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,单击此处编辑母版标题样式,*,第二章 晶体振动,第一节 一维单原子晶格振动,x,n+1,x,n+2,x,n,x,n-1,x,n-2,n,n+1,n+2,n-2,n-1,第,n,个原子和第,n+1,个原子间相对位移,是,=x,n+1,-x,n,第1页,第1页,平衡位置时,两原子间互相作用势能,U(a),，产生相对位移后,，互相作用势能变成,U(a+,),。将,U(a+,),在平衡位置附近用泰勒级数展开：,恢复力为,简谐近似,第2页,第2页,第,n,个原子受到,n-1,个原子和,n+1,个原子作用力分别为,合力：,运动方程：,解：,第3页,第3页,qa：,相邻原子位相差,简谐波,A:,振幅,q:,波矢,:,角频率,qna：,第,n,个原子振动位相因子,第4页,第4页,A：所有原子都以角频率,和振幅,A,作简谐振动,C,：假如第,m,个原子与第,n,个原子位相差为,mqa-nqa=2,S,时，（,S,为整数），则有：,B：相邻两个原子位相差为,第5页,第5页,在晶体中存在着角频率为,平面波,晶格振动是以平面波形式在晶体中传播-格波,n+2,n-2,n+1,n-1,n,第6页,第6页,max,max,O,/a,-,/a,q,格波色散关系,=,max,q=0,=,min,=0,第7页,第7页,A：长波极限,q,0,相速度与波长无关，与宏观弹性波一致,波长,时，相邻原子振动互相差别不大，,能够当作连续线来看待。,第8页,第8页,B：短波极限,q,增长，色散曲线逐步偏离直线向下弯曲,=,max,，,=,2a,C：色散关系周期性和对称性,偶对称,第9页,第9页,基本周期,例,其它周期,第10页,第10页,第二节 一维双原子晶格振动,1.运动方程,A、B分别为m、M原子振幅，,q,为波矢,第11页,第11页,2色散关系,有非零解，系数行列式为零,第12页,第12页,光学支,声学支,第13页,第13页,声学支振动,x1,第14页,第14页,长波极限,q,0,，,原胞中两种原子运动完全一致,长声学波时，声学波实际代表原胞质心振动,第15页,第15页,短波极限,A=0，但B0,短波极限，轻原子不振动，重原子振动,第16页,第16页,普通情况,0|q|0,声学波相邻原子沿同一方向振动,第17页,第17页,光学支振动,第18页,第18页,长波极限 q,0,折合质量：,u=Mm/(M+m),长光学波，异类原子反向振动，原胞质心不动,第19页,第19页,短波极限,B=0，但A0,短波极限，重原子不振动，轻原子振动,第20页,第20页,普通情况：,0|q|0,光学波相邻原子沿相反方向振动,第21页,第21页,第三节 周期边界条件与格波数,实际晶体由有限个原子构成，,必须考虑在一定边界条件下格波波矢取值范围,周期边界条件,波恩和卡门,边界条件,1,2,3,N,N-1,1,N,第22页,第22页,一维布拉菲格子,qNa=2,S,边界条件,S,只能取,N,个值，因而,q,也只能取,N,个值,S,只能取,N,个值，因而,q,也只能取,N,个值,一维复式格子,第23页,第23页,晶格振动格波数,几种基本概念,格波个、支数(1维),原子自由度,原胞原子自由度总数,晶体原胞自由度总数,一维，N个原胞,布拉菲格子：,N个格波,复式格子：,每个,q,有两个频率：,一声，一光，,共有2N个格波,有N个,q,值,第24页,第24页,总结,格波支数=每个原胞中原子自由度总数,每支格波包括格波数=晶体中原胞数,总格波数=晶体中原子自由度总数,例：二维晶体中有10个原胞，每个原胞有4个,原子。,三维晶体中有N个原胞，每个原胞有n个,原子。,第25页,第25页,第四节 晶格振动量子化与声子,晶格,振动,格波,简谐波,独立,模式,独立简,谐振子,声子,晶格振动普通解简正表示,第26页,第26页,第27页,第27页,晶格振动总能量简正表示,动能,势能,第28页,第28页,总能量,N,个独立谐振子总能量,第29页,第29页,声子,谐振子能量,三维情况下,晶格振动能量是量子化,晶格振动能量子称为“声子”，,它是晶格振动能量最小单位,。,第30页,第30页,第五节 晶格比热,比热定义：,一、晶格比热量子理论,思想：,晶格振动能量是量子化，,振动频率为,一个谐振子能量为：,求出总能量：,表示角频率在,+d,间格波数,第31页,第31页,温度很低时,比热随温度减少,而快速减少,与试验相符,比热为常数，,与杜隆-珀替定律一致,温度很高时,第32页,第32页,如何确立,二、爱因斯坦模型,思想：晶体中所有原子都以同种频率振动,高温下试验符合得也较好,低温下与试验只能定性地符合,其中,由于普通在红外区域，忽略了低频影响所至。,第33页,第33页,三、德拜模型,思想：布拉菲晶格看作是各向同性连续介质,温度越低符合得越好,由于非常低温下，主要是长波激发，晶格看作连续介质。,在高温下，有长波、有短波，有声学波，有光学波，,不能再把晶格看作连续介质,其中,第34页,第34页,
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