高考中的数学建模问题.doc

中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉
高考中的数学建模问题
数学研究性课题和应用性问题
【一】 数学应用题的分析和处理
（A）解应用题的基本程序：
解应用题，首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，就是从实际出发，经过去粗取精、抽象概括，利用学过的数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论后返回到实际问题中去验证。思路如下图：

实际问题 转化为数学问题 数学问题

问题解决 数学解答

实际问题结论 回到实际问题 数学问题结论

（B）解应用题的一般程序
（1）读 阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础
（2）建 将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型 熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关
（3）解 求解数学模型，得到数学结论 一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程
（4）答 将数学结论还原给实际问题的结果

( C ) 中学数学中常见应用问题与数学模型
（1）优化问题 实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决
（2）预测问题 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决
（3）最（极）值问题 工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值
（4）等量关系问题 建立“方程模型”解决
（5）测量问题 可设计成“图形模型”利用几何知识解决

典型题例示范讲解

A
B
C
D
I
H
G
F
E
4
3
1
2
3
1
2
3
2
3
2
4
1
1
3
5
题1:
1.某大学的信息中心A与大学各部门、各院系B，C，D，E，F，
G，H，I之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示
（单位：万元）。请观察图形，可以不建部分网线，而使得中心
与各部门、院系彼此都能连通（直接或中转），则最少的建网费
用（万元）是B
A．12
B．13
C．14
D．16

2. 某商场在元旦促销期间规定，商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
消费金额（元）的范围
[200,400）
[400,500)
[500,700)
[700,900]
…
获得奖券的金额（元）
30
60
100
130
…
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110(元).若顾客购买一件标价为1000元的商品，则所能得到的优惠额为B
A．130元 B.330元 C.360元 D.800元

F
.
A
B
3. 我国发射的神舟6号飞船开始运行的轨道是以地球的中心为一个
焦点的椭圆，测得近地点距地面200公里，远地点距地面350
公里，地球的半径为6371公里，则从椭圆轨道上一点看地球的最大
视角为 （ B ）

（A） （B） （C） （D）

4. 一张报纸的厚度为a，面积为b，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别为YCY （ C ）
A． B． C． D．

5. 2006年度某学科能力测试共有12万考生参加，成绩采用15级分，测试成绩分布图如下：
人数百分比
14
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
级分

在6000，10000，14000，18000这四个数据中, 与成绩高于11级分的考生数最接近的是B
A．6000 B．10000 C．14000 D．18000
6.正四面体的四个表面上分别写有数字1,2,3,4.将3个这样均匀的四面体同时投掷于桌面上,与桌面接触的三个面上的数字的乘积能被3整除的概率为 C
A . B. C. D.
7．已知A，B，C是平面上不共线上三点，O为外心，动点P满足,则P的轨迹一定通过的D
A 内心 B 垂心 C 重心 D AB边的中点
8.一组数据中的每一个数据都减去80，得到一组新数据，若这组新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来一组数据的平均数和方差分别是 A
A．81.2，4.4 B．78.8，4.4
C．81.2，84.4 D．78.8，75.6
题2．(06广西重点中学)某家用电器厂根据其产品在市场上的销售情况，决定对原来以每件2000元出售的一种产品进行调价，并按新单价的八折优惠销售。结果每件产品仍可获得实际销售价20%的利润。已知该产品每件的成本是原销售价的60%。
（1）求调价后这种产品的新单价是每件多少元？让利后的实际销售价是每件多少元？
（2）为使今年按新单价让利销售后的利润总额不低于20万元，今年至少应销售这种产品多少件？（每件产品利润=每件产品的实际销售价一每件产品的成本价）

解：（1）设每件产品的新单价为x元…………………………………………1分
由已知：该产品的成本是2000×60%=1200元………………………………2分
由题意：x·80%－1200=20%（80%·x）……………………………………3分
解得：x=1875（元）……………………………………………………………4分
∴80%·x=1500元………………………………………………………………5分
所以，该产品调价后的新单价是每件1875元，让利后实际售价为每件1500元.……6分
（2）设今年至少应生产这种电器m件，则由题意，
得m(1500－1200)≥200000…………………………………………………… 8分
解得：m≥666……………………………………………………………… 9分
∵m∈N，∴m的最小值应为667件…………………………………………11分
答：今年至少售出667件产品，才能使利润总额不低于20万元.……… 12分
题3．(06北京海淀区)如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处。某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号。在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.
（1）设A到P的距离为x km，用x表示B ，C到P的距离，并求x的值；
（2）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）。

（1）依题意，有PA-PB=1.5×8=12(km). PC-PB=1.5×20=30(km)
∴PB=(x-12)(km),
PC=30+(x-12)=(18+x)(km).
在△PAB中，AB=20km

同理，
∵
∴
解之，得
(2)作PD在△ADP中，

答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71km

题4(06山东省潍坊)某地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌,现有三种价格模拟函数.
① f(x)=p· q; ② f(x)=px;
③ f(x)=x(x-q)+p.（以上三式中p、q均为常数，且q＞1）.
(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？
（2）若f(0)=4，f(2)=6，求出所选函数f(x)的解析式（注：函数的定义域是[0，5]，其中x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，…，以此类推）；
（3）为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该果品在哪几个月份内价格下跌.
（1）应选f(x)=x(x-q)+p.
因为①f(x)=p·q是单调函数；
②f(x)=px+qx+1的图象不具有先升再降后升特征；
③f(x)=x(x-q)+p中,f′(x)=3x-4qx+q,
令f′(x)=0，得x=q,x=,f(x)有两个零点.
可以出现两个递增区间和一个递减区间.
(2)由f(0)=4,f(2)=6得

解之得 （其中q=1舍去）.
∴函数f(x)=x(x-3)+4，即f(x)=x（0≤x＜5）
（3）由f(x) ＜0，解得1＜x＜3
∴函数f(x)=x在区间（1，3）上单调递减，
∴这种果品在5月，6月份价格下跌.
题5(06广西钦州)已知有三个居民小区A、B、C构成△ABC，AB＝700、BC ＝800、AC＝300．现计划在与A、B、C三个小区距离相等处建造一个工厂，为不影响小区居民的正常生活和休息，需在厂房的四周安装隔音窗或建造隔音墙．据测算，从厂房发出的噪音是85分贝，而维持居民正常生活和休息时的噪音不得超过50分贝．每安装一道隔音窗噪音降低3分贝，成本3万元，隔音窗不能超过3道；每建造一堵隔音墙噪音降低15分贝，成本10万元；距离厂房平均每25噪音均匀降低1分贝．
（1）求∠C的大小；
（2）求加工厂与小区A的距离．（精确到1）；
（3）为了不影响小区居民的正常生活和休息且花费成本最低，需要安装几道隔音窗，建造几堵隔音墙?
（计算时厂房和小区的大小忽略不计）
解：（1）由余弦定理得cos∠C＝，∠C＝60º； 3分
（2）由题设知，所求距离为△ABC外接圆半径R， 4分
由正弦定理得R＝＝404． 6分
答：加工厂与小区A的距离约为404； 7分
（3）设需要安装x道隔音窗，建造y堵隔音墙，总成本为S万元，由题意得：
即 9分
其中S＝3x＋10y，当x＝2，y＝1时，S最小值为16万元． 11分
答：需安装2道隔音窗，建造1堵隔音墙即可． 12分
题6(06上海徐汇区))人口问题其实是许多国家的政府都要面对的问题。05年10月24日出版的《环球时报》就报道了一篇俄罗斯政府目前遭遇“人口危机”的文章。报道中引用了以下来自俄政府公布的数据：
●截至05年6月底，俄罗斯人口为亿，人口密度每平方公里只有人；
●04年一年俄人口就减少了万，05年1月至5月共又减少了万；
●据俄联邦安全会议预测，到2050年，俄将只有约亿人口，比目前锐减。
试根据以上数据信息回答下列问题：
（1）以04年至05年5月这17个月平均每月人口减少的数据为基础，假设每月人口减少相同，预测到2050年6月底，俄罗斯的人口约为多少亿？（保留三位小数）
（2）按第（1）小题给定的预测方法，到何时俄罗斯的人口密度将低于每平方公里人？
解：（1）由给出的信息可知，17个月里平均每月人口减少万人，
2005年6月底至2050年6月底共经过个月，若每月人口减少数相同，
则到2050年6月底俄罗斯的人口数约为万，即约为亿。
（2）设从05年6月底起，经个月后俄罗斯的人口密度将低于每平方公里人，
于是有，
∴至少要经过个月，即年零个月，也就是到2078年7月底，俄罗斯的人口密度将低于每平方公里人。

题7:某市电信宽带私人用户月收费标准如下表：

方案
类 别
基本费用
超时费用
甲
包月制
70元

乙
有限包月制（限60小时）
50元
0.05元/分钟（无上限）
丙
有限包月制（限30小时）
30元
0.05元/分钟（无上限）

假定每月初可以和电信部门约定上网方案．
(Ⅰ)若某用户每月上网时间为66小时，应选择 ▲ 方案最合算；
(Ⅱ)王先生因工作需要在家上网，所在公司预测其一年内每月的上网时间(小时)与月份的函数关系为．若公司能报销王先生全年上网费用，问公司最少会为此花费多少元？
(Ⅲ)一年后，因公司业务变化，王先生每月的上网时间(小时)与月份的函数关系为．假设王先生退休前一直从事此项业务，公司在花费尽量少的前提下，除为其报销每月的基本费用外，对于所有的超时费用，公司考虑一次性给予补贴元，试确定最合理的的值，并说明理由．

解：(Ⅰ) 乙 ．……………………………………………………………………2分
(Ⅱ)当时，选择丙方案合算；
当时，由，得，此时选择丙方案合算；
当时，选择乙方案合算；
当时，由，得，此时选择乙方案合算；
当时，选择甲方案合算．
综上可得：当，选择丙方案合算；……………………………………3分
当时，选择乙方案合算；……………………………………………4分
当时，选择甲方案合算．……………………………………………5分
∵，∴是首项为，公差为的等差数列，且每月上网时间逐月递增．
令，得．
∴前9个月选择乙方案，最后3个月选择甲方案上网花费最少．……………………7分
此时，一年的上网总费用为

．
答：一年内公司最少会为王先生花费上网费741元．………………………………9分
(Ⅲ)由知，，且是递减数列，
∴选择丙方案合算．………………………………………………………………10分
若上网个月，王先生的超时总费用为
．………………………………………13分
答：公司考虑一次性给予补贴元，最合理的的值为45元．………………14分
题8. (06年天津)一位射击选手以往1000发子弹的射击结果统计如下表：

环数
10
9
8
7
6
5
频数
250
350
200
130
50
20
假设所打环数只取整数，试根据以上统计数据估算：
（I）设该选手一次射击打出的环数为，求，；
（II）他射击5次至多有三次不小于8环的概率；
（III）在一次比赛中，该选手的发挥超出了按上表统计的平均水平。若已知他在10次射击中，每一次的环数都不小于6，且其中有6环、8环各1个，2个7环，试确定该选手在这次比赛中至少打出了多少个10环？
解：(I)的分布列为：

10
9
8
7
6
5
P
0.25
0.35
0.20
0.13
0.05
0.02
3分
5分
（II）
故所求为1-0.4096-0.32768=0.26272 8分
（III）设这次比赛中该选手打出了m个9环，n个10环
则依此次比赛的结果该选手所打出的环数的分布列为：

10
9
8
7
6
P
n/10
m/10
0.1
0.2
0.1
10分
又m+n=6,故在此次比赛中该选手至少打出了4个10环 12分

题9(06宣武区) 飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6km，C在B的北偏东30°，相距4km，P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s。
（I）求A、C两个救援中心的距离；
（II）求在A处发现P的方向角；
（III）若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，说明理由。
解：（I）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则

则
即A、C两个救援中心的距离为………………4分
（II），所以P在BC线段的垂直平分线上
又，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且
∴双曲线方程为
BC的垂直平分线的方程为
联立两方程解得：

∴∠PAB＝120°
所以P点在A点的北偏西30°处………………9分
（III）如图，设

又∵

即A、B收到信号的时间差变小………………13分

【二】研究性、探索性问题
A.探索性问题的综合题的解题思路
当问题给出条件，而结论不确定，若探索结论是否存在时，可以先假设结论存在，而后进行推理，发现矛盾则转化为反证法的证明，反之，则结论存在。

B.研究性课题的问题
（一）新定义型的问题: 认真审题,弄懂题意,构思解题方案;
(二)多选型的填空题：即给出若干个命题或结论，要求选出所有满足题意的命题或结论。
要求要有扎实的基本功和明辨是非的能力。

题10:
1.下列命题：
① 若不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集非空，则必有a≥1;
② 函数y=sinxcosx+cos2x最小正周期是2π
③ 函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)的图象关于直线x=a对称；
④ 若f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
其中错误的命题的序号是_____________（把你认为错误的命题的序号都填上）(1)(2)(3)
2.正方形ABCD的两对角线AC与BD交于O，沿对角线BD折起，使∠AOC=90对于下列结论：①AC⊥BD；②△ADC是正三角形；③AB与CD成60角；④AB与平面BCD成60角，其中正确的结论是_____________________。①2③

3.某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线匀速返回。设t为出发后的某一时刻，S为汽艇与码头在时刻t的距离，下列图象中能大致表示S＝f(x)的函数关系的为C

4.对于各数互不相等的正数数组（是不小于的正整数），如果在时有，则称与 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”。例如，数组中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，2”，其“逆序数”等于4。若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是 。

5.平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量，
n维向量可用（x1，x2，x3，x4，…,xn）表示.设a=(a1, a2, a3, a4，…, an)，b=（b1, b2, b3, b4,…,bn），规定向量a与b夹角θ的余弦为. D
当a=(1, 1,1,1…,1)，b=(－1, －1, 1, 1,…,1)时，cosθ= （ ）
A． B． C． D．

6.定义运算符号：“”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n记
作，，其中ai为数列中的第i项.
①若，则T4= ；
②若 .
105；

7．定义一种运算“*”，对于，满足以下运算性质：
① ；② 。则的数值为__________。
3004
8．上海市人口和计划生育委员会发布的人口出生预测数据为

年份 2003年 2004年 2005年 2006年

常住人口出生数 万 万 万 万

根据表中信息，按近4年的平均增长率的速度增长，从________年开始，常住人口出生数超过2003年出生数的2倍。
2010 A
B
C
D
A1
B1
C1
D1

9．已知命题：平面上一矩形的对角线与边和
所成角分别为，则。若把它推广到空
间长方体中，试写出相应的命题形式：____________________
_____________________________________________________。

长方体中，对角线与棱所成的角分别为，则，。或是：长方体中，对角线与平面
所成的角分别为，则，。或是：长方体中，对角面与平面所成的二面角分别为，则。
10、我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻。05年8月，在上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部对于杜威的转会费协商过程纷纷“爆料”：
媒体A：“……, 凯尔特人俱乐部出价已从80万英镑提高到了120万欧元。”
媒体B：“……, 凯尔特人俱乐部出价从120万欧元提高到了100万美元，同
时增加了不少附加条件。”
媒体C：“……, 凯尔特人俱乐部出价从130万美元提高到了120万欧元。”
请根据表中提供的汇率信息（由于短时间内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为定值），我们可以发现只有媒体 （填入媒体的字母编号）的报道真实性强一些。

11、如图，已知和都是正方形，且，，
若将图中已作出的线段的两个端点分别作为向量的始点和终点所形成的不相等的向量的全体
构成集合M，则从集合M中任取两个向量恰为平行向量的概率是 （用分数表示结果）。
自然数列按如图规律排列，若数在第行第个数，则 。

12下表给出一个“直角三角形数阵”
满足每一列成等差数列，从第三行起每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第行，第j列的数为，则第3列的公差等于_____________，等于_____________。，

13类似于十进制中逢10进1,十二进制的进位原则是逢12进1,采用数字0,1,2…,9和字母M、N共12个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：
十二进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
M
N
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
例如，由于，所以，十进制中563在十二进制中就被表示为3MN。那么，十进制中的2008在十二进制被表示为D
A.1N24 B.1N15 C.12N4 D.11N4

题11.已知数列有，（常数），对任意的正整数，，并有满足。
（1）求的值；
（2）试确定数列是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；
（3）对于数列，假如存在一个常数使得对任意的正整数都有，且，则称为数列的“上渐近值”，令，求数列的“上渐近值”。
解：（1），即
（2）

∴是一个以为首项，为公差的等差数列。
（3）
，

又∵，∴数列的“上渐近值”为。

n=n+1
n=0
P=n*n/4+24*n
Tn-P=2005？
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结束
No
Yes
题12.数列{an}的前n项和为Sn，已知。
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn；
(3) 张三同学利用第(2)题中的Tn设计了一个程序如图，但李四同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”(即程序会永远循环下去，而无法结束)。你是否同意李四同学的观点？请说明理由。

题13.下面的一组图形为某一四棱锥S—ABCD的侧面与底面。

（I）请画出四棱锥S—ABCD的示意图，是否存在一条侧棱SA垂直于底面ABCD？如果存在，请给出证明；
（II）若E为AB中点，求证：平面SEC⊥平面SCD；
（III）求二面角B—SC—D的大小。
解法一：（I）存在一条侧棱SA⊥面ABCD，如图所示。

∵在△SAB中，SA⊥AB，在△SAD中，SA⊥AD
又∵，∴SA⊥面ABCD………………4分
（II）取SD中点F，SC的中点G，连结AF、FG、EG
∵SA⊥面ABCD，∴SA⊥CD
又∵CD⊥AD且SA∩AD＝A
∴CD⊥面SAD
∴CD⊥AF
∵Rt△SAD中，SA＝AD，∴AF⊥SD
又∵CD∩SD＝D，∴AF⊥面SCD

∴四边形AEGF为平行四边形
∴EG∥AF
∴EG⊥面SCD
又∵面SEC，∴平面SEC⊥平面SCD………………9分
（III）过D作DH⊥SC于H，连结HB、BD
∵△SBH≌△SDH
∴∠BHS＝∠DHS＝90°
∴BH⊥SC
∴∠BHD为二面角B—SC—D的平面角
Rt△SDC中，
△BHD中，

∴∠BHD＝120°
∴二面角B—SC—D的大小为120°………………14分
解法二：（I）同解法一………………4分
（II）以A为坐标原点建立空间直角坐标系A—xyz。取SC中点G，连结EG，SE，EC，则A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），S（0，0，a），

又⊥面SDC
∵面SEC
∴平面SEC⊥平面SDC………………9分
（III）由（II）得平面SDC的一个法向量为，设平面SBC的法向量为

由可得：

且，设
则
，结合图形知
二面角B—SC—D的大小为120°………………14分

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