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概率论 习题四 答案
1.设随机变量X的分布律为
X
-1 0 1 2
P
1/8 1/2 1/8 1/4
求E（X），E（X2），E（2X+3）.
【解】(1)
(2)
(3)
2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.
【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为
X
0
1
2
3
4
5
P
故
3.设随机变量X的分布律为
X
-1 0 1
P
p1 p2 p3
且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求.
【解】因……①,
又……②,
……③
由①②③联立解得
4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？
【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则
5.设随机变量X的概率密度为
f（x）=
求E（X），D（X）.
【解】
故
6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.
（1） U=2X+3Y+1；
（2） V=YZ -4X.
【解】(1)
(2)
7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X -2Y），D（2X -3Y）.
【解】(1)
(2)
8.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
试确定常数k，并求E（XY）.
【解】因故k=2
.
9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
求.
【解】方法一：先求与的均值
由与的独立性，得
方法二：利用随机变量函数的均值公式.因与独立，故联合密度为
于是
10.设随机变量X，Y的概率密度分别为
= =
求（1） ;（2） .
【解】
从而(1)
(2)
11.设随机变量X的概率密度为
f（x）=
求（1） 系数;（2）;（3） .
【解】(1) 由得.
(2)
(3)
故
12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量，求和.
【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
于是，得到X的概率分布表如下：
X
0
1
2
3
P
0.750
0.204
0.041
0.005
由此可得
13.一工厂生产某种设备的寿命（以年计）服从指数分布，概率密度为
为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.
【解】厂方出售一台设备净盈利只有两个值：100元和 -200元
故 (元).
14.设是相互独立的随机变量，且有,记 ， .
（1） 验证=μ， =；
（2） 验证；
（3） 验证.
【证】(1)
(2) 因为
故.
(3) 因为,故
同理因为 ,故.
从而
15.对随机变量和，已知，，,
计算：.
【解】
(因常数与任一随机变量独立，故,其余类似).
16.设二维随机变量的概率密度为
试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.
【解】设.
同理E(Y)=0. （注意到积分区域的对称性和被积函数是奇函数可以直接得到0）
而
,
由此得,故X与Y不相关.
下面讨论独立性，当时，
当 时，.
显然 ,故X和Y不是相互独立的.
17.设随机变量的分布律为
X
Y
-1 0 1
-1
0
1
1/8 1/8 1/8
1/8 0 1/8
1/8 1/8 1/8
验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.
【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表：
X
-1
0
1
P
Y
-1
0
1
P
XY
-1
0
1
P
由期望定义易得===0.
从而=,再由相关系数性质知=0,
即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.
又
从而X与Y不是相互独立的.
18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求，.
【解】如图，SD=，故（X，Y）的概率密度为
题18图
从而
同理
而
所以
.
从而
19.设（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求协方差和相关系数.
【解】
从而
同理
又
故
20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为，试求Z1=X -2Y和Z2=2X -Y的相关系数.
【解】由已知条件得：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.
从而
故
21.对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明：
［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）.
这一不等式称为柯西—许瓦兹（Cauchy -Schwarz）不等式.
【证】考虑实变量的二次函数
因为对于一切，有，所以 ，从而二次方程
或者没有实根，或者只有重根，故其判别式Δ≤0，
即
故
22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间的分布函数.
【解】由题设可知：设备开机后无故障工作的时间，其概率密度为
根据题意 ，所以的分布函数为
当时，；
当时，；
当时，；
于是的分布函数为：。
23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
【解】（1） Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布为
,
即
Z=k
0
1
2
3
Pk
因此，
(2) 设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有
24.假设由自动线加工的某种零件的内径（毫米）服从正态分布，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润（单位：元）与销售零件的内径有如下关系
问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？
【解】因为 ,所以平均利润
令
得
两边取对数有
解得 (毫米)
因为该问题有唯一驻点，所以当毫米时，平均利润最大.
25.设随机变量的概率密度为
对独立地重复观察4次，用表示观察值大于π/3的次数，求的数学期望.
（2002研考）
【解】令
则相互独立，都服从（0—1）分布，且.
因为
及,
所以
,
从而
26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间 (i=1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度，数学期望及方差.
【解】由题意知：
因为与独立，所以由卷积公式得的概率密度
当时，=0;
当时，
故得
由于 ,故知
因此，有，.（与独立）
27.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X -Y|的方差.
【解】设Z=X -Y，由于
且X和Y相互独立，故, 即.
因为
而
，
所以 .
28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为，求和.
【解】记, 的概率分布为
故
又
所以
题29图
29.设随机变量X和Y的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变量U=X+Y的方差.
【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
=D(X)+D(Y)+2[E(XY) -E(X)·E(Y)].
由已知条件得X和Y的联合概率密度为
从而
因此
同理可得
于是
30.设随机变量U在区间[ -2,2]上服从均匀分布，随机变量
X= Y=
试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D（X+Y）.
【解】（1） 为求X和Y的联合概率分布，就要计算（X，Y）的4个可能取值( -1, -1),( -1,1),(1, -1)及(1,1)的概率.
P{X= -1, Y= -1} = P {U≤ -1,U ≤1}
P{X= -1, Y=1} =P {U≤ -1, U>1} =P {}=0,
P{X=1, Y= -1} =P {U> -1, U≤1}
.
故得X与Y的联合概率分布为
.
(2) 因,
而及的概率分布相应为
, .
从而
所以
31.设随机变量的概率密度为f(x)=，
(1) 求及；
（2） 求,并问与是否不相关？
（3） 问与是否相互独立，为什么？
【解】(1)
(2)
所以与不相关.
(3) 为判断|与的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域 中的子区间（0,+∞）上给出任意点x0，则有
所以
故由
得出 与不相互独立.
32.已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数，设Z=.
（1） 求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；
（2） 求X与Z的相关系数；
（3） 问X与Z是否相互独立，为什么？
【解】(1)
而
所以
(2) 因
所以
(3) 由，得X与Z不相关.又因，所以X与Z也相互独立.
33.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次数.试求X和Y的相关系数.
【解】由条件知X+Y=n，则有D（X+Y）=D（n）=0.
再由X~B(n, p), Y~B(n, q)，且p = q =,
从而有
所以
故= -1.
（填空题或选择题，由可以直接得= -1）.
34.设随机变量X和Y的联合概率分布为
Y
X
-1 0 1
0
1
0.07 0.18 0.15
0.08 0.32 0.20
试求X和Y的相关系数.
【解】由已知条件得E(X)=0.6, E(Y)=0.2，而XY的概率分布为
YX
-1
0
1
P
0.08
0.72
0.2
所以E（XY）= -0.08+0.2=0.12
从而 =0
35.对于任意两事件A和B，0<P(A)<1，0<P(B)<1,则称
ρ=为事件A和B的相关系数.试证：
（1） 事件A和B独立的充分必要条件是ρ=0；
（2） |ρ|≤1.
【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P(AB) -P(A)·P(B)=0.
而这恰好是两事件A、B独立的定义，即ρ=0是A和B独立的充分必要条件.
(2) 引入随机变量X与Y为
由条件知，X和Y都服从0 -1分布，即
从而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),
D(X) = P (A).P (), D(Y) =P (B) ·P (),
所以，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数.于是由二维随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1.
36. 设随机变量X的概率密度为
令，为二维随机变量的分布函数，求：
(1) 的概率密度；
(2);
(3).
解： (1) 的分布函数为
.
当y≤0时， ，；
当0＜y＜1时，
，
；
当1≤y<4时，
；
当y≥4时，，.
故Y的概率密度为
(2) ,
,
,
故 .
(3)
.
37. 设二维随机变量的概率分布如下表
-1
0
1
-1
0
0.2
0
0.1
0.2
1
0
0.1
其中为常数，且的数学期望,,记求：
（1） 的值；
（2） 的概率分布；
（3） .
解 (1) 由概率分布的性质知， ， 即
................................................(1)
由，可得
................................................（2）
再由 ,
得 .......................................................（3）
解方程组（1）（2）（3）得
.
(2) 的可能取值为-2，-1，0，1，2，
，
，
，
，
，
即的概率分布为
-2
-1
0
1
2
0.2
0.1
0.3
0.3
0.1
(3) .
38. 设随机变量与的概率分布分别如下表所示：
0
1
-1
0
1
且.
（1）求二维随机变量的概率分布；（2）求的概率分布；（3）求与的相关系数。（第四章作业只有第三问）
解 由 得 ，
即
进而
再根据联合概率分布与边缘概率分布的关系，可得的概率分布如下表：
-1
0
1
0
0
0
1
0
1
（2）的可能取值为：-1，0，1。由得概率分布可得的概率分布
-1
0
1
（3）因为 , 故
,
从而与的相关系数 .
39. 设二维离散型随机变量的概率分布分别如下表:
0
1
2
0
0
1
0
0
2
0
（1）求;（2）求.
解 （1）
（2）由已知条件可知，，的所以可能取值均为0，1，2，且分布律分别为
0
1
2
0
1
2
的所以可能取值为0，1，4，且分布律为
0
1
4
于是 ,故
40.设随机变量的概率分布为,在给定的条件下，随机变量服从均匀分布。（1）求的分布函数；（2）求.
解 （1）注意到构成一个完备事件组，由全概率公式的的分布函数
于是，当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
故随机变量的分布函数
（2）随机变量的概率密度函数为
.
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