函数的单调性与最值(讲义).doc

函数的单调性与最值
【知识要点】
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
（3）判断函数单调性的方法
①根据定义；②根据图象；③利用已知函数的增减性；④利用导数；⑤复合函数单调性判定方法。
2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M ；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
结论
M为最大值
M为最小值

求函数最值的方法：
①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法；
②利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值；
③基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。

【复习回顾】
一次函数具有下列性质：
(1)当时，函数y随x的增大而增大
(2)当时，函数y随x的增大而减小
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
(1)当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；
(2)当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；
提出问题:
①如图所示为一次函数y=x，二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?

①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？

②如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？

③定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数. 简称为：步调一致增函数.
几何意义：增函数的从左向右看, 图象是 的。
④定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.
几何意义：减函数的从左向右看, 图象是 的.

例 如图是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.
点评：图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.

【典例精讲】
题型一 函数单调性的判定与证明
(1)单调性的证明
①函数单调性的证明的最基本方法是依据函数单调性的定义来进行，其步骤如下：
第一步：设元，即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2；
第二步：作差，即作差f(x1)－f(x2)；
第三步：变形，即通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；
第四步：判号，即确定f(x1)－f(x2)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；
第五步：定论，即根据单调性的定义作出结论．
其中第三步是关键，在变形中一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个完全平方的形式．
②利用单调性定义的等价形式证明：
设x1，x2[m，n]，x1≠x2，那么
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0＞0f(x)在区间[m，n]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0＜0f(x)在区间[m，n]上是减函数．

(2)复合函数y＝f(g(x))的单调性：
g(x)
f(x)
f(g(x))
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
复合函数的单调性可简记为“同增异减”，即内层函数g(x)与外层函数f(x)的单调性相同时y＝f(g(x))是增函数，单调性相反时y＝f(g(x))是减函数．
(3)判断复合函数单调性的步骤：以复合函数y＝f(g(x))为例．可按下列步骤操作：
①将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(t)，t＝g(x)；②分别确定各个函数的定义域；③分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；④若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数；若为一增一减，则y＝f(g(x))为减函数．

例1 用定义法求证函数在R为增函数

变式1 用定义法求证函数在增函数

变式2 证明：函数在定义域上是减函数

例2 求函数y＝的单调区间．

题型二 图像法求函数的单调区间
例3 求出下列函数的单调区间：
（1）；
（2）.
（3）；
（4）.

变式1 用图像法求下列函数的单调区间
(1)
(2)
(3)

变式2 求函数的单调区间和值域。

题型三 抽象函数的单调性
例4(1)已知函数是减函数，则与的大小关系是

(2)已知函数是减函数，解不等式

(3)已知是定义在(0,+∞)上的减函数，若成立，则a的取值范围是______.

变式 函数f(x)对任意的a,bR，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x＞0时，f(x)＞1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)＜3.

题型四 已知函数的单调性求参数的取值范围
例5 已知函数在R上是增函数，则a的取值范围是

变式1若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋4是区间(－∞，4]上的减函数，则实数a的取值范围是_______．

变式2 (1)画出已知函数的图象；
(2)证明函数在区间(-∞,1］上是增函数；
(3)当函数f(x)在区间(-∞,m］上是增函数时，求实数m的取值范围.

题型五 函数的最值
例6 ①如图所示，是函数的图象.观察这三个图象的共同特征.

②在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如图所示，x的范围是函数的 ,y的范围是函数的 。

图1-3-1-12
③怎样理解函数图象最高点的?设点C的坐标为(x0,y0)，用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C？

④函数最大值的定义？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)=M.
那么，称M是函数y=f(x)的最大值.

⑤函数最大值的定义中即，这个不等式反映了函数的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？函数最大值的几何意义是什么？

⑥函数最大值吗？为什么？点是不是函数的最高点？

⑦由⑥这个问题你发现了什么值得注意的地方？

⑧类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.

例7 求函数y=在区间上的最大值和最小值.

例8 求函数,的最值。

变式 函数y=在［2,3］上的最小值为( )
A.2 B. C. D.-

【课堂练习】
1．下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是( )
A.y=-x+1 B.y= C.y=x2-4x+5 D.y=
2．如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4］上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A.［-3,+∞) B.(-∞,-3］ C.(-∞,3］ D.［3,+∞)
3.若一次函数y=f(x)在区间［-1,2］上的最小值为1，最大值为3，则函数f(x)的解析式为__________.
4.设x1，x2为y＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：
①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0； ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0；
③>0； ④<0.
其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为________.(填序号)

5.(1)已知函数在上是增函数，则的取值范围是
(2)已知函数在上是单调函数，则的取值范围是

6.用定义法求证函数在减函数

【课外作业】
1．函数y＝－x2的单调减区间是(　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
2．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)为增函数，当x∈(－∞，－2]时，函数f(x)为减函数，则m等于(　　)
A．－4　　　　　B．－8 C．8 D．无法确定
3．函数f(x)在R上是增函数，若a＋b≤0，则有(　　)
A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b) B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
4．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5. 若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是________．

6.已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)＜f(1－3x)，求x的取值范围．

7.若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0.
(1)求b与c的值；
(2)试证明函数f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数．
(3)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围.