“直线的斜率”教学的常见问题与改进措施的分析.pdf

数学教学通讯投稿邮箱：教学反思直线的斜率”教学的常见问题与改进措施的分析姜兴荣江苏省大丰高级中学2 2 4 10 0摘要概念反映的是客观事物的“数”与“形”,是思维的基本形态，亦是构建数学理论的基石概念教学应着重突出概念的提炼过程，引导学生在概念形成过程中体会数学学科独有的理性特征文章以“直线的斜率”的教学为例，从“直线斜率的概念教学”“直线倾斜角与斜率关系的教学”“例题教学”“类比一次函数y=hx+b中h的教学”四个方面，具体谈一谈教学过程中存在的常见问题，并提出改进措施.【关键词】直线的斜率；概念教学；常见问题；改进措施问题的提出章建跃认为：“概念教学应是过程性教学，而非告知式的结果性教学学生在概念学习中应加强自主探究、合作交流与理性思考，通过自我发现建构概念，理解概念本质.但在实际教学中，仍有些教师存在“重解题，轻概念”的观念，认为数学学习的目的就是为了高考,这种功利性的观念导致教学方法出现了偏差，使得部分学生的数学思维受到限制.数学是思维的体操直线的倾斜角与斜率是解析几何的基石,虽然它们概念的难度并不大，但从数学思维的角度来看，这部分内容具有较强的启发性教师若将它们概念直接灌输给学生，会让学生错失一个重要的思考机会。为此，笔者将直线斜率的概念单独列出来进行教学剖析，希望给同行带来一些启示.选择“楼梯的坡度”提出直线的倾斜度,再同理类比到平面直角坐标系中。常见的教学方法为：如图1所PH_2-y1示，引人直线的斜率k=PHx2-x1同时说明1工x轴这种特殊情况；但对于图1这种形态下求直线斜率的问题，并不会做出具体说明.4 Pa(x2,y2)P(x1,y1)H0图1有些教师对于图1这种形态下求直线斜率的问题，会用例题做一些简单说明，如利用=兰二求一个负的X2-1斜率，表明这条直线是从左上向右下倾斜的但是在实际教学过程中，很多学生并不理解为什么图1的形态从视觉效果上来说完全不同观察图形,不难发现I,的倾斜度“大”一些，l,的倾斜度“小”一些,该如何从数学的角度用数学术语将“大”和“小”进行量化呢？图2结合学生之前接触过的“用坡度来刻画倾斜度”的问题，可从如下角度进行思考：如图3 所示，梯子的坡PH度为(P,H/水平线AS,P,HIP.HP,H),保持P,H不变,P,H越大,就越大,梯子的倾斜度就越大，即直线AB的倾斜度就越大因此，可用坡度来表示梯子AB的倾斜度./BP2P同样可以使用=兰二兰,因此教师需教学分析与改进措施X2-X11.直线斜率的概念教学要根据学生的认知特点加以改进.(1)常见问题.(2)改进措施.大部分教师教学直线斜率的概如图2 所示，在平面上随意画两念时，会结合教材与学生的实际情况，条直线。显然，这两条直线的倾斜度HA-S图3但这里存在一个问题，如图3 所示，梯子AB倾斜得“有点过头了”，倒向了另一边对于这种用力过猛HPA2作者简介：姜兴荣（19 6 5 一），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学工作.2023年8 月（下旬）教学反思投稿邮箱：的现象，该怎样来表示它的倾斜度用表示，即=兰.但是用来呢？想象一下，钱“用过头了”会怎样？X2-x1存款变负债.因此，这里可用负数来表示平面直角坐标系中直线的斜率描述这种倾斜得“有点过头”的梯子，会存在一个问题,那就是会出现x,=x2P,H的情况,即在直线1工x轴时,斜率k=规定梯子的坡度为=-PH如图4 所示，对于平面上的任意一条直线的倾斜度，可如此描述：作一条水平线s为基准线，在l,或l,上取任意两点P,P,作P,H/s,P,HIs,则直线的倾斜度表示为PH,直线的P,HPH倾斜度表示为-P,HP2/li12P2PHS图4基于上述分析，接下来将直线1放到平面直角坐标系中.如图5 所示，在直线l,上取任意两点P，Pz,设点P,的坐标为(,y),点P,的坐标为(x2,y2).作P,H/x轴,P,H1x轴,得到PH12-y21.这1,的倾斜度等等.P,Hx-x:直线的斜率的推导过程以及在就是用点Pi,P,的坐标对I,的倾斜度此过程中遇到的一些阻碍及解决办进行表示的过程.法等，不仅让学生积极参与到斜率这P2个数学概念的研究中,还让学生亲历Pi探究问题、解决问题的完整过程,对HH:图5再来看图5，,的倾斜度1-y_2-.这里不难看出:lx2-x;/X2-x,和I,的倾斜度如果用点的坐标来表示，都可以写成兰二的形式.X2-X1综上可知，在平面直角坐标系中，直线的倾斜度都可以用兰来表X2-x示，该式就是我们所称的直线的斜率，682023年8 月（下旬）BV=-tan=-tan(180-)=tan(此X2-X1AN处规定tan=-tan(180-).BA.N2一不存在了.2-1这种情况并不影响我们使用k=-来表示一般直线的斜率，只需2-X要做一个特殊说明即可，也就是：当直线1工x轴时，直线的斜率不存在；当直线1不垂直于x轴时，直线的斜率h=兰(其中当k0时,直线如图5 X2-X1所示；当k90,但依然可以用的大小来描述梯子的倾斜度.A数学概念形成了更深层次的理解，为B后续解题更好地运用此概念奠定了基础,这是数学教学的根本目的所在.2.直线倾斜角与斜率关系的教学(1)常见问题.作为此课堂教学的第二个环节，不少教师直接向学生呈现了直线倾斜角这个概念，随之引导学生探索斜率与倾斜角之间的关系.常见的教学方法为：如图6 所示,若直线的斜率为正,则直线的倾斜角是锐角,斜率h=BN=tan;AxAN如图6 所示，若直线1的斜率为负，则直线/的倾斜角是钝角,斜率t=会=AxB2图7如图8 所示，以s为水平基准线，对于平面上的任意一条直线的倾斜度,都可以用来描述,为直线的倾斜角从这几幅图出发，可总结如下：当直线向右倾斜时，0 90；当直线向左倾斜时,9 0 教学反思融会贯通的目的因此,教师在实际一次函数y=kx+b(k0)中的k.在一教学过程中，应对该例题教学进行适次函数y=kx+b(k0)的图象上,任意当改进.取两点P(1,yi),P(2,y2),根据函数P(2)改进措施.H第一步，带领学生回顾斜率的定图9义k=兰,以引发学生思考:在所求X2-1的直线上任取一点P(s,y),则h=2x-34得22-4x,此时任意取相对应55的x和y可得点P的坐标,过点P与(3,2)的直线即所求直线.这种直接运用斜率概念解题的方法是通性通法，教师在课堂上可优先引导学生进行应用其实，遇到实际问题时，学生首先也会考虑利用斜率的概念来解决问题.第二步，运用增量法来分析问题.上述教师采用“将点(3,2)向下平移4个单位，再向右平移5 个单位得到点(8,-2)的方法,这只是一个特例,是4所选择的一样一个结论：想要提升学生的数学学根据斜率K=5x2-x,=5,(x2=5+X1,个特例,即得(y2-i=-4,ly2=-4+y/个特例能让学生快速理解增量法的来龙去脉,即点(3,2)是如何平移到点(8,-2)的.除了该特例,还有其他一般的取值法及平移法，只有带领学生厘清平移的本质，让学生明白“如何选择平移的距离”这个问题，才能让学生从真正意义上弄清增量法的内涵4.类比一次函数y=kx+b中k的教学(1)常见问题.在初中阶段,学生接触过一次函数y=kx+b(k0)的图象,那是一条直线，根据其图象特征不难发现：k不同，直线的倾斜程度也不同那么，一次函数中的与本堂课所研究的直线的斜率有没有什么联系呢？不少教师在教学中，常忽略掉了这个问题.(2)改进措施.教师可带领学生重新认识一下解析式有y,=kx,+b,y2=kx,+b,将两式相减可得y2-y,=h(x2-x,).因为h0,且取的是不同的两点,所以x,2,得1=兰二,这同样是本堂课所学的关于直线斜率的描述.由此可见，在初中阶段，学生接触过的一次函数y=kx+b(k0)的直线图象的斜率就是k，且k决定着一次函数的直线图象的倾斜度.随着类比活动的开展，学生再次复习、巩固了对一次函数的直线图象的认识,这种教学方式有助于学生对数学结构与本质的理解,能完善学生的认知结构,帮助学生建构完整的知识网络，达到融会贯通的目的基于本堂课的教学分析、案例展示以及教学措施的改进，不难得出这习能力，帮助学生构建完整的认知体系，实际教学可从“宏观梳理 的角度这对核心知识进行分析,为构建科学的数学思想方法奠定基础.同时，对于知识本质的理解异常重要，只有让学生亲历过程、学会思考，才能从真正意义上实现数学能力与核心素养的提升2 总之，概念教学是数学教学的基础，在实际教学中，教师不仅要带领学生亲历概念形成与发展的过程，还要引导学生抽象表征与实际应用概念,只有做好知识的类比与迁移，才能让学生高屋建领地掌握知识的本质，获得触类旁通的学习能力.参考文献：1邵光华，章建跃数学概念的分类、特征及其教学探讨J课程教材教法,2 0 0 9,2 9(0 7):4 7-5 1.2任子朝，陈昂.实施课程标准后高考数学能力考查研究J数学通报,2 0 12,5 1(0 1):1-5.2023年8 月（下旬）69