江苏省盐城市高三上学期期中数学试卷解析版doc.doc

2016-2017学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．函数y=2sin（πx+）的最小正周期是　2　．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．
【解答】解：函数y=2sin（πx+）的最小正周期是=2，
故答案为：2．

2．设向量=（2，﹣6），=（﹣1，m），若∥，则实数m=　3　．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】利用向量共线定理，列出方程求解即可．
【解答】解：向量=（2，﹣6），=（﹣1，m），若∥，
可得2m=6，解得m=3．
故答案为：3．

3．命题p：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0是　真　命题（选填“真”或“假”）．
【考点】命题的真假判断与应用；二次函数的性质．
【分析】举出正例x0=﹣1，可判断命题的真假．
【解答】解：x2+2x+1=0的△=0，
故存在∃x0=﹣1∈R，使x02+2x0+1≤0成立，
即命题p：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0是真命题，
故答案为：真．

4．已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=　{1，4}　．
【考点】交集及其运算．
【分析】把A中元素代入y=3x﹣2中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：把x=1，2，3，4分别代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，
∵A={1，2，3，4}，
∴A∩B={1，4}，
故答案为：{1，4}，

5．已知函数f（x）=ax﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象一定过定点　（1，4）　．
【考点】指数函数的图象变换．
【分析】由指数函数恒过定点（0，1），再结合函数的图象平移得答案．
【解答】解：∵y=ax恒过定点（0，1），
而函数f（x）=ax﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象是把y=ax的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，
∴函数f（x）=ax﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象一定过定点（1，4）．
故答案为：（1，4）．

6．在等比数列{an}中，已知a1+a2=1，a3+a4=2，则a9+a10=　16　．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由{an}是等比数列，可得a1+a2，a3+a4，…，a9+a10构成等比数列，再由等比数列的通项公式求解．
【解答】解：在等比数列{an}中，由a1+a2=1，a3+a4=2，
可得a9+a10=（a1+a2）×24=1×24=16．
故答案为：16．

7．若函数f（x）=x3+x2﹣ax+3a在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是　（﹣∞，3]　．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】首先对f（x）求导：f'（x）=x2+2x﹣a；函数f（x）=x3+x2﹣ax+3a在区间[1，2]上单调递增即导函数f'（x）在[1，2]上恒有f'（x）≥0；
【解答】解：对f（x）求导：f'（x）=x2+2x﹣a；
函数f（x）=x3+x2﹣ax+3a在区间[1，2]上单调递增
即导函数f'（x）在[1，2]上恒有f'（x）≥0；
f'（x）为一元二次函数，其对称轴为：x=﹣1，开口朝上，
故f'（x）在[1，2]上为单调递增函数；
故只需满足：f'（1）≥0 解得：a≤3；
故答案为：（﹣∞，3]．

8．已知sinα=，且α为钝角，则cos=　　．
【考点】半角的三角函数．
【分析】根据题意，由余弦的二倍角公式可得cos=，又由α是钝角，可得的范围，由此可得cos的符号为正，即可得答案．
【解答】解：∵由α是钝角，即90°＜α＜180°，则45°＜＜90°，
∴cosα＜0，cos＞0，
∴cosα=﹣=﹣，
∴cos===．
故答案为：．

9．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最大内角等于　　．
【考点】余弦定理．
【分析】根据正弦定理化简已知的比例式，得到三边之比，然后设出三角形的三边长，利用大边对大角找出最大角，根据余弦定理表示出最大角的余弦值，把三边长代入即可求出余弦值，由三角形内角的范围，根据特殊角的三角函数值即可求出最大角的度数．
【解答】解：由sinA：sinB：sinC=3：5：7，
根据正弦定理==得：a：b：c=3：5：7，
设a=3k，b=5k，c=7k，显然C为最大角，
根据余弦定理得：cosC===﹣，
由C∈（0，π），得到C=．
故答案为：

10．已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=ex+x2，则曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为　﹣2　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设x＞0，则﹣x＜0，运用已知解析式和奇函数的定义，可得x＞0的解析式，求得导数，代入x=1，计算即可得到所求切线的斜率．
【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，f（﹣x）=e﹣x+x2，
由f（x）为奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），
即f（x）=﹣e﹣x﹣x2，x＞0．
导数为f′（x）=e﹣x﹣2x，
则曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为﹣2．
故答案为：﹣2．

11．若函数f（x）=在区间（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是　[﹣1，0]　．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】反比例函数y=的在区间（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递减，要使x＜a在区间（﹣∞，a）上单调递减，那么：a≤0．在（a，+∞）上单调递增，则函数y=|x+1|的单调增区间必须在（a，+∞）内，则a+1≥0，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：函数f（x）=，根据反比例函数的性质可知，在区间（﹣∞，0）上单调递减，要使函数f（x）在区间（﹣∞，a）上单调递减，则：a≤0．
那么：函数f（x）=|x+1|在（a，+∞）上单调递增，那么：a+1≥0，解得：a≥﹣1．
故得实数a的取值范围是[﹣1，0]．
故答案为：[﹣1，0]．

12．在数列{an}中，a1=﹣2101，且当2≤n≤100时，an+2a102﹣n=3×2n恒成立，则数列{an}的前100项和S100=　﹣4　．
【考点】数列的求和．
【分析】当2≤n≤100时，an+2a102﹣n=3×2n恒成立，可得：a2+2a100=3×22，a3+2a99=3×23，…，a100+2a2=3×2100，累加可得数列{an}的前100项和．
【解答】解：∵当2≤n≤100时，an+2a102﹣n=3×2n恒成立，
∴a2+2a100=3×22，
a3+2a99=3×23，
…，
a100+2a2=3×2100，
∴（a2+2a100）+（a3+2a99）+…+（a100+2a2）=3（a2+a3+…+a100）
=3（22+23+…+2100）==3．
∴a2+a3+…+a100=2101﹣4，
又a1=﹣2101，
∴S100=a1+a2+a3+…+a100=﹣4．
故答案为：﹣4．

13．在△ABC中，已知AC=4，C=，B∈（，），点D在边BC上，且AD=BD=3，则•=　6　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据条件画出图形，容易判断出∠BDA为锐角，而在△ACD中，根据正弦定理可求出sin∠ADC的值，进而得出cos∠BDA的值，而，，这样带入进行数量积的运算即可求出该数量积的值．
【解答】解：如图，
AD=BD；
∴∠DAB=∠B；
∵；
∴；
在△ACD中，AC=4，AD=3，C=，由正弦定理得：
；
即；
∴；
∴；
∴
=
=
=6．
故答案为：6．

14．设函数f（x）=kx2﹣kx，g（x）=，若使得不等式f（x）≥g（x）对一切正实数x恒成立的实数k存在且唯一，则实数a的值为　2　．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】根据题意：g（x）=lnx（x≥1），图象过（1，0），所以二次函数图象过（1，0），即k=1，可得函数f（x）=x2﹣x，当0＜x＜1时，要使f（x）对一切正实数x恒成立，即x2﹣x≥﹣x3+（a+1）x2﹣ax．利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：由题意：函数f（x）=，g（x）=，
当g（x）=lnx（x≥1），图象过（1，0），使得不等式f（x）≥g（x）对一切正实数x恒成立的实数k存在且唯一，即kx2﹣kx﹣lnx≥0，令m（x）=kx2﹣kx﹣lnx≥0
则m′（x）=2kx﹣k﹣≥0．
实数k存在且唯一，当x=1时，解得k=1．
即k=1．可得函数f（x）=x2﹣x．
当0＜x＜1时，要使f（x）≥g（x）对一切正实数x恒成立，即x2﹣x≥﹣x3+（a+1）x2﹣ax．
令h（x）=x2﹣ax+a﹣1≥0，
∵对一切正实数x恒成立且唯一，
∴△=a2﹣4（a﹣1）=0，
解得：a=2．
故答案为：2．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0； q：实数x满足＜0．
（1）若a=1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可化简命题p，q，若p∨q为真，则p，q至少有1个为真，即可得出；
（2）根据p是q的必要不充分条件，即可得出．
【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a，
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．…
q为真时等价于（x﹣2）（x﹣3）＜0，得2＜x＜3，…
即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜3．
若p∨q为真，则实数x的取值范围是1＜x＜3．…
（2）p是q的必要不充分条件，等价于q⇒p且p推不出q，
设A={x|a＜x＜3a}，B={x|2＜x＜3}，则B⇐A； …
则，
所以实数a的取值范围是1≤a≤2．…

16．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求A，ω，φ的值；
（2）设θ为锐角，且f（θ）=﹣，求f（θ﹣）的值．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】（1）由图象可得A，最小正周期T，利用周期公式可求ω，由，得，k∈Z，结合范围0＜φ＜π，可求φ的值
（2）由已知可求，由，结合，可得范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos（2θ+）的值，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．
【解答】（本题满分为14分）
解：（1）由图象，得，…
∵最小正周期，
∴，…
∴，
由，得，k∈Z，
∴，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴．…
（2）由，得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，…
∴==．…

17．如图，在四边形ABCD中，||=4， •=12，E为AC的中点．
（1）若cos∠ABC=，求△ABC的面积S△ABC；
（2）若=2，求•的值．

【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）容易求出sin∠ABC=，并且可求出的值，根据三角形面积公式即可求出△ABC的面积；
（2）可以E为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，并可得到A（﹣2，0），C（2，0），并设D（x，y），根据条件可求得E点坐标，从而求出的坐标，进行数量积的坐标运算即可求得x2+y2=4，这样便可求出的值．
【解答】解：（1）∵，∠ABC∈（0，π）；
∴；
∵=；
∴；
∴=；
（2）以E为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系：

则A（﹣2，0），C（2，0），设D（x，y）；
由，可得B（﹣2x，﹣2y）；
则=12；
∴x2+y2=4；
∴．

18．如图所示，有一块矩形空地ABCD，AB=2km，BC=4km，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG，筝形的顶点A，E，F，G为商业区的四个入口，其中入口F在边BC上（不包含顶点），入口E，G分别在边AB，AD上，且满足点A，F恰好关于直线EG对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区．
（1）请确定入口F的选址范围；
（2）设商业区的面积为S1，绿化区的面积为S2，商业区的环境舒适度指数为，则入口F如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？

【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），设F（2，2a）（0＜2a＜4），则AF的中点为（1，a），斜率为a，EG⊥AF，求出EG的方程，列出不等式即可求出；
（2）因为，该商业区的环境舒适度指数，所以要使最大，只需S1最小．转化为求其最小值．
【解答】解：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），
设F（2，2a）（0＜2a＜4），则AF的中点为（1，a），斜率为a，
而EG⊥AF，故EG的斜率为，
则EG的方程为，
令x=0，得；
令y=0，得；
由，得，
∴，
即入口F的选址需满足BF的长度范围是（单位：km）．
（2）因为，
故该商业区的环境舒适度指数，
所以要使最大，只需S1最小．
设，
则，
令f'（a）=0，得或（舍），
a，f'（a），f（a）的情况如下表：
a
2﹣
（2﹣，）

1
f'（a）

﹣
0
+

f（a）

减
极小
增

故当，即入口F满足km时，该商业区的环境舒适度指数最大．

19．设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．
（1）若直线y=3x﹣1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在[1，e2]上的最大值为1﹣ae（e为自然对数的底数），求实数a的值；
（3）若关于x的方程ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出原函数的导函数，得到x=，求出f（）=ln﹣，代入直线y=3x﹣1求得a值；
（2）求出原函数的导函数，然后对a分类得到函数在[1，e2]上的单调性，并进一步求出函数在[1，e2]上的最大值，由最大值等于1﹣ae求得a值；
（3）把ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）转化为ln（2x2﹣x﹣3t）（2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t）（x﹣t），构造函数g（x）=lnx+，则g（x）在（0，+∞）上是增函数，得到，画出图形，数形结合得答案．
【解答】解：（1）由f（x）=lnx﹣ax，得f′（x）==3，
∴x=，则f（）=ln﹣，
∴ln﹣=，得ln=0，即a=﹣2；
（2）f′（x）=，
当a≤时，f′（x）≥0在[1，e2]上恒成立，故f（x）在[1，e2]上为增函数，
故f（x）的最大值为f（e2）=2﹣ae2=1﹣ae，得（舍）；
当＜a＜1时，若x∈[1，]，f′（x）＞0，x∈[]，f′（x）＜0，
故f（x）在[1，e2]上先增后减，故，
f（1）=﹣a，f（e2）=2﹣ae2，
即当时，，得（舍）；
当时，f（x）max=﹣a=1﹣ae，得a=；
当a≥1时，故当x∈[1，e2]时，f′（x）≤0，f（x）是[1，e2]上的减函数，
故f（x）max=f（1）=﹣a=1﹣ae，得a=（舍）；
综上，a=；
（3）ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）⇔ln（2x2﹣x﹣3t）（2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t）（x﹣t），
令g（x）=lnx+，则g（x）在（0，+∞）上是增函数，
又g（2x2﹣x﹣3t）=g（x﹣t），
∴2x2﹣x﹣3t=x﹣t⇒2（x2﹣x﹣t）=0，
即⇒，
作出图象如图：由图可知，实数t的取值范围是t=﹣或0＜t＜2．

20．若数列{an}中的项都满足a2n﹣1=a2n＜a2n+1（n∈N*），则称{an}为“阶梯数列”．
（1）设数列{bn}是“阶梯数列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），求b2016；
（2）设数列{cn}是“阶梯数列”，其前n项和为Sn，求证：{Sn}中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；
（3）设数列{dn}是“阶梯数列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），记数列{}的前n项和为Tn，问是否存在实数t，使得（t﹣Tn）（t+）＜0对任意的n∈N*恒成立？若存在，请求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．
【考点】数列递推式；等差数列的通项公式．
【分析】（1）设数列{bn}是“阶梯数列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），b2016=b2015，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由数列{cn}是“阶梯数列”，可得c2n﹣1=c2n．即可得出S2n﹣1﹣S2n﹣2=S2n﹣S2n﹣1，即可证明{Sn}中存在连续三项成等差数列．假设{Sn}中存在连续四项成等差数．Sn+1﹣Sn=Sn+2﹣Sn+1=Sn+3﹣Sn+2，可得an+1=an+2=an+3，得出矛盾．
（3）设数列{dn}是“阶梯数列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），利用等差数列的通项公式可得：d2n﹣1=2n﹣1=d2n． ==．n=2k（k∈N*）时，Tn=T2k=++…+=2，利用“裂项求和”及其数列的单调性可得Tn∈，由（t﹣Tn）（t+）＜0，可得＜t＜Tn．n=2k﹣1（k∈N*）时，Tn=T2k﹣=T2k﹣，同理可得．
【解答】（1）解：设数列{bn}是“阶梯数列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），
∴数列{b2n﹣1}是等比数列，首项为1，公比为9．
∴b2016=b2015=b2×1008﹣1=1×91008﹣1=91007=32014．
（2）证明：∵数列{cn}是“阶梯数列”，∴c2n﹣1=c2n．
∴S2n﹣1﹣S2n﹣2=S2n﹣S2n﹣1，因此{Sn}中存在连续三项成等差数列．
假设{Sn}中存在连续四项成等差数．∴Sn+1﹣Sn=Sn+2﹣Sn+1=Sn+3﹣Sn+2，
∴an+1=an+2=an+3，
n=2k﹣1时，a2k=a2k+1=a2k+2，与数列{cn}是“阶梯数列”矛盾；
同理n=2k时，也得出矛盾．
（3）解：设数列{dn}是“阶梯数列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），
∴数列{d2n﹣1}是等差数列，公差为2，首项为1．
∴d2n﹣1=1+2（n﹣1）=2n﹣1=d2n．
===．
n=2k（k∈N*）时，Tn=T2k=++…+
=2
=2××
=1﹣=1﹣=．
∴Tn∈，∈．
∴（t﹣Tn）（t+）＜0，
∴＜t＜Tn，解得﹣1≤t．①
n=2k﹣1（k∈N*）时，Tn=T2k﹣=T2k﹣
=1﹣﹣（12k﹣1﹣12k+1）=1﹣∈，
∴∈[﹣3，﹣1）．
∴（t﹣Tn）（t+）＜0，
∴＜t＜Tn，∴﹣1≤t．②．
由①②可得：实数t的取值范围是﹣1≤t．

2016年12月3日