【学案】【第5章数列】§5.6数列应用问题.doc

高三数学第一轮复习 章节学案
§5.6 数列应用问题
【复习目标】
1.运用等差等比数列的特殊性质解决数学问题；
2.借助等差等比数列公式或数列的递推公式解决生活中的应用问题。
【基础练习】
1．记等差数列的前n项和为，若，S4=20，则S6 =（ ）
A．16 B．24 C．36 D．48
2．已知a, b, c成等差数列，则二次函数的图象与x轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
3．数列满足,是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有，则数列的通项公式是=（ ）
A． B． C．1 D．不唯一
4．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2003年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为 吨，2008年的垃圾量为 吨。
5．光线透过一块玻璃板，其强度要减弱，要使光线的强度减弱到原来的以下，至少有这样的玻璃板 块。（参考数据：
【典型例题】
例1．设数列的前n项和为Sn，若是首项为1，各项均为正数且公比为q的等比数列。（1）求数列的通项公式；
（2）试比较的大小，并证明你的结论。

例2．数列满足，，，
（1）求，，并求数列的通项公式；
（2）设，，证明：当时，。

例3．把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设（i、j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
………………………
。（1）若＝2006，求i、j的值；
（2）记三角形数表从上往下数第n行各数的和为，
令，求数列的前n项和。

例4．某地为发展旅游产业，在原有基础上，本年度投入资金800万元进行生态环境建设，并且以后每年都有资金投入，但是均比上年减少。本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。
（1）设n年内(本年度为第一年)总投入为万元，旅游业总收入为万元。写出,的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

§5.6 数列应用问题参考答案
【基础练习】
1. D 2. D 3. B 4. ，
5. 11块 提示：，两边取对数，
【典型例题】
1. 解：（1）∵是各项均为正数的等比数列
∴
当n=1时，a1=1
当时，
∴
（2）当n=1时，
∴

∴当n≥2时

∵
①当q=1时，，
②当时，，
③当时，，
综上：当n=1时，
当时，若，则；
若，则；
若，则。
2. 解：（1）
所以，
一般地，当时，，即
所以数列是首项为1、公差为1的等差数列
因此当时，
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列
因此 故数列的通项公式为 ()
（2）由(1)知，
①
②
①-②得：
所以
要证明当时不等式成立，只需证明当时，成立。
令，可得当时，。
因此当时，
于是当时，
综上所述，当时，
3. 解：（1）三角形数表中前n行共有个数，
即第i行的最后一个数是，
∴要使＝2006的i是不等式的最小正整数解。
因为，所以i＝63。
于是第63行的第一个数是。
∴
（2）∵三角形数表中前n行共有1＋2＋3＋…＋n＝个数
∴前n行的所有自然数的和为＋[－1]＝
∴＝－＝…＝
∴当n≥2时，
其前n项和＝1＋

4．解:（1）第1年投入为800万元,，
第2年投入为万元，
第n年投入为万元，
所以，n年的总投入为

第1年旅游业收入为400万元，
第2年旅游业收入为万元，
第n年旅游业收人为万元．
所以，n年内的旅游业总收入为

（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，
由此，
化简得, 设，代入上式得
(舍去)， 即： ，由此得
∴至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入。

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