数学练习题抽象函数(含答案).doc

高考一轮专练——抽象函数
1. 已知函数y = f (x)(x∈R，x≠0)对任意的非零实数，，恒有f()=f()+f(),试判断f(x)的奇偶性。

2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)<f (m),求实数m的取值范围

3. 设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。

4. 设函数对任意,都有, 已知，求,的值.

5. 已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：f（x+2）[1－f（x）]=1+f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值。

6. 设f（x）是定义R在上的函数，对任意x，y∈R，有 f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0.
（1）求证f（0）=1；（2）求证：y=f（x）为偶函数.

7. 已知定义在R上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？

8. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有＞0
（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；
（2）若f（k＜0对x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围。
9.已知函数是定义在（-∞，3]上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围。

10．已知函数当时，恒有.
（1）求证: 是奇函数;（2）若.

11．已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足: .
（1）求的值;（2）判断的奇偶性，并证明你的结论;
（3）若,，求数列{}的前项和.

12．已知定义域为R的函数满足.
（1）若
（2）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式.

13．已知函数的定义域为R，对任意实数都有，且，当时, >0.
（1）求;（2）求和;
（3）判断函数的单调性，并证明.

14．函数的定义域为R，并满足以下条件：①对任意,有>0；②对任意,有；③.
（1）求的值;（2）求证: 在R上是单调减函数;
（3）若且，求证：.

15．已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.
（1）证明:;（2）证明: 在R上单调递减;
（3）设A=,B={},若=,试确定的取值范围.

16．已知函数是定义在R上的增函数,设F.
（1）用函数单调性的定义证明:是R上的增函数;
（2）证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形.

17．已知函数是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线对称.
（1）求的值；（2）证明： 函数是周期函数;
（3）若求当时，函数的解析式，并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。

18．函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。
（1）证明：；（2）若成立，求x的取值范围。

19．设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

20. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。

21. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。

22. 是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；②；③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。

答案：
1. 解：令= -1，=x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) ……①为了求f (-1)的值，令=1，=-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令==-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ∴f(-1)=0代入①式得
f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。
2. 分析：根据函数的定义域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。
解：∵f (x)是偶函数， f (1-m)<f(m) 可得，∴f(x)在[0，2]上是单调递减的，于是 ，即 化简得-1≤m<。
3. 解：因为f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一个周期。又f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。
4. 解：由f（=f（，知 f（x）=f（≥0，x
， f（1）=2，
同理可得
5.解：从自变量值2001和1进行比较及根据已知条件来看，易联想到函数f（x）是周期函数。由条件得f（x）≠1，故
f（x+2）=f（x+4）=. 所以f（x+8）=.
所以f（x）是以8为周期的周期函数，
从而f（2001）=f（1）=1997
说明：这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

6.证明：（1）问题为求函数值，只需令x=y=0即可得。
（2）问题中令x=0即得f（y）+f（- y）=2f（0）f（y），
且f（0）=1.所以f（y）+f（-y）=2f（y），因此y=f（x）为偶函数.
说明：这类问题应抓住f（x）与f（-x）的关系，通过已知条件中等式进行变量赋值。

7. 解：由y=f(x)是偶函数且在（2，6）上递增可知，y=f(x)在（－6，－2）上递减。令u=2-x，则当x∈(4,8)时，u是减函数且u∈(-6,-2)，而f(u)在（－6，－2）上递减，故y=f(2-x)在（4，8）上递增。所以（4，8）是y=f(2-x)的单调递增区间。

8. 解：（1）.因为a＞b，所以a-b＞0，由题意得
＞0，所以f（a）+f（－b）＞0，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－b）=－f（b）， f（a）－f（b）＞0，即f（a）＞f（b）
（2）.由（1）知f（x）在R上是单调递增函数，又f＋f＜0，得f＜f，故＜，所以k＜
令t＝,所以k＜t+，而t+≥2，即k＜2－1

9.解：等价于

10.（1）证明：令，得
令，则
∴ ∴是奇函数。
（2）∵
又∵
11.（1）解：令，则
令，则
（2）证明：令，则，∵，∴
令，则
∴是奇函数。
（3）当时，，令，则
故，所以
∴
∵
∴，故
∴
12.解：(1)∵对任意，函数满足，且
∴
∵，∴=f(a)=a
(2) ∵对任意，函数满足,有且仅有一个实数,使得
∴对任意，有
上式中，令，则
∵，故
若，则，则，但方程有两个不相同的实根与题设茅盾，故
若，则，则，此时方程有两个相等的实根，即有且仅有一个实数,使得
∴
13.（1）解：令，则
（2）∵
∴
∴数列是以为首项,1为公差的等差数列,故
==
(3)任取,则
=
∴
∴函数是R上的单调增函数.
14.(1)解: ∵对任意,有>0, ∴令得,
(2)任取任取,则令,故
∵函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③
∴
∴
∴函数是R上的单调减函数.
(3) 由（1）（2）知，，∴
∵
∴，而
∴
∴
15. (1)证明:令,则
∵当时,,故,∴,∵当时,
∴当时,,则
(2)证明: 任取,则

∵,∴0<,故<0,又∵
∴,故
∴函数是R上的单调减函数.
(3) ∵
由（2）知，是R上的减函数，∴
∵B={}=
又∵，
∴方程组无解，即直线的内部无公共点
∴，故的取值范围是-
16.(1)任取,则
F=[
∵, ∴∴
又∵函数是定义在R上的增函数, ∴,
故
∴>0
∴是R上的增函数;
(2)设为函数=的图象上任一点,则点关于点(的对称点为N(),则
,故
∵把代入F得, =-
∴函数=的图象关于点(成中心对称图形.
17.(1)解:∵为R上的奇函数, ∴对任意都有,令则
∴=0
(2)证明: ∵为R上的奇函数, ∴对任意都有,
∵的图象关于直线对称, ∴对任意都有,
∴ 用代得,
∴,即
∴是周期函数,4是其周期.
(3)当时，
当时，，
当时，，
∴
图象如下：

y

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x

18.(1)证明：令，则，故
（2）∵，令，则， ∴
∴
∴成立的x的取值范围是。
19．解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,
从而知函数不是奇函数,
由
,从而知函数的周期为
又,故函数是非奇非偶函数;
(2)由
又
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.

20. 解：设，∵当，∴，
∵，
∴，即，∴f（x）为增函数。
在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，
∴　f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，
∴ f（x）的值域为［－4，2］。

21. 解：设，∵当，∴，则，
即，∴f（x）为单调增函数。 ∵， 又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴， 即，解得不等式的解为－1 < a < 3。

22. 分析：由题设可猜想存在，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：
（1）x＝1时，∵，又∵x ∈N时，f（x）＞0，∴，结论正确。
（2）假设时有，则x＝k＋1时，，∴x＝k＋1时，结论正确。
综上所述，x为一切自然数时。