圆综合题.doc

1.武汉中考题）如图，AB为O的直径，AC为弦，BAC的平分线AD交O于D点，DEAC，交AC的延长线于点E，OE交AD于F.（1）求证：DE是O的切线.（2）若AC=3，BC=5，求BD的值.2（2009武汉4月调考题）如图，已知ABC，以边BC为直径的圆与边AB交于点D，点E为的中点，AF为BAC的平分线，且AFEC（1）求证：AC与O相切；（2）若AC6，BC8，求EC的长.3（2009武汉5月调考题）如图，已知在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作DFAC于F.（1）求证：DF为O的切线；（2）若DE=，AB=，求AE的长. 3（2008武汉5月调考）如图，在RtABC中，C=900，以AC为直径作O，交AB于D点，过点O作OEAB，交BC于E.（1）求证：ED为O的切线（2）若O的半径为3，ED=4，设EO的延长线交O于F，连接DF、AF，求ADF的面积.5（2007武汉4月调考）如图，在RtABC中，ACB90o，AC6，AB10，以AC为直径作O交AB于E，D为BC上一点，连AD交O于G，连CG、BG.（1）求证：；（2）连CE，若CBGGCE，求BD的长. 专题讲练43切线的证明一、运用角度转化K【例】如图，在ABC中，CE平分ACB交AB于E，F为CE上一点，AEAF，AF交BC边于D点，过ABD作O，求证：AC是O的切线. 1如图，AB=BC，以AB为直径的O交AC于点D，过D作DEBC，垂足为E。求证：DE是O的切线；2、如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以 OA长为半径的O与ADAC分别交于点E、F。ACB=DCE求证：直线CE是O的切线；M3已知，圆O为ABC的外接圆=，求证：PC为圆O的切线. 4如图，在ABC中，以AB为直径作O，交AC于E点，点D为的中点，DB交AC于F，BCCF，求证：BC为O的切线.二、运用全等、相似、勾股定理逆定理【例1】如图，AB是O的直径，BCAB于点B，连OC，弦AD/OC，求证：CD是O的切线.【例2】如图，直线PCD经过O点，ABCD于E，点F在圆O上，求证：PA为圆O的切线.【例3】如图，CD=BC，连AC，点O在AC上，OEAB于E，以 FNMO为圆心，OE为半径作圆O，求证：AD为圆O的切线1如图，正方形ABCD中，以C为圆心CD为半径的圆交以AB为直径的O于E，CE交AD于F.求证：CF与O相切.3如图，CD为圆O的直径，AB为弦，ABCD，AB=8，OE=2，PE=8，求证：PA为圆O的切线.M4如图，在梯形ABCD中，ADBC，C90o，ADBCAB，以AB为直径作O，求证：CD是O的切线.专题讲练44 圆与全等【例1】如图，在ABC中，BAC=900，BM平分ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交A于P、K两点，作MTBC于T.（1）求证：AK=MT；（2）求证：ADBC；（3）当AK=BD时，求证：AC=BK. M【例2】如图，AB为O的直径，Q在弦BC的延长线上，且PCQ=PCA（1）求证：PA=PB（2）求的值. 1如图，O是RtABC的外接圆，AB为直径，ABC=300，CD是O的切线， EDAB于F.（1）判断DCE的形状；（2）设O的半径为1，且OF=，求证：DCEOCB M2、如图，在O中，BAC=1200，弦PA平分BAC（1）求证：PBC为正三角形；（2）求的值.Q3如图，已知：弦ABCE，N在弦MA的延长线上，且CAN=CAB，AD=2，求ABAM的值.4如图，O1交x轴于AB两点，交y轴于CD两点，圆心O1在y轴上，过C点，作CM弦AE，垂足为M，Q在BE的延长线上.（1）求证QEC=CEA（2）问的值是否发生变化？请说明理由. 5如图，A（0，4），F（2，0），点O1在x轴上，O1经过A、F两点，与x轴正半轴交于B点，交y轴负半轴于C点.过A、O、B三点作O2.M（1）求O2的半径.（2）点E在O1上，连AE，交O2于P点，连CE，求的值.专题讲练 圆与勾股定理【例1】如图，AB为O的直径，半径OCAB，D为AB延长线上一点，过D作O的切线，E为切点，连结CE交AB于点F。（1）求证：DE=DF。（2）若OF=1，BF=3，求OD、OE的值。【例2】3如图，AB为O的直径，CDAB，垂足为D，。（1）求证：AF=CF；（2）若O的半径为5，AE=8，求EF的长。1如图, AB是O的直径, BCAB于点B, 连结OC交O于点E, 弦ADOC, 弦DFAB 于点G.(1) 求证: CD是O的切线;(2) 若 DG/AD, O的半径为5, 求DF的长. 2、如图，以RtABC的直角边AC为直径作O，交斜边AB于点D，过D点作DHAC，垂足为H，E为BC边上一点，HDE=2A（1）求证：DE是O的切线（2）若DH=8，DE=5，求AC。4如图，直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，O交直线OB于E、D，连ECCD。（1）求证：直线AB是O的切线（2）试猜想线段BCBDBE三者之间的数量关系，并加以证明。（3）若tanCED=，O的半径为3，求SOAB的面积。证：（1）连OC，（2），证CEOOCEBCD，BCDBEC。（3），设，5如图，RtABC中，已知，ACB=900，BC=6，AB=10，以BC为直径作O交AB于D，ACDO的延长线交于E，点M为线段AC上一点，且CM=4。（1）求证：直线DM是O的切线。（2）求tanE的值。证：(1)连CDOM，ADC90，DMAC4CM，MOCMOD，ODMOCM90。(2) ;证EOCEMD，设EC3x，则ED4x，EO4x3在RtEOC中，。6如图，AB为O的直径，C点在O上，PEAC。（1）求证：PE为O的切线。（2）若AB=15，PE=10，求CD的长。证：（1）连OE，, OEAC，PEAC，；（2）在RtPEO中， ，证PEAOEBOBE，PEAPBE，设PA=x,则,易求PAx5，7如图，在ABC中，A=90o，CD平分ACB交AB于D，ADAC，过CD两点作O，且圆心O在BC上.（1）求证：AB与O相切；（2）若CD5，求O的半径.8如图，AB为O的直径，C为O上一点，BAC的平分线交O于点D，过D点作EFBC，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F。（1）求证：EF为O的切线；（2）若sinABC=，CF=1，求O的半径及EF的长。证：（1）BADCAD，又BC/EF，（2）设，连OD交BC于M，则证CDFDCBBADDAC，DCFADF， 又，专题讲练46 圆与三角函数【例1】如图，RtABC中,ACB=900,AC=4，BC=2,以AB上的一点O为圆心作MO分别与ACBC相切于点DE。（1）求O的半径。（2）求sinBOC的值。 证：(1)；证四边形OECD为正方形，设半径为R， 。(2) ，作CMAB于M，易求AB，ABCMBCAC，CM，易求OC，。【例2】如图，等腰ABC中，AB=AC，以AB为直径作O，交BC于点D，DEAC于点E。（1）求证：DE为O的切线；（2）若BC=，AE=1，求cosAEO的值。 证：（1）连OD，CABCODB，OD/AC，（2）AEODOE，连DA，证，证CDECDA， ，1如图，已知点O是RtABC的直角边AC上一动点，以O为圆心，OA为半径的O交于AB于D点，DB的垂直平分线交BC于F，交BD于E。（1）连结DF，请你判断直线DF与O的位置关系，并证明你的结论。（2）当点O运动到OA=2OC时，恰好有点D是AE的中点，求tanB。证：（1）DF与O相切，连OD，证OADODA，FDBB，ADO+FDBA+B（2）易证，AOEACB，AOEC，又ADDE，H2如图, 在ABC中, ABBC, 以AB为直径的O交AC于点D, 过D作DFBC, 交AB的延长线于点E, 垂足为F. (1) 求证; 直线DE是O的切线; (2) 当AB5, AC8时, 求cos E的值.证：(1)连结、, 证,， ，直线是的切线。（2）作，垂足为,易证 ,在中，。，即，, 在中，。N3如图，在半径为4的O中，ABCD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交O于点E，且EMMC，连结DE，DE=（1）求证：AMMB=EMMC（2）求EM的长（3）求sinEOB的值 证：(1)证AMCEMB。 (2)在RtDEC中，CE，即，由(1)得62EMMCEM4(3)证 EMOE4，作ENOM于N，ONMN1，EN MN4如图，RtABC中，C=90，BD平分ABC，以AB上一点O为圆心，过BD两点作O，O交AB于点E，EFAC于点F。（1）求证：O与AC相切；（2）若EF=2，BC=4，求tanA的值。 证：（1）EBDODBDBC，OD/BC，ODAC（2）设BC交O于M，证矩形EFCM，设OD交EM于N，EFCMND2，BM2，BE=6，N5如图，AB为O的直径，PB为O的切线，ACOP，点C在O上，OP交O于D，DA交BC于G，（1）求证：PC为O的切线。（2）DEAB于E，交BC于F，若CG=3，DF=，求tanDAC。 证：（1）POBCAOOCACOP，POCPOB，PCOPBO（2）设BC交OD于N，证BFDF，又ADB，证，证ON垂直平分BC，BN4，N6如图，O的直径AB弦CD，垂足为E，点M在O上，tanCMA=，OE=3。（1）求O的半径；（2）求sinCMD。证： (1)连BC，设O半径为R，则，COE中， 。(2)，作CNBD于N，BECDBDCN88，又，7如图，ABP中，ABP=90，以AB为直径作O交AP于点C，在弧AC上取一点F，使弧CF=弧CB，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D。N（1）求证：CD为O的切线。（2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求tanFAE。证：(1) OFOB，FOCBOC，OCBF，证AFBM=90，BFDM(2) ，方法一：证：CDBDPD，CDPEBP，PCCE，CDBE3，PB6，证AFEABP， 在RtAFB中，BF8，AF 方法二：连OC交BF于N，证BNNF4，EN2，CN2=ENBN8，CN 专题讲练47 圆与相似（一）求线段的长度【例1】如图，已知AB=AC，点O在AB上，O过点B，分别与边BCAB交于DE两点，过D 点作DFAC，垂足为F。（1）判断DF与O的位置关系，并证明。（2）若AC与O相切于点G，O的半径为3，CF=1，求BD的长；求AC的长。 证：（1）证OBDODBACB，OD/AC，ODF，DF与O相切。（2）；证四边形ODFG为正方形，证CDFBED，。证OBDABC，。【例2】已知: 如图, 在ABC中, ABAC, AE是角平分线, BM平分ABC交AE于点M, 经过BM两点的O交BC于点G, 交AB于点F, FB恰为O的直径. (1) 求证: AE与O相切; (2) 当BC4, cos C时, 求O的半径.证：（1）连结OM，证 , .易证（2），证, ， 设的半径为r，则。证。，。 解得。1如图，在RtABC中，ABC=900，D是AC的中点，O经过ABD三点，CB的延长线交O于E。（1）求证：AE=CE；（2）EF与O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm。求O的直径。证：(1)连ED，证ED垂直平分AC，AE=CE(2)证ED2ADDF=24=8, ED=，AE=2如图，ABC内接于O，过点A的直线交O于点P，交BC的延长线于点D，AB2=APAD。（1）求证：AB=AC（2）如果ABC=600，O的半径为1，且P为弧AC的中点，求线段AD的长。 证：(1)ABPADB，APBABCACB，ABC为等腰。(2)ABC为等边，APB60，ABPCBP30，BAP，故BP为O的直径，BP2，PA1，AB，AD3如图，直线MN交O于AB两点，AC是直径。AD平分CAM，交O于D，过D作DEMN于E点。（1）求证：DE是O的切线（2）若DE=6cm，AE=3cm，求O的半径。 证：（1）连ODDC，证DAEOADODA，OD/AE；（2）；易求，证ADEACD，AC15，K4如图，已知O的直径AB=4。过B点作O的切线MN，DC是O上的两点，连接ADBDCD和BC。（1）求证：CBN=CDB；（2）若DC是ADB的平分线，且DAB=150，求DC的长。 证：（1）连AC，CDBCAB，CAB+CBA，CBN+CBA，（2）作CKAD于K，证CABCBA，CAD，证CKDK，,5如图，AB为O的直径，PQ与O相切于点T，过A点作ACPQ于C点，交O于D点。（1）求证：AT平分BAC（2）若AD=2，TC=，求O的半径。证：（1）连OT，OT/AC，OATOTATAC（2）连BD，BD/TC，OTBD，BD2CT，AB，R26如图，ABBCCD分别与O相切于E、F、G三点，且ABCD，连接OBOC，延长CO交O于点M，过点M作MNOB交CD于N点。（1）求证：MN是O的切线。（2）当OB=6cm，OC=8cm时，求O的半径及MN的长。 证：（1）证ABC+BCD，ABOCBO，BCODCOCBO+BCOBOMCMN（2）连OF，证COBCMN，即7如图，已知O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D是AB延长线上的一点，AECD交DC的延长线于E，CFAB于点F，且CE=CF。（1）求证：DE是O的切线。（2）若AB=6，BD=3，求AE和BC的长。 证：（1）连OC，（2），证AECACB，, 8如图，ABAC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，DEAB于点H，交O于点E，交AC于点F。点P为ED延长线上一点，连PC。（1）若PC与O相切，判断PCF的形状，并证明。（2）若D为弧AC的中点，且，DH=8，求O的半径。证：（1）连OC，OCAOAC，OCA+PCF，PFC+OAC，PCFPFC，（2）设，则，证，则，9如图，AB为O的直径，点D为O上一点，CD=BD。过D点作DEAC，垂足为E点，延长DE交BA的延长线于 P点。（1）求证：DE为O的切线。（2）若AB=6，AD=，求PE的长。 证：（1） 证，ODEDEC（2）证AEDADB，PEAPDO，10如图，已知O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与O相切于点Q，AB两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动，设运动时间为ts。（1）求PQ的长。（2）当t为何值时，直线AB与O相切？ 证：（1）PQ8cm（2）或，分两种情况：直线AB与O第一次相切时，设切点为F，则PA5t,PB4t，又P公共，PABPOQ，易证四边形OFBQ为正方形，QB84tOQ6，直线AB与O第二次相切时，同理可得，QB4t-8=OQ=6，11如图在RtABC中，BC=9，CA=12，ABC的平分线BD交AC于点D，过D点作DEDB交AB于点E。（1）设O是BDE的外接圆，求证：AC是O的切线。（2）设O交BC于点F，连结EF，求的值。 证： (1)证DBC=DBO=ODB,OD/BC, ODAC90。(2)9；证EFB90C，EF/AC，BEFBAC，易求AB=15，设EF4x，BF3x,则EB5x，OD证OADBAC，EF4x912如图，BC为O的直径，点F在O上，FCA=FOC，CD=AD，AB交O点E.（1）求证：CA为O的切线；（2）若EF=1.5，CF=2，BE=4，求O的半径.证：(1) 略 (2) 连CE, BCFBCD, 证，BEFBAD, 又AD=CD, 由、可得, BC=, R=.专题讲练48 圆与相似（二）线段的比值问题【例1】如图，ABD内接于O，P在OB的延长线上，DB与PA相交于C，且。（1）求证PA为O的切线；（2）若DCPA，PA=15，PB=5，AD交OB于M，求。证：（1）连AO，易证ABCDAC，CAB=CDA=,CAB+BAO=90o，故PA为O切线。（2）设O半径为r，则，解得r20，BCOA，PBCPOA，PC3，BC4，故AC12，由，得CD36，BD32，BDOA，BMDOMA，。【例2】如图，在O中, AB=AC，直径BD交AC于P，过A作AEBC交BD的延长线于E。N（1）求证：AE是O的切线；（2）若PC=3，AP=2，求O 的半径。证：（1）连AO交BC于M，由ABOACO,可得BAO=CAO，AMBC，又AEBC，OAAE，故AE为O切线。（2）证法一：延长AO交BC于M，易证AMCD，AOPCPD，设O的半径为r，在RtBCD中，BD2r，证，在RtAMC中，. 【例3】如图，点D是O的直径CA延长线上一点，点B在O上，且AB=AD=AO。（1）求证：BD是O的切线。（2）若点E是上一点，AE与BC相交于点F，且BEF的面积为8，cosBFA=，求ACF的面积。 证：（1）连OB，（2）易证BEFAFC，1如图，在RtABC中，C=90o，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的圆与ACAB分别交于点DE，且CBD=A。（1）判断BD与O的位置关系，并证明你的结论。（2）若AD：AO=8：5，BC=2，求BD的长。证：(1)BD与O相切，证AODACBD，CBD+CDB90。ODA+CDB90，ODB90(2);设AD8x，AE10x，证ADEBCD， 2如图，AB为O的直径，P为BA延长线上一点，点E在O上，BCPE于C，CFAB交BE延长线于F，且CF=BC（1）求证：PC为O切线；（2）若PE=，PA=6，求EF的长. 证：(1) 略(2) 设OE=r, RtPEO中, (6+r)2=(6)2+r2 r=3又 BC=4 PC=8EC=2 EB=2又= EF=3如图，RtABC，ABC=90，以AB为直径作O交AC于点D，弧BD=弧DE，DFAE于F。（1）求证：DF为O的切线；M（2）若DF=3，O的半径为5，求的值。证：（1）证EADBADADO，OD/AF，ODF(2) 连OD交BE于M，证四边形EMDF为矩形，FDEMMB3，BE6，又AB10，证