大学数学主轴问题.pptx

主轴问题 定理9.4.1：设是实数域上的二次型，那么总可以通过正交变换化为 ，这里 是正交矩阵，而 是二次型矩阵的全部特征根。定理9.4.2：设实二次型 是它的矩阵。（1）二次型 的秩等于的不等于零的特征根的个数，而符号差等于 的正、负特征根的差。（2）二次型 正定的所有特征根都是正数。例、将下列实二次型化到主轴上去：课堂练习：将下列实二次型化到主轴上去:补充作业：将下列实二次型化到主轴上去：第九章 小结一、二次型和对称矩阵 1、二次型的3种表达形式，会判断所给式子是否为二次型。2、矩阵合同的定义及性质。3、二次型等价的定义及充要条件。4、会求一可逆矩阵 ，使得是对角矩阵。5、会将一个二次型通过非奇异线性变换化为标准型。二、复二次型和实二次型 1、复数域上对称矩阵合同的充要条件和复二次型等价的充要条件（定理9.2.1）。2、实二次型都与规范形等价（定理9.2.3）且规范形唯一（定 理9.2.4）。3、会求一实二次型的正、负 惯性指数和符号差。实二次型 等价的充要条件（定理9.2.5）。三、正定二次型 1、正定二次型的定义以及两个判定定理（定理9.3.19.3.2）。2、会判断所给二次型是否正定。四、主轴问题 1、明确什么是主轴问题。2、定理9.4.19.4.2。3、会把实二次型化到主轴上去。容易混淆的3种计算题型：1、为可对角化矩阵，求过渡矩阵 ，使得 是对角矩阵。2、为实对称矩阵，求正交矩阵 ，使得 是对角矩阵。（将一个实二次型化到主轴上去）。3、为实对称矩阵，求可逆矩阵 ，使得 是对角矩阵。（将一个实二 次型通过非奇异线性变换将它 化为标 准形或规范形）。