数是
⑷ 超几何分布
一般地, 在含有件次品的件产品中，任取件,其中恰有件次品数,则事件发生的概率为,于是得到随机变量的概率分布如下：

0
1
…

…

.这样的随机变量的分布列称之为超几何分布列,且称服从超几何分布.
注:⑴ 超几何分布的模型是不放回抽样；
⑵ 超几何分布中的参数意义分别是：
总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量.
4、离散型随机变量的均值与方差
⑴ 离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量的分布列为

…

…

…

…

则称为离散型随机变量的均值或(数学)期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
性质：①
②若服从两点分布，则
③若，则
④若X服从参数为N、M、n的超几何分布,
则E(X)=

⑵ 离散型随机变量的方差
若离散型随机变量的分布列为

…

…

…

…

则称为离散型随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，的稳定性越高，波动越小，取值越集中；越大，的稳定性越差，波动越大，取值越分散.
性质：①
②若服从两点分布，则
③若，则
跟踪训练
1、袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4).现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号.
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值.
【解析】(1)ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P

　　所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，
D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(ξ)＋b，
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
所以或
．（2013年高考北京卷（理））下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;
(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;
(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

【答案】解:设表示事件“此人于3月日到达该市”(=1,2,,13).
根据题意, ,且.
(I)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则,
所以.
(II)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且
P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= ,
P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= ,
P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= ,
所以X的分布列为:

故X的期望.
(III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
3．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,求的概率;
(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?
【答案】解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分”的事件为A,则A事件的对立事件为“”,
,
这两人的累计得分的概率为.
(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为,都选择方案乙抽奖中奖的次数为,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为
由已知:,
,
,

他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.
4．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.
(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.

【答案】

5．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果相互独立,第局甲当裁判.
(I)求第局甲当裁判的概率;
(II)表示前局中乙当裁判的次数,求的数学期望.

【答案】

6．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(II)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数,求的分布列和数学期望.

【答案】

7．（2013年高考陕西卷（理））
在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.

【答案】解:(Ⅰ) 设事件A 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手.
观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为.
所以P(A) = .
因此,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为
(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则X可取0,1,2,3.
观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙选中3号歌手的概率为.
当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时X=0,P(X = 0) = .
当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时,这时X=1,P(X = 1) = .
当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时,这时X=2,P(X = 2) = .
当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时,这时X=3,P(X =3) = .
X的分布列如下表:
X
0
1
2
3
P

所以,数学期望
8．（2013年高考湖南卷（理））某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好 “相近”的概率;
(II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.

【答案】解: (Ⅰ) 由图知,三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.
从三角形上顶点按逆时针方向开始,分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点,共8对格点恰好“相近”.
所以,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率

(Ⅱ)三角形共有15个格点.
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4,0),(0,4).

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1).
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0), (0,1,) ,(0,2),(0,3,).
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1).
如下表所示:
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
概率P

.
10．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有个红球与个白球的袋中任意摸出个球,再从装有个蓝球与个白球的袋中任意摸出个球,根据摸出个球中红球与蓝球的个数,设一.二.三等奖如下:
奖级
摸出红.蓝球个数
获奖金额
一等奖
3红1蓝
200元
二等奖
3红0蓝
50元
三等奖
2红1蓝
10元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列与期望.

【答案】

11．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设袋子中装有个红球,个黄球,个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.
(1)当时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量为取出此2球所得分数之和,.求分布列;
(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量为取出此球所得分数.若,求

【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时,此时;当两次摸到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时,此时;当两次摸到的球分别是红黄,黄红时,此时;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时,此时;当两次摸到的球分别是蓝蓝时,此时;所以的分布列是:

2
3
4
5
6
P

(Ⅱ)由已知得到:有三种取值即1,2,3,所以的分布列是:

1
2
3
P

所以:,所以.
12．（2013年高考江西卷（理））小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为.若就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.
(1) 求小波参加学校合唱团的概率;
(2) 求的分布列和数学期望.

【答案】解:(1)从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有种,时,两向量夹角为直角共有8种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为.
(2)两向量数量积的所有可能取值为时,有两种情形;时,有8种情形;时,有10种情形.所以的分布列为:

.
13．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是,假设各局比赛结果相互独立.
(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;
(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分的分布列及数学期望.

【答案】解:(Ⅰ)记“甲队以3:0胜利”为事件,“甲队以3:1胜利”为事件,“甲队以3:2胜利”为事件,由题意,各局比赛结果相互独立,
故,
,

所以,甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率分别是,,;
(Ⅱ)设“乙队以3:2胜利”为事件,由题意,各局比赛结果相互独立,所以

由题意,随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3,,根据事件的互斥性得
,
,
,

故的分布列为

0
1
2
3

所以
14．（2013年高考新课标1（理））一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.
假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.

【答案】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥,
∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=
(Ⅱ)X的可能取值为400,500,800,并且
P(X=400)=1-=,P(X=500)=,P(X=800)==,
∴X的分布列为
X
400
500
800
P

EX=400×+500×+800×=506.25

15．（2013年高考四川卷（理））某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生.
(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率;
(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行次后,统计记录了输出的值为的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.
运行次数
输出的值为的频数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数

甲的频数统计表(部分) 乙的频数统计表(部分)
运行
次数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数

当时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大;
(Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出的值为2的次数的分布列及数学期望.

【答案】解:.变量x是在1,2,3,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.
当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故;
当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故;
当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故
当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:

输出的值
为的频率
输出的值
为的频率
输出的值
为的频率
甲

乙

比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大
(3)随机变量可能饿取值为0,1,2,3.

故的分布列为

所以
即的数学期望为1
统计(必修3第二章)
1、抽样方法：简单随机抽样(总体个数较少)、系统抽样(总体个数较多)、分层抽样（总体中差异明显）
* 在个个体的总体中抽取出个个体组成样本，每个个体被抽到的机会(概率)均为.
2、总体分布的估计：
⑴ 一表二图：①频率分布表—数据详实；②频率分布直方图—分布直观；③频率分布折线图—便于观察总体分布趋势
* 总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵ 茎叶图：
① 适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。
② 个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。
3、总体特征数的估计：
⑴众数：在一组数据中，出现次数最多的数据；在频率分布直方图中，最高的小长方形下端的中点横坐标是众数的估计值。
⑵中位数：将一组数据按大小依次排列，处在中间位置的一个数据或最中间两个数据的平均数；在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等。
⑶平均数：即样本数据的算术平均数，指的是＝；在频率分布直方图中，平均数的估计值＝频率分布直方图中每个小矩形的面积×小矩形底边
中点的横坐标之和。
(4) 方差 & 标准差：一组样本数据
方差：；标准差：
* 方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。
(5) 线性回归方程
① 变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
② 制作散点图，判断线性相关关系
③ 线性回归方程：（最小二乘法）

* 线性回归直线经过定点。
跟踪训练
1 某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽