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重庆文科数学全解析—2011年普通高等学校招生全国统一考试

共4页 满分150分 考试时间120分钟
注意事项：
1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5. 考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
１.在等差数列中，, ,则
（Ａ）１２　　　（Ｂ）１４ （Ｃ）１６　　　（Ｄ）１８
【命题意图】本题考查等差数列通项公式，是送分题.
【解析】∵,,∴=2，∴=18，故选D.
２.设,，则=
（Ａ）[0,2]　　　（Ｂ） （Ｃ）　　（Ｄ）
【命题意图】本题考查一元二次不等式解法和集合的补集运算，是容易题.
【解析】由题知={|＜0或＞2}，∴=[0,2]，故选A.
3.曲线在点（1，2）处的切线方程为
(A) 　　　(B) (C) (D)
【命题意图】本题考查利用导数求函数的切线，是容易题.
【解析】∵=,∴切线斜率为3，则过（1,2）的切线方程为，即，故选A.
4.从一堆苹果中任取10只称得它的质量如下（单位：克）
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134
则样本数据落在[114.5,124.5）内的频率为
(A)0.2　　　　(B)0.3 (C)0.4 (D)0.5
【命题意图】本题考查统计数据分析与处理、频率的计算，是容易题.
【解析】有数据知样本数据落在[114.5,124.5）内的频数为4，
∴样本数据落在[114.5,124.5）内的频率为0.4,故选C.

5. 已知向量=(1,) ,=(2,2) ,且与共线,那么的值为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【命题意图】本题考查向量共线的充要条件、向量数量积的计算，是简单题.
【解析】=(3,), ∵与, ∴,解得=1，
∴==4，故选D.
6.设=,=,=,则,,的大小关系是
(A) ＜＜　　　　(B) ＜＜ (C) ＜＜　　　　(D) ＜＜
【命题意图】本题考查对数函数的图像与性质，是简单题.
【解析】∵与在（0，+∞）都是减函数，且0＜＜1,0＜＜1，
∴=＞0，=＞0，
又∵在（0，+∞）上是增函数，且0＜＜1，∴=＜0，即最小，只有B符合，故选B.
7.若函数=（＞2）在=处有最小值，则=
（A） （B） （C）3 （D）4
【命题意图】本题考查利用均值不等式求最值，考查学生转化与化归能力、运运算求解能力，是中档题.
【解析】∵＞2，∴==≥=4，
当且仅当即=3时，即=3，=4，故选C.
8.若△的内角满足==，则
（A） （B） （C） （D）
【命题意图】本题考查正余弦定理及其应用，是中档题.
【解析】由==得，：：=2:3:4，
由正弦定理知，：：=2:3:4，设=2，=3，=4，（＞0），
则==，故选D.
9.设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点为在以才为之直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为
（A） （B） （C） （D）
【命题意图】本题考查双曲线的性质、点与圆的位置关系，考查学生转化与化归能力、解不等式能力，难度较大.
【解析】双曲线的左准线为=，渐近线方程为，联立解得（，），
∴=，根据题意得，＜，即，即，即，即，即，又＞1，,1＜＜，故选B.

10.高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、、、、均在半径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为
（A） （B） （C） （D）
【命题意图】本题考查四棱锥与其外接球的相关知识，考查空间想象能力、转化化归能力以及运算求解能力，是难题.
【解析】如图，设四棱锥的外接球球心为，则⊥面，在中，=1，,∴=，
∵设四棱锥的高=，∴∥且=，
取的中点，连结，则四边形为矩形，∴⊥，=，在中，=1，则=，∴=，
在中，== ,故选A.
二.填空题，本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上
11. 的展开式中的系数是 .
【命题意图】本题考查二项展开式的通项公式及组合数公式，是容易题.
【解析】是展开式的第5项，其系数为=240.
【答案】240
12.若=，且，则＝
【命题意图】本题考查同角三角函数基本关系，是简单题.
【解析】∵=，且，∴，∴==.
【答案】
13.过原点的直线与圆相交所得的弦长为2，则该直线的方程为 .
【命题意图】本题考查圆截直线所得弦长计算以及直线方程,是容易题.
【解析】圆化为标准方程为，知圆心为（1,2），半径为1，
又∵相交弦长为2，∴直线过圆心，∴直线方程为.
【答案】
14.从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为
【命题意图】本题考查组合计算和等可能事件的概率计算，是中档题.
【解析】10位同学任选3人共有种选法,其中含甲不含乙共有种选法，故所选3位中有甲但没有乙的概率为=.
【答案】
15.若实数，，满足=,=，则的最大值是 .
【命题意图】本题考查基本不等式的应用，指数、对数等相关知识，考查了转化与化归思想，是难题.
【解析】∵=≥，∴≥4，
又∵=，∴=，∴=≥4，即≥4，即≥0，∴≤，∴≤=，∴的最大值为.
【答案】
三、解答是：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分.)设{}是公比为正数的等比数列，=2,=.
(Ⅰ)求{}的通项公式;
(Ⅱ)设{}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}的前项和.
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式和等比数列、等差数列的前项和公式，考查函数与方程思想和运算求解能力，是简单题.
【解析】(Ⅰ)设等比数列{}的公比为，由=2,=知，，
即，解得=2或=－1（舍去），∴=2，
∴{}的通项公式=（）；
(Ⅱ) ==.
17.(本小题满分13分，(Ⅰ)小问6分，(Ⅱ)小问7分.)某市公租房的房源位于、、三个片区.设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的.求该市的4位申请人中:
(Ⅰ)没有人申请A片区房源的概率;
(Ⅱ)每个片区的房源都有人申请的概率.
【命题意图】本题考查应用排列组合知识和两个计数原理求等可能事件的概率、独立重复试验，考查运用概率知识分析解决问题能力，是中档题.
【解析】(Ⅰ) (法1)设事件A表示“没有人申请A片区房源”所有可能的申请方式有种，其中没有人申请A片区房源方式有种，则没有人申请A片区房源的概率为==.
（法2）设“申请A片区房源”为事件A，
∵每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，
∴=,
对每位申请房源作为一次试验，应为每人申请房源相互独立，4人申请房源可以看成4次独立重复试验，故没人申请A片房源的概率为==；
(Ⅱ)记“每个片区的房源都有人申请”为事件B,所有可能的申请方式有种，其中每个片区的房源都有人申请的方式有种，
∴每个片区的房源都有人申请的概率为==.

18. (本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分.)设函数=（）.
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)若函数的图象按=（，）平移后得到函数的图象,求在[0，]上的最大值.
【命题意图】本题考查诱导公式、两角和与差的正余弦公式、周期公式、向量平移、三角函数在某个区间上的最值求法和运算求解能力，是中档题.
【解析】(Ⅰ) ==
=，
∴的最小正周期为==.
(Ⅱ)依题意得==
=
当∈[0,]时，∈，∴≤≤，
∴≤≤， ∴在[0,]的最大值为.

19. (本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)设=的导数为,若函数=的图象关于直线=对称，且=0.
(Ⅰ)求实数,的值;
(Ⅱ)求函数的极值.
【命题意图】本题考查考查利用导数求函数的极值、二次函数的图像与性质，考查方程与不等式思想、转化和化归思想，属容易题.
【解析】(Ⅰ)=,
∵若函数=的图象关于直线=对称，且=0,
∴=且，解得=3，=－12.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知=，
==，
的变化如下：

（－∞，－2）
－2
（－2,1）
1
（1，+∞）

+
0
－
0
＋

极大值21

极小值－6

∴当=－2时，取极大值，极大值为21，
当=1时，取极小值，极小值为－6.

20.(本小题满分12分，(Ⅰ)小问6分，(Ⅱ)小问6分.如图，在四面体中，平面⊥平面，⊥，==2，==1.
(Ⅰ)求四面体的体积;
(Ⅱ)求二面角的平面角的正切值.
【命题意图】本题考查简单几何体的体积计算、二面角的求法，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及转化与化归思想，是中档题.
【解析】(Ⅰ) 如图，过作⊥于，∵平面⊥平面，
∴⊥平面，则是四面体的面上的高，
设中点为，∵==2，∴⊥，
∴===,
∵=, ∴==,
在中，==,∴==,
∴四棱锥的体积==.
(Ⅱ)（几何法）过作⊥与，连结，由(Ⅰ)知⊥面，
由三垂线定理知⊥，∴为二面角的平面角，
在中，===,
在中，∥， ∴, ∴==,
在中，==.

21. (本小题满分12分，(Ⅰ)小问4分，(Ⅱ)小问8分.)如图，椭圆的中心为原点，离心率=,一条准线的方程是=.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设动点满足:=,其中,是椭圆上的点，直线与的斜率之积为.问:是否存在定点,使得与点到直线：=的距离之比为定值？若存在,求的坐标;若不存在,说明理由.
【命题意图】本题考查了椭圆标准方程的求解与椭圆的定植问题，考查学生综合运用知识解决问题能力、运算求解能力和探究问题能力，难度较大.
【解析】(Ⅰ) ∵==,=,解得=2，=，∴==2，
∴椭圆的标准方程为；
(Ⅱ)设P(，)，，，则由=，得
==，
∴=，=，
∵,在椭圆上，∴，，
∴==
==.
设,分别表示直线，的斜率，由题设条件知，==，
∴， ∴=20，
∴点在椭圆上，该椭圆的右焦点为(,0),离心率=，右准线为：=，
∴根据椭圆的第二定义，存在定点(,0)，使得与点到直线的距离之比为定值.