不同重合度下系统参数对人字齿传动非线性动态特性的影响.pdf

2024年 第48卷 第1期Journal of Mechanical Transmission不同重合度下系统参数对人字齿传动非线性动态特性的影响王 冀1 李志宾2 王三民2 王春玲1（1 中国船舶集团有限公司第七三研究所，黑龙江 哈尔滨 150078）（2 西北工业大学 机电学院，陕西 西安 710072）摘要 重合度是反映齿轮副同时参与啮合轮齿对数多少的重要参数。合理选择适当的重合度可以改善传动承载能力并保证传动平稳性，从而提高齿轮传动系统的性能和可靠性。而分析不同重合度下系统参数对系统振动特性的影响，对优化传动系统性能、提高工作效率和降低故障风险具有重要意义。本文将轮齿啮合性能和动态特性相结合，首先，确定人字齿轮系统刚度激励和啮合冲击激励，采用集中参数法建立复杂激励源下的人字齿轮副弯-扭-轴耦合非线性动力学模型；然后，对非线性动力学方程进行消除刚体位移和无量纲化处理；最后，研究了不同重合度下系统参数对系统动态特性的影响。研究表明，当重合度由2.72变为3.08时，齿轮副综合相对振动加速度均方根值均降低达40%左右。可见，增大齿轮副重合度能提高系统的稳定性。此外，随着系统参数变化，增大齿轮重合度能消除系统存在的跳跃现象，并降低跳跃和共振峰的幅值。关键词 重合度 系统参数 人字齿轮 非线性 动态特性Influence of System Parameters on Nonlinear Dynamic Characteristics of the Herringbone Gear Transmission Under Different Coincidence DegreesWang Ji1 Li Zhibin2 Wang Sanmin2 Wang Chunling1(1 No.703 Research Institute of China State Shipbuilding Corporation Limited,Harbin 150078,China)(2 School of Mechanical Engineering,Northwestern Polytechnical University,Xian 710072,China)Abstract The coincidence degree is an important parameter to reflect the number of meshing teeth of gear pairs at the same time.The appropriate coincidence degree of reasonable selection can improve transmission bearing capacity and ensure transmission stability,thereby improving the performance and reliability of the gear transmission system.The analysis of the influence of system parameters on system vibration characteristics under different coincidence degrees is of great significance for optimizing the transmission system performance,improving work efficiency and reducing fault risk.Combining meshing performance and dynamic characteristics of gear teeth,firstly,stiffness excitation and meshing impact excitation of the herringbone gear system are determined,and the lumped parameter method is used to establish the nonlinear dynamic model of the bending-torsion-shaft coupling of herringbone gear pairs under complex excitation source.Then,the nonlinear dynamic equations are subject to elimination of rigid body displacement and dimensionless treatment.Finally,the influence of system parameters on system dynamic characteristics under different coincidence degrees is studied.The research shows that when the coincidence degree changes from 2.72 to 3.08,the root mean square(RMS)value of comprehensive relative vibration acceleration of the gear pair is reduced by about 40%,which shows that increasing the coincidence degree can improve the stability of the gear system.In addition,with the change of system parameters,increasing coincidence degree can eliminate the jump phenomenon in the system and reduce the amplitude of jump and resonance peak.Key words Coincidence degree System parameter Herringbone gear Nonlinear Dynamic characteristic文章编号：1004-2539（2024）01-0001-07DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2024.01.0011第48卷0 引言人字齿轮传动系统具有高传动效率、大转矩传递能力、紧凑坚固的结构以及平稳的运行性能等优势，使其在航空、船舶等动力传动系统中得到广泛使用。当传动系统存在过大或不平衡的振动时，设备会产生额外的动力损失、噪声和振动。这可能会降低设备的动力性能，并在长期使用中导致磨损、疲劳和故障。而合理地选择齿轮重合度，能保证轮齿正确啮合，降低齿轮传动能量损失，减少齿面磨损，减缓齿轮疲劳损坏，从而提高系统传动平稳性。因此，确保传动系统的振动特性处于可接受范围内是维护设备动力性能和延长其使用寿命的重要因素。国内外学者结合振动理论与齿轮动力学对齿轮系统的振动特性进行了大量研究1-4。王荣先等5提出了一种齿轮传动重合度检测系统，用于检测不同形式齿轮传动的重合度，以确保传动的连续性和稳定性。孙月海等6推导了S型齿廓曲线齿轮的重合度计算公式，旨在研究齿数、模数等参数变化对啮合性能的影响，发现此种齿轮在重合度方面相较于具有相同参数的其他齿轮具有显著优势。唐进元等7提出了一种定量计算齿轮重合度与传递载荷之间关系的方法，发现齿轮的啮合刚度和重合度与轮齿载荷之间存在映射关系。张祖芳等8建立了直齿轮副非线性动力学模型，通过重合度影响齿轮啮合刚度变化，来研究重合度对齿轮非线性动力学特性的影响。李英明等9研究了齿轮变位系数对齿轮齿根滑动系统和重合度的影响，发现齿轮变位对重合度影响较小，但能提高齿轮承载能力。黄康等10研究了齿轮重合度对啮合效率的影响，结果表明，所提出的考虑重合度的齿轮啮合效率公式是合理的，并能够以数字形式量化重合度的重要性。赵宁等11对人字齿轮进行高重合度设计，基于轮齿承载接触分析技术确定系统内部激励，并建立修形齿轮副非线性动力学模型，来优化其系统动态性能。综上所述，重合度是齿轮传动啮合性能的实用参数，是影响齿轮传动连续性和传递载荷能力的重要因素。然而，很少将轮齿的啮合性能和动态特性相结合，基于轮齿接触分析技术，研究不同重合度下系统参数对齿轮非线性动态特性的影响。因此，本文利用集中参数法建立含齿侧间隙的多源激励人字齿传动系统弯-扭-轴耦合非线性动力学模型并进行数值法求解。然后，结合具有对比性的两种齿轮基本参数，分析了在不同重合度下系统主要参数对人字齿轮传动系统非线性动态特性的影响。1 建立人字齿轮传动非线性动力学方程建立非线性动力学模型，有助于较准确地进行性能预测和分析，有助于优化设计和参数选择，并可用于故障诊断以及预测寿命和可靠性。同时，可以通过重合度优化系统运行特性，从而实现更高效、可靠和持久的轮齿传动。1.1系统内部激励1.1.1刚度激励在齿轮系统中，啮合刚度激励指的是由于运行过程中啮合点位置、载荷或其他因素的变化而导致的齿轮传动系统刚度的变化。建立齿轮动力学模型时，考虑时变啮合刚度激励，可以提供有关动态响应、传递特性、疲劳寿命和故障诊断等方面的关键信息，有助于优化系统的健康状态。本文采用文献12提出的轮齿接触分析技术，确定人字齿轮副的时变啮合刚度。先建立轮齿几何接触分析模型，确定几何传动误差，然后根据轮齿承载接触分析技术确定轮齿承载传动误差。将承载传动误差与几何传动误差相减，得到轮齿受载变形。根据刚度定义可确定齿轮副啮合刚度，具体求解过程见文献13。1.1.2冲击激励在齿轮系统中，冲击激励指的是由载荷突变或传动误差等引起的瞬时力或瞬时转矩的作用。这些瞬时力或转矩会导致齿轮接触区域的应力集中和突然变化，进而产生振动、噪声以及其他不利影响14。在轮齿啮入过程中，由于啮合硬点、传动误差等因素，啮合接触区域会受到冲击力或转矩的作用，产生啮入冲击激励。这种冲击激励对齿面接触压力产生瞬时变化，引起应力集中和局部载荷高峰。因此，本文仅考虑啮入冲击激励，忽略啮出冲击。本文基于轮齿接触分析技术，采用文献15建立的重合度啮合冲击模型计算啮合冲击力。1.1.3误差激励受加工制造水平的限制，轮齿会产生齿形偏差和齿距偏差，导致齿轮偏离理论运动轨迹。本文将制造传递误差和具有随机性的设计误差称为静态传动误差。为了计算方便又不失准确性，用简谐函数代表静态传动误差16，其表达式为e(t)=em+ersin(wnt+n)（1）式中，em和er分别为齿轮副综合误差平均值与幅值，通常em=0，er=f2a+f2b，其中，fa为基节误差，fb为齿形误差，两者通过齿轮精度等级确定；wn为啮合频率；n为误差初始相位角，通常n=0。2第1期王 冀，等：不同重合度下系统参数对人字齿传动非线性动态特性的影响1.2建立弯-扭-轴耦合非线性动力学模型综合考虑刚度、啮合冲击和误差激励的影响，利用集中质量法，建立含齿侧间隙的人字齿轮弯-扭-轴耦合非线性振动模型，如图1所示。忽略齿面摩擦效应，系统动力学模型存在16个自由度，则系统的广义位移列阵q为q=x1L，y1L，z1L，1Lx1R，y1R，z1R，1R主动轮 x2L，y2L，z2L，2Lx2R，y2R，z2R，2R从动轮T（2）式中，xi、yi、zi、i（i=1L，1R，2L，2R）分别为主、从动人字齿轮质量中心点在x向、y向、z向的平移位移和转角位移。根据牛顿力学定律，得系统动力学方程为 m1Lx1L+c1Lxx1L+k1Lxx1L+cb1(x1L-x1R)+kb1(x1L-x1R)+c12Lf(12L，b12L)+k12Lf(12L，b12L)+fs1(t)cos 1Lsin12L=0m1Ly1L+c1Lyy1L+k1Lyy1L+cb1(y1L-y1R)+kb1(y1L-y1R)+c12Lf(12L，b12L)+k12Lf(12L，b12L)+fs1(t)cos 1Lcos12L=0m1Lz1L+c1Lzz1Lz+k1Lzz1Lz+c1z(z1L-z1R)+k1z(z1L-z1R)+c12Lf(12L，b12L)+k12Lf(12L，b12L)+fs1(t)sin1L=0I1L1L+ct1(1L-1R)+kt1(1L-1R)+c12Lf(12L，b12L)+k12Lf(12L，b12L)+fs1(t)rb1Lcos1L=Td/2（3）m1Rx1R+c1Rxx1R+k1Rxx1R+cb1(x1R-x1L)+kb1(x1R-x1L)+c12Rf(12R，b12R)+k12Rf(12R，b12R)+fs2(t)cos 1Rsin12R=0m1Ry1R+c1Ryy1R+k1Ryy1R+cb1(y1R-y1L)+kb1(y1R-y1L)+c12Rf(12R，b12R)+k12Rf(12R，b12R)+fs2(t)cos 1Rcos12R=0m1Rz1R+c1Rzz1Rz+k1Rzz1Rz+c1z(z1R-z1L)+k1z(z1R-z1L)+c12Rf(12R，b12R)+k12Rf(12R，b12R)+fs2(t)sin 1R=0I1R1R+ct1(1R-1L)+kt1(1R-1L)+c12Rf(12R，b12R)+k12Rf(12R，b12R)+fs2(t)rb1Rcos1R=Td/2（4）m2Lx1L+c2Lxx2L+k2Lxx2L+cb2(x2L-x2R)+kb2(x2L-x2R)-c12Lf(12L，b12L)+k12Lf(12L，b12L)+fs1(t)cos 1Lsin12L=0m2Ly1L+c2Lyy1L+k2Lyy1L+cb2(y2L-y2R)+kb2(y2L-y2R)-c12Lf(12L，b12L)+k12Lf(12L，b12L)+fs1(t)cos 1Lcos12L=0m2Lz2L+c2z(z2L-z2R)+k2z(z2L-z2R)-c12Lf(12L，b12L)+k12Lf(12L，b12L)+fs1(t)sin1L=0I2L2L+ct2(2L-2R)+kt2(2L-2R)-c12Lf(12L，b12L)+k12Lf(12L，b12L)+fs1(t)rb2Lcos1L=-Tn/2（5）m2Rx1R+c2Rxx2R+k2Rxx2R+cb2(x2R-x2L)+kb2(x2R-x2L)-c12Rf(12R，b12R)+k12Rf(12R，b12R)+fs2(t)cos 1Rsin12R=0m2Ry1R+c2Ryy1R+k2Ryy1R+cb2(y2R-y2L)+kb2(y2R-y2L)-c12Rf(12R，b12R)+k12Rf(12R，b12R)+fs2(t)cos 1Rcos12R=0m2Rz2R+c2z(z2R-z2L)+k2z(z2R-z2L)-c12Rf(12R，b12R)+k12Rf(12R，b12R)+fs2(t)sin1R=0I2R2R+ct2(2R-2L)+kt2(2R-2L)-c12Rf(12R，b12R)+k12Rf(12R，b12R)+fs2(t)rb2Rcos1R=-Tn/2（6）式中，mi和 Ii（i=1L，1R，2L，2R）分别为左右斜齿轮质量和转动惯量（各包含退刀槽一半）；f（12L）和f（12R）分别为左右端面啮合线上非线性函数；2bi（i=12L，12R）为齿侧间隙；fs1和fs2分别为左右斜齿轮副啮入冲击激励力；k12L、c12L和k12R、c12R分别为左右斜齿轮副法向时变啮合刚度和啮合阻尼；e12L和e12R分别为左右斜齿轮副静态传动误差；kix、cix，kiy、ciy，kiz、ciz（i=1L，1R，2L，2R）分别为斜齿轮i受到沿坐标轴x、y、z 方 向 等 效 支 承 刚 度 和 支 承 阻 尼；kbi、kti、kiz，cbi、cti、ciz(i=1，2)分别为轴段弯曲、扭转及拉压刚度和弯曲、扭转及拉压阻尼；Td和Tn分别为输入转矩和负载转矩，本文视为左右均等；rbi、i(i=1L，1R，2L，2R)分别为斜齿轮 i 的基圆半径和螺旋角。将动力学模型向齿轮端面投影，如图 2 所示。N1N2为啮合线在端面投影；为N1N2与y轴夹角；为两轮连心线与x轴的夹角；为端面压力角。由图2可知，=-。将两齿轮沿x、y、z轴方向振动位移和绕z轴角振动位移投影到法向啮合线方向，可得系统耦合方程为3第48卷n=(x1-x2)sin +(y1-y2)cos +(rb11-rb22)cos-z1sin+z2sin -e12(t)（7）式中，e12(t)为啮合平面上的综合静态传动误差。轮齿端面啮合线方向间隙非线性函数f（，b）为f(i，bi)=i-bii bi0|i bii+bii-bi(i=12L，12R)（8）则人字齿轮副动态啮合力为Fm=km(t)f(i，bi)+cmf(i，bi)（9）式中，km(t)为综合时变啮合刚度；cm为综合啮合阻尼，其计算式17为cm=2kmI1I2I1r2b2+I2r2b1（10）式中，为啮合阻尼比，一般取值范围为0.030.17；I1和I2分别为主、从动轮的转动惯量。利用沿啮合线方向上的相对位移n和相邻质量节点的相对扭转位移ij=rij（i-j）来消除扭转方向刚体位移。然后与各质量节点x、y、z坐标轴方向平移自由度方程相结合，可得到消除刚体位移后的人字齿轮传动系统弯-扭-轴耦合非线性动力学方程为MDq+CDq+KDq=FD（11）式中，MD、CD、KD、q、FD分别为系统消除刚体位移后质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、位移向量、广义激励坐标向量。然后，对式（11）进行无量纲化处理，定义无量纲时间参数=fmt，fm为啮合频率（1 s内转过的啮合周期数），同时引入位移标称尺度bc。设q、q和q分别为无量纲位移、速度和加速度，则q=bcqq(t)=dqdt=d(bcq)dt=d(bcq)d(/fm)=fmbcdqd=fmbcq()q(t)=dqdt=d fmbcq()dt=d fmbcq()d(/fm)=f2mbcdqd=f2mbcq()（12）将式（12）代入式（11）中，可得MD f2mbcq()+CD fmbcq()+KDbcq()=FD f2mbcq()+M-1DCD fmbcq()+M-1DKDbcq()=M-1DFD f2mq()+M-1DCD fmq()+M-1DKDq()=M-1DFDbcq()+M-1DCDq()fm+M-1DKDq()f2m=M-1DFDbcf2m（13）得到量纲一化后的系统非线性动力学方程为q()+CDq()+KDq()=FD（14）式中，CD=M-1DCD/fm、KD=M-1DKD/f2m、FD=M-1DFD/(bcf2m)分别为无量纲后的阻尼矩阵、刚度矩阵和力向量。本文通过Runge-Kutta迭代法可对式（14）进行求解，迭代初始静态位移量和初始速度量可取为“0”。2 系统参数对系统动态特性的影响分析为了体现出对比性，本文给出某船用两种人字齿轮副参数，中心距相同，传动比近似，而螺旋角不同，如表1所示。参考文献18中求重合度的方法，分别计算两种参数下的端面和轴向重合度，1=1.59，2=1.34，1=1.13，2=1.74。齿轮副1总的重合度1=2.72，齿轮副2总的重合度2=3.08。图1人字齿轮传动系统非线性动力学模型Fig.1Nonlinear dynamic model of the herringbone gear transmission system图2人字齿轮副啮合线端截面投影示意图Fig.2Diagram of the projection of the meshing line end section of the herringbone gear pair4第1期王 冀，等：不同重合度下系统参数对人字齿传动非线性动态特性的影响2.1输入功率对系统动态特性的影响不同重合度下，系统输入功率的增加通常意味着更大的负载或转矩传递给齿轮系统。输入功率发生突变，会导致齿轮系统的动态响应发生变化，产生颤振、共振或其他不稳定性现象，进而引起振动和噪声的增强。因此，在设计和运行齿轮系统时，需要考虑输入功率的变化范围，以确保系统能够适应不同负载条件下的动态工作，并降低振动、噪声等不良效应的发生。取输入转速为4 000 r/min，误差幅值为 10 m，齿侧间隙为 10 m，啮合阻尼比为0.05，分别计算不同重合度下随输入功率变化时齿轮副啮合线方向上的综合相对振动加速度均方根（Root Mean Square，RMS）值的变化，如图3所示。由图3可知，随输入功率增加，重合度由2.72变为3.08时，齿轮副综合相对振动加速度RMS值大幅降低，且存在1次跳跃现象，能减少系统跳跃现象的出现。2.2输入转速对系统动态特性的影响输入转速的变化对齿轮的动态特性有重要影响，并可能导致承载能力下降、振动噪声增强、动态行为变化和润滑磨损问题。在设计和运行齿轮传动系统时，需要充分考虑并控制输入转速的变化，以确保系统的安全可靠性和性能表现。取输入功率为500 kW，误差幅值和齿侧间隙均为10 m，啮合阻尼比为0.05，分别计算不同重合度下随输入转速变化时齿轮副啮合线方向上的综合相对振动加速度 RMS值的变化，如图4所示。由图4可知，随着输入转速增加，系统振动加速度出现多个共振峰，呈先增加后减小的趋势。当重合度由2.72变为3.08时，系统振动加速度RMS值降低，共振峰和跳跃的幅值也降低，从而提高了系统稳定性。增大重合度能改善系统的共振峰。2.3齿侧间隙对系统动态特性的影响较小的齿侧间隙可以提高齿轮的刚性和响应速度，而较大的齿侧间隙则会使系统更具有柔性和减振能力，同时可能导致齿轮啮合时产生较大的滑移和背隙，使传动精度降低19。因此，在设计和制造齿轮时，需要合理控制齿侧间隙，并根据具体应用条件选择适当的间隙值，以满足系统的性能要求。取输入转速为4 000 r/min，输入功率为500 kW，误差幅值为10 m，啮合阻尼比为0.05，分别计算不同重合度下随齿侧间隙变化时齿轮副啮合线方向上的综合相对振动加速度RMS值的变化，如图5所示。由图5可知，随着齿侧间隙增加，系统加速度RMS值也增加；在重合度由 2.72 变为 3.08 时，RMS 值有所降低。此外，在重合度为2.72时，系统存在波峰和跳跃现象；而在重合度为3.08时，波峰和跳跃现象消失。2.4传动误差对系统动态特性的影响由于轮齿加工、安装等技术限制，系统不可避免地存在传动误差。误差的存在对齿轮传动系统的振动噪声、动态载荷、动态精度和稳定性都会产生重要的影响20。在设计和制造齿轮时，需要优化齿表1人字齿轮副基本参数Tab.1 Basic parameters of the herringbone gear pairs齿轮齿轮副1齿轮副2主动轮从动轮主动轮从动轮齿数34803072法向模数/mm5555压力角/（）20202020螺旋角/（）20.86-20.8633.27-33.27齿宽/mm542502542502齿槽宽/mm46504650图3随输入功率变化时加速度RMS值变化曲线Fig.3Curves of acceleration RMS value with input power change图4随输入转速变化时加速度RMS值变化曲线Fig.4Curves of acceleration RMS value with input speed change图5随齿侧间隙变化时加速度RMS值变化曲线Fig.5Curves of acceleration RMS value with backlash change5第48卷形和啮合参数，采取措施减小传动误差并提高传动系统的动态特性。取输入功率为500 kW，输入转速为 4 000 r/min，齿侧间隙为 10 m，啮合阻尼比为0.05，分别计算不同重合度下随传动误差幅值变化时齿轮副啮合线方向上的综合相对振动加速度RMS值的变化，如图6所示。由图6可知，随传动误差幅值增加，系统存在跳跃现象但其跳跃幅值很小，几乎不明显。当重合度由2.72变为3.08时，系统振动加速度RMS值明显降低。2.5啮合阻尼比对系统动态特性的影响啮合阻尼比是描述齿轮传动系统中阻尼效果的参数，表示系统中惯性力和阻尼力之间的比值。正确选择和调整啮合阻尼比对齿轮传动系统的振动抑制、转矩传递、噪声控制和动态精度都非常重要。在设计和优化传动系统时，需要综合考虑系统的工作条件和要求，选择适当的阻尼参数，以实现良好的动态特性。取输入功率为500 kW，输入转速为4 000 r/min，误差幅值和齿侧间隙均为10 m，分别计算不同重合度下随啮合阻尼比变化时齿轮副啮合线方向上的综合相对振动加速度RMS值的变化，如图7所示。由图7可知，随着啮合阻尼比增加，系统振动加速度RMS值越来越小，不存在峰值和跳跃现象。当重合度由2.72变为3.08时，系统振动加速度RMS值降低。2.6输入轴支承刚度对系统动态特性的影响较高的支承刚度可以减小输入轴的弯曲变形，从而降低传动中的游隙和滑动，提高传动系统的精度和可靠性。因此，在设计和优化齿轮传动系统时，需要综合考虑输入轴支承刚度与其他关键参数之间的相互作用，并根据具体需求选择适当的支撑结构和材料，以达到理想的动态特性。取输入功率为500 kW，输入转速为4 000 r/min，误差幅值为10 m，齿侧间隙为 10 m，啮合阻尼比为 0.05，分别计算不同重合度下随输入轴支承刚度变化时齿轮副啮合线方向上的综合相对振动加速度RMS值的变化，如图8所示。由图8可知，当输入轴支承刚度很小时，振动加速度 RMS 值比较大；随着支承刚度增大，RMS值反而减小，且系统存在跳跃现象。当重合度由 2.72 变为 3.08 时，加速度 RMS值和跳跃幅值降低；而当支承刚度很大时，RMS值几乎不变。3 结论1）综合考虑轮齿时变刚度、冲击力和误差激励的影响，建立含齿侧间隙的多源激励人字齿轮弯-扭-轴耦合非线性动力学模型，推导出相应的运动微分方程并进行消除刚体位移和无量纲化处理。进而分析了不同重合度下系统参数对人字齿轮系统动态特性的影响。2）当重合度由2.72变为3.08时，齿轮副综合相对振动加速度 RMS值均降低达 40%左右。可见，增大齿轮副重合度能提高系统的稳定性。3）随着输入功率的增加，系统存在跳跃现象，增大重合度能降低系统跳跃现象的出现。随着输入转速的增加，增大重合度能降低共振峰和跳跃的幅值。随着齿侧间隙的增加，增大重合度能使系统波峰和跳跃现象消失。随着传动误差幅值的增加，系统存在跳跃现象但跳跃幅值很小，几乎不明显。随着啮合阻尼比的增加，系统不存在峰值和跳跃现象。图7随啮合阻尼比变化时加速度RMS值变化曲线Fig.7Curves of acceleration RMS value with damping ratio change图6随传动误差幅值变化时加速度RMS值变化曲线Fig.6Curves of acceleration RMS value with transmission error change图8随输入轴支承刚度变化时加速度RMS值变化曲线Fig.8Curves of acceleration RMS value with input shaft bearing stiffness change6第1期王 冀，等：不同重合度下系统参数对人字齿传动非线性动态特性的影响随着支承刚度的增大，增大重合度能使系统加速度RMS 值和跳跃幅值降低，而当支承刚度很大时，RMS值几乎不变。参考文献1LI Z B，WANG S M.Study on nonlinear dynamic characteristics of power six-branch herringbone gear transmission system with 3D modification J .Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part K：Journal of Multi-body 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