常微分方程课程教学的几点思考.pdf

139 常微分方程作为本科数学应用相关专业的几大核心专业课程之一，其教学效果的好坏会影响其所在专业的本科培养目标的实现，因此该课程的教学一直倍受所开设课程学院的重视。课程的教学效果虽然会受到很多因素的影响，但是教师本人的知识结构以及其对课程知识结构的认知将在很大程度上决定着该教师在课堂的教学方法的选取、知识点的解剖详尽程度、课堂师生互动的设计乃至对课前预习、课堂教学深浅难易的把握和课后的知识延伸安排等，对教学的核心环节具有决定性的影响1。因此，除了更新适应时代教改需要的教学理念，采用符合实际需求的教学媒介以外，如何处理好以下三个方面问题对课程教学具有重要意义。首先，如何理解常微分方程课程的知识结构的构建以及其内在逻辑对该课程的教学整体把握和对整个课程的重难点以及各个章节重难点的确定与如何突破它们都具有重要的意义。其次，基于学科的教学目标，如何处理好课程内容的安排，构建知识板块，形成分块教学，对学生形成系统性学习具有一定的指导意义。最后，如何挖掘课程内容所蕴含的数学思想和技巧方法，并通过合理的手段传达给学生，甚至展示学科前沿，这些都是课程教学对授课教师提出的合理的要求。一、课程知识的内在逻辑从哲学的角度来讲，人类社会是各种关系的总和。在所有关系当中，确定的关系是最容易能被人们所认识的，尤其在某种特定的情况下，我们需要知道某种量化的确定关系，它在数学上就是所说的函收稿日期：2022-09-21基金项目：遵义师范学院 2021 年教改培育项目(JGPY2021024)作者简介：汤小燕，女，贵州遵义人，遵义师范学院数学学院讲师，硕士，主要从事微分方程及其最优控制研究。常微分方程课程教学的几点思考汤小燕，王常春，罗东升*（遵义师范学院 数学学院，贵州 遵义 563006）摘要：作者根据常微分方程课程的内容结构分析了其内在的逻辑，并基于该逻辑说明了如何合理安排课程教学，最后结合该课程的课程目标，从挖掘数学思想和数学方法技巧的角度对这门课程的教学提出了相应的建议。关键词：常微分方程；课程逻辑；内容安排中图分类号：O175.4；G642文献标识码：A文章编号：1009-3583（2023）-0139-04Several Thoughts on the Teaching of Ordinary DifferentialEquationTANG Xiao-yan,WANG Chang-chun,LUO Dong-sheng*(School of mathematics,Zuny Normal University,Zunyi 563006,China)According to the content structure of ordinary differential equation course,the author analyzes its internal logic,and explainshow to arrange the course teaching reasonably based on this logic.Finally,combining the course objectives of this course,the authorputs forward corresponding suggestions for the teaching of this course from the perspective of mining mathematical ideas and mathe-matical methods and skills.differential equation;curriculum logic;content arrangement第 25 卷第 3 期2023 年 6 月遵义师范学院学报Journal of Zunyi Normal UniversityVol.25,No.3Jun.2023 140 第 25 卷第 3 期遵义师范学院学报2023 年 6 月数，这种关系是所有关系中最为简单和基本的。世界是不断变化的，这就要求人们采用一个合理的方法来刻画世界变化过程中的关系。刻画变化关系的手段很多，但对于量化关系的变化，最有效的手段就是变化率，因为它除了能刻画变化外，还具有针对自变量的时效性，即能比较好地刻画动态过程中因变量随自变量的变化而变化的动态过程。对于考虑只受一个影响因素确定的量化关系的变化状况时，在数学上就是研究单变量函数的变化，通常情况下，我们利用导数来研究它。对于一元函数而言，其可导性与可微性是一致的，因此一元微分方程广泛地被用来刻画各种单因素影响的动态过程，这就决定了常微分方程在实际生产和生活中的诸多应用，比如在物理的电路、生物的种群、化学反应的动力学和医学上的传染病等，都可以借助于常微分方程（组）模型来刻画。这些便引发了广大研究人员对常微分方程理论的广泛关注和深入研究，伴随着微积分的发展，后续在柯西、斯图姆、刘维尔、黎曼、庞加莱和李雅普诺夫等诸多大数学家的共同努力下，到二十世纪三十年代末四十年代初，常微分方程已经基本形成了一个比较完整的理论体系2。人们在生产和生活中不断探求常微分方程理论发展的内在需求逻辑。常微分方程的数学模型被广泛地应用于实践，因此，生产生活的需要是常微分方程作为数学应用相关专业的课程开设的需求逻辑。其次，在课程内容的安排上遵循着从简单到复杂的逻辑。所谓从简单到复杂，在方程的个数方面，就是先单一方程后方程组；从微分方程阶数的角度，就是从一阶方程到高阶方程；从方程（组）结构的线性来讲，就是先线性后半线性、拟线性直至最后完全非线性，即使是线性方程（组），也是先齐次后非齐次。对于线性方程（组）的求解问题也主要针对常系数方程（组），对于变系数的情形，只针对方程（组）的通解的结构及其性质做相关的介绍，并没有给出具体方程（组）解的求法。这种内容从简单到复杂的安排既有利于学生学习的渐进性，也有利于教师在教学中安排探索解决问题方法时确保从易到难不断深入。有效利用教材课程内容的复杂性，合理安排教学内容的详略以及教学内容的深浅，甚至基于教学内容的难易与复杂程度可以设计一定的开放性的研究性学习问题，让学生在自主学习的过程中，有意识地接触到一些学科前沿，激发学生的学习和研究兴趣以提高学生的学习能力，有助于培养学生学习的品质。最后，课程知识的编排还遵循从实践中来到实践中去的逻辑3。众所周知，任何自然科学理论的形成都是基于人类在自然的改造实践中对其认识，然后上升到理论层面，进而利用所形成的理论反过来指导生产实践。因此，本课程中很多类型常微分方程的引入都会先介绍其产生的实际背景以及其对应的数学模型。这就要求在教学的过程中，我们要关注常微分方程数学模型的应用，尤其鼓励学生针对社会需求，尝试利用常微分方程建立所需解决问题的数学模型，并基于数学模型给出相应问题的科学解读或者相应问题的科学有效解决方案，真正达到学以致用，培养学生利用所学知识动手解决实际问题的能力。二、课程教学的合理安排理解课程知识的内在逻辑，是全面系统地把握学科特色和精准确定教学内容重难点的前提；而如何合理安排教学则是教学工作得以有效开展的基础。教学安排主要包括以下几个方面的内容：确定教学目标、课程安排、教学方法的选择、教学效果的评估与反馈、课程资源的选择和教学活动的设计4。一门课程的教学目标的确定只有与其具体的人才培养目标和专业培养目标相结合，课程的教学才有落脚点，才能做到有的放矢。一旦教学目标确定后，课程安排就显得尤为重要，它是课程目标得以实现的前提。课程安排主要是指确定课程教学的内容、授课的顺序以及课程授课所需时间5。教学内容的安排上，一方面要注重课程的系统性，因为没有课程的系统性，就无法体现学科的特色和其知识体系的完整性；另一方面，要防止为了刻意体现学科的系统性而陷入不必要的知识体系的庞杂与晦涩难懂，尽力做到安排的内容系统而简明，难易适中。就常微分方程这门课程而言，在内容上我们除了系统地介绍线性系统的常微分方程理论外，还要介绍非线性系统常微分方程的相关理论，因为就常微分系统而言，非线性模型往往更能反映运动的本质6，而且非线性系统的相关理论才是问题和困难所在，也是 141 目前研究的前沿和未来研究的目标所在。如果不介绍非线性系统，学生就无法知道非线性常微分方程的处理方法，以及非线性常微分方程研究的内容。但是对师范类本科生而言，教学内容的安排又不能无休止地陷入非线性系统的分支问题、奇异吸引子和混沌等现象中，只能简明扼要地介绍非线性系统常微分方程的稳定性和其定性理论。安排好教学内容之后，教学方法的选取关系到课程教学的成败。确定适合课程的教学方法，并确保课堂活动的有效性是常微分方程课程教学方法选择的原则7。基于常微分方程的诸多实际应用背景，常微分方程课程的教学方法要体现理论教学与数学建模实践相结合，这就要求除了安排必要的课堂理论教学外还要适当安排一些数学建模实践活动以激发学生的学习兴趣和培养学生在建模过程中使用软件解决实际问题的动手能力。教学效果的评估与反馈是课程教学重要环节之一，设计适当的评估方法，并为学生的学习效果提供及时有效的反馈，可以及时改进教学方法。其次，选择恰当的教学资源有助于教学活动的开展，也有助于教学方法的多样化，丰富课堂教学和完善教学体系。教学资源主要包括教材、PPT、视频教学、习题库、测试试卷、课后教学效果检测和分析系统。同样，符合教学实际的教学活动设计对有效实现课程教学目标具有促进作用，有针对性的合理设计的小组讨论、角色扮演、演示等可以增强学生的参与度和学习能力。最后，教学时间的合理安排也是教学安排的重要环节之一，恰当的教学时间分配不但能使教学任务得到有效完成，而且还能有效促进学生的学习效率。教学时间的安排应注意不同的课堂活动的时间安排应该与其内容和其采用的形式相适应，以确保学生在规定时间内能较好完成学习任务；教学时间的安排尤其要注意时间的分配能很好地体现课程教学中教师的主导地位和学生的主体作用8。总之，教学安排是教学得以有计划地实施的前提，合理有效的教学安排必须服务于教学活动的开展和教学目标的实现。三、挖掘课程的数学思想和方法技巧在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，存在大量满足常微分方程关系的数学模型9，这些常微分方程数学模型被广泛地应用于物理、工程、生物和经济等诸多领域10，因此，常微分方程是一门实用性很强的课程。对于数学与应用数学本科专业的学生而言，常微分方程是其所学的专业核心课程之一。如何通过常微分方程的教学让学生体会常微分方程中所蕴含丰富的数学思想，并充分吸收在解决常微分方程中所用到的相关数学方法技巧，对培养数学与应用数学专业的本科生而言具有重要的意义，有利于拓宽学生的思维方式，有效培养学生观察和分析问题的能力，也有利于培养学生科学合理运用所学方法解决实际生产生活问题的能力。在常微分方程课程的教学过程中充分挖掘学科的数学思想和合理引导学生探求并总结求解常微分方程的技巧与方法成了常微分课程教学核心内容之一。数学建模思想是常微分方程中的核心数学思想之一。数学建模就是针对一种实际问题，通过分析该现象中量变的规律和特点，将其抽象成为一些数学的表达形式，以便利用数学方法来解决实际问题的方法，数学建模是实现数学应用的根本手段之一11。数学建模思想的培育能有效培养学生透过现象看本质的洞察力，数学建模的分析过程能有效训练学生综合分析问题并将其抽象化的能力，数学建模的实际应用可以有效培养学生分析问题、探究问题、解决问题和动手的能力，有利于全面提升学生的综合素质，因此数学建模思想是常微分方程课程教学不可忽视的。其次，常微分方程的求解过程中随处都体现着分类的数学思想，比如在求解常微分方程时根据其系统将其分为线性和非线性系统，即便是针对线性系统，也将其分类为常系数线性系统和变系数线性系统，以及线性齐次系统和线性非齐次系统。这种分类思想能帮助学生从整体宏观把握知识体系，同时将知识体系模块化，有利于体现知识的多样性。类比思想也是常微分方程中一种常用的重要数学思想，诸如将线性方程组解的结构与高阶线性常微分方程解的结构进行类比。类比思想有助于找出不同问题中的共性，抓住问题的本质，可以深化对问题的认知，有助于学生的学习。在某种意义上来讲，数学思想是数学课程的灵魂所在，因此如何有效帮助学生领会课程中的数学思想有利于激发学生对课汤小燕等 常微分方程课程教学的几点思考 142 第 25 卷第 3 期遵义师范学院学报2023 年 6 月程的兴趣，提高学生对学科知识的体系及其深度的认知，提升学生运用知识的能力。常微分方程教学的数学方法和技巧同样值得教师关注。尤其是引导学生在适当的情况下借鉴常微分方程所使用的数学方法和技巧，甚至将其发展延伸，除了将其应用于本课程之外，还可以将其应用于其他学科类似的问题之中，不仅做到掌握数学方法和技巧，而且做到活学活用，真正将所学到的数学方法与技巧融到自己知识体系之中。换元法、常数变易法和微分方程特征值法是常微分方程中常用的三种方法。换元的本质就是变换，在数学中，有效的变换可以将复杂的问题简单化，让学生体验到数学变换在一些关键问题的解决过程中所带来的方便，并鼓励学生去探究一些非常见的变换，体验非常规变换所带来的解决问题的效果，培养其创新精神。这些在教材习题部分都有所体现，如何在课程教学中充分挖掘这些潜在的东西，帮助学生形成自己的知识或者经验，是课程教学中作业布置环节教师所应该注意的地方。常数变易法是处理线性系统非齐次常微分方程（组）的有效手段，常数变易法本身就体现了一个深刻分析、大胆猜想和小心求证的过程，充分体现了分析的深入性以及探究思维的创新性和求证的缜密与严谨性。课程教学中详尽演绎常数变易方法的形成过程与使用的效果，能够让学生从内心体验数学思维的奇妙和数学方法技巧的强大功能性，激发学生的好奇心和探索精神。特征值法将常微分方程问题转化成了代数方程问题，其本质上是一种转换；如何将未知领域的问题转化为熟知领域的问题是重要的方法技巧之一。因此，常微分方程的教学，特征值法的深入解读成了一个绕不开的话题，除了介绍常微分方程特征值法外，特征值法在其他学科和不同数学问题中的应用也是可以顺带科普的，以激发学生的探究欲望，促进学生对特征值的理解并强化训练他们对特征值法的应用。合理挖掘课程的数学思想，充分解读课程的数学方法和技巧是常微分方程课程教学的重要环节之一。总之，常微分方程作为数学与数学应用专业本科生的一门核心专业课程，正确而深刻地理解课程内容各个部分之间的内在逻辑，有助于对课程内容的深入理解和课程教学的把控。只有基于深度理解课程内容的内在逻辑关系，才能有效合理地安排课程教学内容，真正做到难易适中，详略得当，让课程教学始终围绕着课程的教学目标来展开。在常微分方程课程教学过程中只有适度有效地挖掘课程的数学思想和解决问题的数学方法和技巧，才能有效达成课程的教学目标。也只有在合理处理好这几者之间的关系的前提下，才能科学有效地开展常微分方程的教学工作，才能真正围绕专业人才培养目标，真正实现课程教学目标。参考文献：1张伟年.本科数学专业常微分方程教学改革与实践J.高等理科教育,2003(1):3-5.2阿拉坦仓,吴德玉.浅谈常微分方程教学中的若干问题J.高等理科教育,2012(5):1-3.3甘怡清,胡良根.以科研创新为导向的常微分方程教学设计J.大学数学,2018,34(5):4-7.4闫永芳.新课改背景下数学专业常微分方程教学模式构建探析J.延边教育学院学报,2022,36(1):3-6.5李晨松.基于师范专业认证的常微分方程教学模式改革探究J.内蒙古民族大学学报（自然科学版）,2021,36(2):4-6.6张倩，胡红娟，李慧珍.基于数学建模的常微分方程教学方法研究J.信息系统工程,2021(5):156-157.7周潜,欧宜贵.应用问题驱动下的常微分方程教学探索J.高等数学研究,2021,24(4):5-7.8胡屹,陈治友,罗东升.浅析知识建构过程中的变量变换J.遵义师范学院学报,2022,24(6):4-8.9胡作玄.近代数学史M.济南：山东教育出版社,2006.10王高雄.常微分方程M.北京：高等教育出版社,1983.11MartinBraun.DifferentialEquationsandTheirApplicationsM.New York:Springer-Verlag,1993.（责任编辑：罗东升）