七大函数-七大性质.doc

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七大函数——
1、一次函数2、二次函数3、反比例函数4、指数函数5、对数函数6、幂函数7、三角函数
七大性质——
1、定义域2、值域3、最值4、周期性5、奇偶性6、单调性7、对称性

壹@一次函数（正比例函数）
1、定义与定义式：
自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，即：y=kx （k为常数，k≠0） 则此时称y是x的正比例函数。

2、一次函数的性质：
（1） 在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2） 一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）
正比例函数的图像总是过原点。
（3) k，b与函数图像所在象限：
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；
当b＜0时，直线必通过三、四象限。
当b=0时，直线通过原点。
(4)特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

3、一次函数和正比例函数的图象和性质

贰@二次函数
1．函数叫做一元二次函数。其图象是一条抛物线。
2．根与系数的关系-韦达定理
（1）若一元二次方程中，两根为，。
求根公式， 补充公式 。
韦达定理，。
（2）以，为两根的方程为
（3）用韦达定理分解因式
3．任何一个二次函数都可配方为顶点式：，
性质如下：
（1）图象的顶点坐标为，对称轴是直线。

（2）最大（小）值
① 当，函数图象开口向上，有最小值，，无最大值。
② 当，函数图象开口向下，有最大值，，无最小值。

（3）当，函数在区间上是减函数，在上是增函数。
当，函数在区间上是减函数，在上是增函数。

4．二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式

二次函数

的图象

一元二次方程的根
有两个相异实数根

有两个相等实数根

没有实数根
不等式的解集

叁@反比例函数
1、定义：一般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：
（1）x是自变量，y是x的反比例函数；
（2）自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是；
（3）反比例函数有三种表达式：
①（）， ②（）， ③（定值）（）。
（4）函数（）与（）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。
2、反比例函数解析式的特征： 
反比例函数
（）
的符号

图像

定义域和值域
，；即（—∞，0）U（0，+∞）
，即（—∞，0）U（0，+∞）
单调性
图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。
图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
肆@指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．
2．实数指数幂的运算性质
（1）· （2） （3） 均满足．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中定义域为x∈R．
2、指数函数的图象和性质
条件
a>1
0<a<1
图像

定义域
x∈R
x∈R
值域
y＞0
y＞0
单调性
在R上单调递增
在R上单调递减
奇偶性
非奇非偶函数
非奇非偶函数
特性
过定点（0，1）
过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；

伍@对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，
记作：（— 底数，— 真数，— 对数式）；
2．两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数；
自然对数：以无理数为底的对数．
（二）对数的运算性质
如果，且，，，那么：
·＋； －；
．
注意：换底公式 （，且；，且；）．
利用换底公式推导下面的结论 （1）； （2）．

（三）对数函数
1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
2、对数函数的性质：
条件
a>1
0<a<1
图像

定义域
x＞0
x＞0
值域
R
R
单调性
在R上递增
在R上递减
奇偶性
非奇非偶函数
非奇非偶函数
特性
过定点（1，0）
过定点（1，0）

@@@指数函数与对数函数 的比较记忆

表1
指数函数
对数数函数
定义域

值域

图象

性质
过定点
过定点
减函数
增函数
减函数
增函数

陆@幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义, 并且图象都过点（1，1）；
（2）当时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．
特别地，当时，幂函数的图象下凸；
当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．
在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，
当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

3、幂函数的图像
幂函数（1) 幂函数（2) 幂函数（3)

@@@函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、函数零点的求法：
（代数法）求方程的实数根；
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

二、二次函数的零点：
二次函数．
（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

柒@三角函数
正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函
数
性
质

图象

1、定义域

2、值域

3、最值
当时，；
当时，．
当时，
；
当时，
．
既无最大值也无最小值
4、周期性

5、奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
6、单调性
在
上，是增函数；
在
上，是减函数．
在上，
是增函数；

在上，是减函数．
在上，是增函数．
7、对称性
对称中心
对称轴
对称中对称轴
对称中心
无对称轴

三角函数（记忆）
1、 同角三角函数的基本关系式： ，，，
， ， ，
注意：提高解题速度。勾股数（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）…
2、诱导公式： “奇变偶不变，符号看象限”。
公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 公式组六

积化和差 公式
sin·cos=[sin(+)+sin(-)]，cos·sin=[sin(+)-sin(-)]
cos·cos=[cos(+)+cos(-)]，sin·sin= -[cos(+)-cos(-)]

3、三角函数公式：
两角（和与差）的三角函数关系
sin()=sin·coscos·sin
cos()=cos·cossin·sin

半角 公式
，
=

倍角 公式
sin2=2sin·cos
cos2=cos2-sin2 =2cos2-1 =1-2sin2

升幂 公式
1+cos=，1-cos=
1±sin=()2
1=sin2+ cos2，sin=
降幂公式
sin2，cos2
sin2+ cos2=1，sin·cos=
三倍角公式 ；；

和差化积 公式
sin+sin=
sin-sin=
cos+cos=
cos-cos= -
tan+ cot=
tan- cot= -2cot2， 1±sin=()2
1+cos=， 1-cos=

三角恒等变换：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①是的二倍； 是的二倍； 是的二倍； 是的二倍；
是的二倍； 是的二倍； 是的二倍。
②； ③； ④；
⑤；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：
（4） 幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。
常用形式转换
（1）； （2）
（3）= （4）
（5） （6）
（7）
（8）cos20°cos40°cos80° =

（9），其中．

1、正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2、函数
最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；
其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。

图像的平移
1、对函数y＝Asin(ωx＋j)＋k (A＞0, ω＞0, j≠0, k≠0),其图象的基本变换有：
(1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的．A＞1,伸长；A＜1,缩短．
(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1,伸长．
(3)相位变换(横向平移变换)：是由φ的变化引起的．j＞0,左移；j＜0，右移．
(4)上下平移(纵向平移变换): 是由k的变化引起的．k＞0, 上移；k＜0,下移

4． 由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象.
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。
2、由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：
给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。

3、对称轴与对称中心：
对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。
4、 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负.利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；
5、求三角函数的周期的常用方法：
经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和
定义法。
6、五点法作y=Asin（ωx+）的简图：
五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。
正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

（A、＞0）
定义域
R
R

R
值域

R
R

周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
当非奇非偶
当奇函数

单调性

上为增函数；
上为减函数
（）
；
上为增函数
上为减函数
（）

上为增函数（）

上为减函数（）

上为增函数；

上为减函数（）

1、角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、
弧度与角度互换公式： 1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝≈0.01745（rad）
2、弧长公式：. 扇形面积公式：
3、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点
P（x,y）P与原点的距离为r，
则 ； ； ；
； ； .
4、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

5、三角函数线
正弦线：MP;
余弦线：OM;
正切线：AT.

6、注意要点：①与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.
②与的周期是.
③或（）的周期.
的周期为2（，如图，翻折无效）.
④的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.

⑤当·；·.
⑥与是同一函数,而是偶函数，则
.
⑦函数在上为增函数。（错误说法） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的 必要不充分条件.
（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），
二是满足奇偶性条件， 偶函数：， 奇函数：）
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例：是奇函数，是非奇非偶（定义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）

⑨不是周期函数； 为周期函数（）； 是周期函数（如图）；
为周期函数（）； 的周期为（如图）。 注：并非所有周期函数都有最小正周期。

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等
函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期，频率，相位
初相（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来
的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做 振幅变换 或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）
由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来
的倍，得到y＝sinω x的图象，叫做 周期变换 或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)
由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，
得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做 相位变换 或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)
由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，
得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）
由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，
要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。
三角函数——解三角形常用公式
1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，
则有．
2、正弦定理的变形公式：①，，； ②；
③，，； ④．
3、三角形面积公式：．
4、余弦定理：在中，有，，．
5、余弦定理的推论：，，．
6、设、、是的角、、的对边，则：①若，则；
②若，则； ③若，则．

高中数学函数知识点梳理
1. 函数的单调性
(1)设那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
注：如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数；如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.
2. 奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
注：若函数是偶函数，则；
若函数是偶函数，则.
注：对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数；
两个函数与 的图象关于直线对称.
注：若,则函数的图象关于点对称；
若,则函数为周期为的周期函数.
3. 多项式函数的奇偶性
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
函数的图象的对称性
(1)函数的图象关于直线对称 .
(2)函数的图象关于直线对称 .
4. 两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
(2)函数与函数的图象关于直线对称.
(3)函数和的图象关于直线y=x对称.
(4)若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；
若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.
5. 互为反函数的两个函数的关系
.
若函数存在反函数,则其反函数为,并不是,
而函数是的反函数.
6. 几个常见的函数方程
(1)正比例函数,.
(2)指数函数,.
(3)对数函数,.
(4)幂函数,.
(5)余弦函数,正弦函数，，.
7. 几个函数方程的周期(约定a>0)
（1），则的周期T=a；
（2），
或，或,
或,则的周期T=2a；
(3)，则的周期T=3a；
(4)且，则的周期T=4a；
(5)
,则的周期T=5a；
(6)，则的周期T=6a.
8. 分数指数幂
(1)（，且）. (2)（，且）.
9. 根式的性质
（1）.
（2）当为奇数时，； 当为偶数时，.
10. 有理指数幂的运算性质
(1). (2). (3).
注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

指数式与对数式的互化式 .
对数的换底公式 (,且,,且, ).
推论 (,且,,且,, ).
11. 对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1); (2); (3).
注：设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.
12. 对数换底不等式及其推论
若,,,,则函数
(1) 当时,在和上为增函数.
(2) 当时,在和上为减函数.
推论：设，，，且，则 （1）. （2）.

函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）
“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。

1. 奇偶性
奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：

①f(-x)=f(x)为偶函数； f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶； f(x)+f(-x)=0为奇；
③f(-x)÷f(x)=1是偶； f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.

（1） 若定义域关于原点对称

（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：在上不是奇函数
常用性质：
1．是既奇又偶函数； 2．奇函数若在处有定义，则必有；
3．偶函数满足； 4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；

5．除外的所有函数的奇偶性满足：
（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶
（2）奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数

6． 任何函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和。

2. 单调性
定义：函数定义域为A，区间，若对任意且
① 总有则称在区间M上单调递增
② 总有则称在区间M上单调递减

应用：
（一）常用“定义法”来证明一个函数的单调性
一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论

（二） 求函数的单调区间
定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学)

注：常用结论
（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同
（2） 偶函数在对称区间上的单调性相反
（3） 复合函数单调性-------同增异减（右图）

3. 周期性
（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数，T叫做周期，kT（T的整数倍）也是它的周期
（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。
注：常用结论
（1）若，则是周期函数，是它的一个周期（自己证明）
（2）若定义在R上的函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。（自己证明）
（推论）若定义在R上的偶函数的图象关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期 
（3） 若；；；则是周期函数，2是它的一个周期

4．对称性
一、函数自身的对称性
1、函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是 f (x) + f (－x) = 0
2、函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x)
3、函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是 f (x) = f (－x)
4、若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，
且2| a－b|是其一个周期。

二．不同函数对称性
1、函数y = f (a+x)与y = f (b－x)的图像关于直线x = (b-a)/2成轴对称
2、互为反函数的两个函数关于直线y=x对称

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