高一数学竞赛选拔赛试题.docx

2008年元济中学高一数学竞赛选拔赛试题
班级 姓名 得分
一、 选择题（每小题只有一个正确选项）
1．化简得（ ）
(A) (B) (C) (D)
2．已知集合，则下列正确的是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
3．当时，，则下列大小关系正确的是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
4．设圆的方程为，直线的方程为 ()，圆被直线截得的弦长等于 ( )
(A) (B) (C) (D) 与有关
5．函数是 ( )
(A) 周期为的偶函数 　 (B) 周期为的奇函数
(C) 周期为的偶函数 (D) 周期为的奇函数
6．设函数的定义域为，的解集为，的解集
为，则下列结论正确的是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
7．已知为三条不同的直线，且平面，平面，．
(1)　若与是异面直线，则至少与、中的一条相交；
(2)　若不垂直于，则与一定不垂直；
(3)　若∥，则必有∥；
(4)　若，，则必有．
其中正确的命题的个数是 ( )
(A) (B) (C) (D)
8．函数对于任意的恒有意义，则实数的取值范围是 ( )
(A) 且 　 (B) 且
(C) 且 　 　 (D) 　　 　　 　

二、填空题
9．已知，则 ．
10．已知A、B是半径为5的圆O上的两个定点，P是圆O上的一个动点，若6，设的最大值为，最小值为，则的值为 ．
11．已知全集，集合，集合，则集合= ．
12．高一年级某班的部分同学参加环保公益活动收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，已组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个．若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有 个学生．
一三．代数式的最小值为 ．
14．设5长方体的一个表面展开图的周长为，则的最小值
是 ．
一五．定义在上的函数满足：，则
16．已知函数，若，则实数组成的集合的元素个数为 .
17．已知关于的方程（）无实根，则的取值范围是 .
一八．关于的不等式的解集为，集合，若，则实数的取值范围是 .

三．解答题（解答应有必要文字说明和演算步骤）
19． 圆的方程是，点是圆上一个动点，点是关于点的对称点，点绕圆心按逆时针方向旋转后所得的点为，求当点在圆上移动时，点、之间距离的最大值和最小值．

20．已知△中，∠90°，1，⊥平面，
∠60°，E、F分别是、上的动点，且
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面⊥平面；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面⊥平面？

21．设函数的定义域是，且对任意都有．
若对常数，，判断在上的单调性；

22.已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：
[1] 对任意的，总有；
[2] ；
[3] 若，，且，则有成立，
并且称为“友谊函数”，请解答下列各题：
(1)若已知为“友谊函数”，求的值；
(2)函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.
(3)已知为“友谊函数”，假定存在，使得且，
求证：.

参考答案
一、选择题：
二、 填空题
9．0．得
而
10． 11．
12．设甲、已、丙三个组的人数分别为．则有
，故233=
，同理
，均为整数，则或
，检验的方可．
一三．数型结合得
14．长方体的展开图的周长为，由排序或观察得：
周长的最小值为．
一五． 7 16． 5 17. (-2,2) 一八.
三、解答题
19．解：设，，，设圆的参数方程为，则，
点是关于点的对称点，
．，
，当=1时，有最大值|；
当时，有最小值．

20．证明：（Ⅰ）∵⊥平面， ∴⊥，
∵⊥且∩， ∴⊥平面.
又
∴不论λ为何值，恒有∥，∴⊥平面，平面,
∴不论λ为何值恒有平面⊥平面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，⊥，又平面⊥平面，
∴⊥平面，∴⊥.
∵1，∠90°，∠60°，
∴
由2· 得
故当时，平面⊥平面.

21．解：(1)对任意，由，存在使得且，又，
，在上是增函数．

22. 解：（1）取得，又由，得
（2）显然在上满足[1] ；[2] .若，，且，则有

故满足条件[1]、[2]、[3]，所以为友谊函数.
(3)由 [3]知任给其中，且有，不妨设
则必有：所以：

所以：.依题意必有,
下面用反证法证明：假设，则有或
(1) 若，则，这与矛盾；
(2) 若，则，这与矛盾；
故由上述（1）、（2）证明知假设不成立，则必有，证毕.