高三数学选修系列.pptx

选修系列选修系列第一节几何证明选讲第一节几何证明选讲第第一一节节几几何何证证明明选选讲讲考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考双基研习双基研习面对高考面对高考双基研习双基研习面对高考面对高考基础梳理基础梳理基础梳理基础梳理1平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理(1)平行线等分线段定理：如果一组平行线在平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段一条直线上截得的线段_，那么在其他直，那么在其他直线上截得的线段也线上截得的线段也_(2)平行线分线段成比例定理：三条平行线截平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成两条直线，所得的线段对应成_相等相等相等相等比例比例2相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的性质定理：相似三角形的对相似三角形的性质定理：相似三角形的对应角应角_相似三角形的对应边成相似三角形的对应边成_相似三角形对应高的比、对应中线的比、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；相似三角对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于相似比；相似三角形面积的比、长比都等于相似比；相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于外接圆的面积比都等于_相等相等比例比例相似比的平方相似比的平方(2)相似三角形的判定定理：如果一个三角形的相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形么这两个三角形_(简叙为：简叙为：_)；如果一；如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似相似(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似个三角形相似)；如果一个三角形的三条边与另；如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边一个三角形的三条边_，那么这两，那么这两个三角形相似个三角形相似(简叙为：三边对应成比例，两个简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似三角形相似)相似相似两角对应相等，两三角形相似两角对应相等，两三角形相似对应成比例对应成比例(3)直角三角形的射影定理：直角三角形斜边直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的上的高是两条直角边在斜边上的射影的_；两直角边分别是它们在斜边上；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的的射影与斜边的_3圆的有关判定和性质圆的有关判定和性质(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对弧的度数的于它所对弧的度数的_(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的的_比例中项比例中项比例中项比例中项一半一半度数度数(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹弧的度数的弦切角定理：弦切角等于它所夹弧的度数的_(4)圆内接四边形的性质定理与判定定理：圆内接四边形的性质定理与判定定理：圆的内接四边形的对角圆的内接四边形的对角_；圆内接四边；圆内接四边形的外角等于它的内对角的度数形的外角等于它的内对角的度数如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上；的四个顶点在同一个圆上；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上(5)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径的半径一半一半互补互补切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的于这条半径的直线是圆的_(6)相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成两段的积成两段的积_(7)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的线段的_(8)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，两切线长相等；圆心和这点的连线平分线，两切线长相等；圆心和这点的连线平分两切线的夹角两切线的夹角切线切线相等相等比例中项比例中项课前热身课前热身课前热身课前热身1.(2011年南通调研年南通调研)如图，如图，O的直径的直径AB的延的延长线与弦长线与弦CD的延长线相交于点的延长线相交于点P，E为为 O上上一点，一点，AEAC，DE交交AB于点于点F.求证：求证：PDFPOC.证明：证明：AEAC，CDEAOC，又又CDEPPFD，AOCPOCP，从而从而PFDOCP.在在PFD与与POC中，中，PP，PFDOCP，故故PDFPOC.2.(2011年苏南六校联考年苏南六校联考)如图，如图，AB是是 O的直的直径，径，M为圆上一点，为圆上一点，ME AB，垂足为，垂足为E，点，点C为为 O上任意一点，上任意一点，AC，EM交于点交于点D，BC交交DE于点于点F.求证：求证：(1)AE EDFE EB；(2)EM2EDEF.证明：证明：(1)ME AB，故故B90BFED，AEDFEB，故故AE EDFE EB.(2)延长延长ME与与 O交于点交于点N，由相交弦定理，得由相交弦定理，得EMENEAEB，且，且EMEN，EM2EAEB，又又AE EDFE EB，EM2EDEF.3(2010年高考北京卷年高考北京卷)如图，如图，O的弦的弦ED，CB的延长线交于点的延长线交于点A.若若BD AE，AB4，BC2，AD3，求，求DE，CE的长的长解：由割线定理可知：解：由割线定理可知：ADAEABAC.AD3，AB4，BC2，AC426，考点探究考点探究挑战高考挑战高考相似三角形的判定及性质相似三角形的判定及性质考点一考点一考点突破考点突破考点突破考点突破相相似似三三角角形形判判定定定定理理及及性性质质定定理理是是高高考考考考查查的的重重点点之之一一除除相相似似三三角角形形的的性性质质定定理理外外，还还要要注注意意两两个个相相似似形形的的周周长长比比等等于于相相似似比比，面面积积比比等等于于相相似似比比的的平平方方，体体积积比比等等于于相相似似比比的的立立方方，这这是是相相似似形形的的性性质质，也也是是经经常常被被考考查查的的知知识识点点，此此类类问问题题的的求求解解关关键键是是合合理理、准准确确地地找找到到相相似似比比例例例例1 1【名师点评名师点评】三角形相似的证明方法很三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法一般的思考程序是：先找两对内角的方法一般的思考程序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边对应成比例应相等，就要证明三边对应成比例变式训练变式训练1(2009年高考江苏卷年高考江苏卷)如图，在四边如图，在四边形形ABCD中，中，ABCBAD.求证：求证：AB CD.证明：由证明：由ABCBAD得得ACBBDA，故故A、B、C、D四点共圆，从而四点共圆，从而CABCDB.再由再由ABCBAD得得CABDBA，因此因此DBACDB，所以所以AB CD.圆周角、弦切角和圆的切线问题圆周角、弦切角和圆的切线问题考点二考点二考点二考点二1圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小似，可求线段或角的大小2涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径关于圆周上的点，常作直径(或半径或半径)或向弦或向弦(弧弧)两端画圆周角或作弦切角两端画圆周角或作弦切角例例例例2 2如图所示，如图所示，O的直径为的直径为6，AB为为 O的的直径，直径，C为圆周上一点为圆周上一点BC3，过，过C作圆的作圆的切线切线l，过，过A作作l的垂线的垂线AD，AD分别与直线分别与直线l、圆交于圆交于D、E，求，求DAC的大小及线段的大小及线段AE的的长长【思路分析思路分析】(1)BCFBAC30，ACDBCFACDDAC90；(2)可证明可证明Rt ABE Rt BAC.【解解】由已知由已知ABC是直角三角形，易知是直角三角形，易知CAB30，由于直线，由于直线l与与 O相切，由弦切角相切，由弦切角定理知定理知BCF30，由，由DCAACBBCF180，知知DCA60，故在故在Rt ADC中，中，DAC30.连结连结BE，如图所示，如图所示，EAB60CBA，则则Rt ABE Rt BAC，所以所以AEBC3.【名师点评名师点评】利用圆的有关性质寻找角与利用圆的有关性质寻找角与角之间的关系以及利用三角形全等或相似是角之间的关系以及利用三角形全等或相似是解决此类问题的关键解决此类问题的关键变式训练变式训练2如图，在如图，在ABC中，中，C90，BE是角平分线，是角平分线，DE BE交交AB于于D，O是是BDE的外接圆的外接圆(1)求证：求证：AC是是 O的切线；的切线；(2)如果如果AD6，AE6 ，求，求BC的长的长解：解：(1)证明：连结证明：连结OE.因为因为OEOB，所以，所以OEBOBE.又因为又因为BE平分平分CBD，所以，所以CBEDBE.所以所以OEBCBE.所以所以EO CB.因为因为C90，所以，所以AEO90，即，即AC OE.因为因为E为为 O半径半径OE的外端，的外端，所以所以AC是是 O的切线的切线(2)因为因为AC是是 O的切线，的切线，所以所以AE2ADAB.相交弦定理、切割线定理的应用相交弦定理、切割线定理的应用考点三考点三1相相交交弦弦定定理理、切切割割线线定定理理主主要要是是用用于于与与圆圆有有关关的的比比例例线线段段的的计计算算与与证证明明解解决决问问题题时时要要注注意意相相似似三三角角形形知知识识及及圆圆周周角角、弦弦切切角角、圆圆的的切切线线等等相关知识的综合应用相关知识的综合应用2应应用用相相交交弦弦定定理理、切切割割线线定定理理要要抓抓住住几几个个关关键键内内容容：如如线线段段成成比比例例与与相相似似三三角角形形、圆圆的的切切线线及其性质、与圆有关的相似三角形等及其性质、与圆有关的相似三角形等如如图图所所示示，O1和和 O2相相交交于于A、B两两点点，过过A点点作作 O1的的切切线线交交 O2于于点点E，连连结结EB并并延长交延长交 O1于点于点C，直线，直线CA交交 O2于点于点D.(1)当当点点D与与点点A不不重重合合时时，试试猜猜想想线线段段EAED是否成立？证明你的结论；是否成立？证明你的结论；(2)当点当点D与点与点A重合时，重合时，直线直线AC与与 O2有怎样有怎样的位置关系？此时若的位置关系？此时若BC2，CE8，求求 O1的直径的直径例例例例3 3【思路分析思路分析】可作出两圆的公共弦，然后利用可作出两圆的公共弦，然后利用弦切角定理、切割线定理解决弦切角定理、切割线定理解决【解解】(1)EAED成立证明如下：成立证明如下：连结连结AB，在，在EA的延长线上取点的延长线上取点F，如图，如图(1)所示所示AE是是 O1的切线，切点为的切线，切点为A，FACABC.FACDAE，ABCDAE.ABC是是 O2内接四内接四边形边形ABED的外角，的外角，ABCD，DAED，EAED.(2)当点当点D与点与点A重合时，直线重合时，直线CA与与 O2只有一个只有一个公共点，所以直线公共点，所以直线CA与与 O2相切如图相切如图(2)所示，所示，由弦切角定理知：由弦切角定理知：13，24，又又12，34 18090，AC与与AE分别为分别为 O1和和 O2的直径，的直径，由切割线定理知：由切割线定理知：AC2CBCE，而，而CB2，CE8，AC22816，AC4，故，故 O1的直径为的直径为4.【名师点评名师点评】应用相交弦定理、切割线定应用相交弦定理、切割线定理及推论的证明题的常见解决方法有：理及推论的证明题的常见解决方法有：(1)找过渡乘积式证明等积式成立；找过渡乘积式证明等积式成立；(2)为三角形相似提供对应边成比例的条件；为三角形相似提供对应边成比例的条件；(3)利用等积式来证明有关线段相等利用等积式来证明有关线段相等方法感悟方法感悟方法感悟方法感悟方法技巧方法技巧本本节节是是考考查查同同学学们们推推理理能能力力、逻逻辑辑思思维维能能力力的的好好资资料料，题题目目以以证证明明题题为为主主，特特别别是是一一些些定定理理的的证证明明和和用用多多个个定定理理证证明明一一个个问问题题的的题题目目，我我们们更更应应注意注意重点把握以下内容：重点把握以下内容：1射影定理的内容及其证明；射影定理的内容及其证明；2圆周角与弦切角定理的内容及证明；圆周角与弦切角定理的内容及证明；3圆幂定理的内容及其证明；圆幂定理的内容及其证明；4圆内接四边形的性质与判定；圆内接四边形的性质与判定；5平行投影的性质与圆锥曲线的统一定义平行投影的性质与圆锥曲线的统一定义考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考考情分析考情分析考情分析考情分析几几何何证证明明选选讲讲是是江江苏苏高高考考的的选选考考内内容容，主主要要考考查查相相似似三三角角形形的的判判定定与与性性质质，射射影影定定理理，平平行行线线分分线线段段成成比比例例定定理理；圆圆的的切切线线定定理理，切切割割线线定定理理，相相交交弦弦定定理理，圆圆周周角角定定理理以以及及圆圆内内接接四四边边形形的的判判定与性质等题目难度不大，以容易题为主定与性质等题目难度不大，以容易题为主江江苏苏省省对对本本部部分分的的考考查查主主要要是是一一道道选选考考解解答答题题，预测预测2012年仍会如此，难度不会太大年仍会如此，难度不会太大规范解答规范解答规范解答规范解答例例例例 (本本题题满满分分10分分)(2010年年高高考考江江苏苏卷卷)AB是是圆圆O的的直直径径，D为为圆圆O上上一一点点，过过D作作圆圆O的的切切线线交交AB的的延延长长线线于于点点C，若若DADC，求求证证：AB2BC.【证明证明】连结连结OD、BD.因为因为AB是圆是圆O的直径，的直径，所以所以ADB90，AB2OB.3分分因为因为DC是圆是圆O的切线，的切线，所以所以CDO90.5分分又因为又因为DADC，所以所以AC，7分分于是于是ADBCDO，从而从而ABCO，即即2OBOBBC，得得OBBC.9分分故故AB2BC.10分分【名师点评名师点评】(1)有关线段的比值问题，除了用有关线段的比值问题，除了用平行线分线段成比例定理外，也可利用相似三角形平行线分线段成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性质求解解题中要注意观察图形特点，的判定和性质求解解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线，对解题可起到事半功倍的效果在使巧添辅助线，对解题可起到事半功倍的效果在使用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系(2)与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：见的考查题型，常见的证明方法有：到某到某定点的距离都相等；定点的距离都相等；如果某两点在一条线如果某两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；相等；证明凸四边形的内对角互补证明凸四边形的内对角互补(或外角或外角等于它的内对角等于它的内对角)等等名师预测名师预测名师预测名师预测2.如图，设如图，设AB为为 O的任一条不与直线的任一条不与直线l垂直的垂直的直径，直径，P是是 O与与l的公共点，的公共点，AC l，BD l，垂，垂足分别为足分别为C，D，且，且PCPD，求证：，求证：(1)l是是 O的切线；的切线；(2)PB平分平分ABD.证明：证明：(1)连结连结OP，因为，因为AC l，BD l，所以所以AC BD.又又OAOB，PCPD，所以所以OP BD，从而，从而OP l.因为因为P在在 O上，所以上，所以l是是 O的切线的切线(2)连结连结AP，因为，因为l是是 O的切线，所以的切线，所以BPDBAP.又又BPDPBD90，BAPPBA90，所以所以PBAPBD，即即PB平分平分ABD.本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束点此进入课件目录点此进入课件目录按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放谢谢使用谢谢使用