高三新课标版原创配套月考试题数学4A卷.doc

试卷类型：A
2013届高三原创月考试题四
数学
适用地区：新课标地区
考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式、立体几何、解析几何、统计、统计案例、计数原理（仅理科有），概率、随机变量及其分布（仅理科有）
建议使用时间：2011年11月底

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.（2012·哈尔滨第六中学三模）已知全集，集合
，则（ ）
A. B. C. D.
2.（2012·大连沈阳联考）图1中的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况(单位：元)，图中的数字表示的意义是这台自动售货机的销售额为( )

图1
A.元 B.元 C.元 D.元
3.（理）（2012·北京东城二模）的展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. D.
（文）（2012·北京海淀二模）函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
4.（2012·长春三模）数学文）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是（ ）

相关系数为 相关系数为

相关系数为 相关系数为
图2

A. B.
C. D.
5.( 2012·银川一中第三次月考)等差数列满足:,则=（ ）
A. B.0 C.1 D.2
6.( 2012·石家庄二模)从某高中随机选取5名高三男生，其
身高和体重的数据如下表所示：

根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为
（ ）
A.70.09 kg B.70.12 kg C.70.55 kg D.71.05 kg
7.[2012·天津卷]设x∈R，则“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.（理）(2012·石家庄二模) 的展开式中的常数项为（ ）
A.-60 B.-50 C.50 D.60
（文）（2012·大连沈阳联考）若利用计算机在区间上产生两个不等的随机数和，则方程有不等实数根的概率为（ ）
A. B. C. D.
9.（2012·郑州质检）函数图象的一个对称轴方程是( )
A. B. C. D.
10. (2012·石家庄二模)若满足约束条件则（ ）
A.有最小值-8，最大值0 B.有最小值-4，最大值0
C.有最小值-4，无最大值 D.有最大值-4，无最小值
11.（2012·琼海模拟）一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（ ）
A. B. C. D.
12.（2012·北京东城二模）设为抛物线上一点，为抛物线的焦点，若以
为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）
13. (2012·银川一中第三次月考)已知a =(2,3),b =(-1,5)，则a+3 b=_________.
14. [2012`辽宁卷]一个几何体的三视图如图3所示，则该几何体的表面积为______________.

图3
15.（2012·北京东城二模）将容量为的样本中的数据分成组，若第一组至第六组数据的频率之
比为且前三组数据的频数之和等于，则的值为 .
16.（理）（2012·琼海模拟）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 个.
（文）(2012·石家庄二模)在区间[1，3]上随机选取一个数 (e为自然对数的底数）的值介于e到e2之间的概率为________.
三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
（2012·琼海模拟）如图4平面四边形ABCD中，AB=AD=，BC=CD=BD，设.
（1）将四边形ABCD的面积S表示为的函数；
（2）求四边形ABCD面积S的最大值及此时值.

图4

18.（本小题满分12分）
（2012·北京海淀二模）已知等差数列的前项和为，公差，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和公式.

19.（本小题满分12分）
(理)[2012·课标全国卷]某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.
(文) [2012·课标全国卷]某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；
②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.

20.（本小题满分12分）
（理）[2012·广东卷]如图5所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值.

图5

（文）[2012·广东卷]如图5所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高.
（1）证明：PH⊥平面ABCD；
（2）若PH＝1，AD＝，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；
(3)证明：EF⊥平面PAB.

图5

21.（本小题满分12分）
[2012·安徽卷]设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a>0).
（1）求f(x)的最小值；
（2）若曲线y＝f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为y＝x，求a，b的值.

22.（本小题满分12分）
（理）[2012·广东卷]在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由.
（文）[2012·广东卷]在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上.
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程.

试卷类型：A
2013届高三原创月考试题四答案
数学
1. B【解析】因为集合，又，所以.所以.
2. C【解析】树干表示的是十位数字，故7表示为27.
3.（理）D【解析】展开式中的通项为，令，得.所以展开式中的常数项为.
（文）B【解析】因为函数在区间上单调递增,在区间上单调递增减,且,所以函数在区间上的值域是.故选B.
4.A【解析】由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知.
5. B 【解析】因为①，又由等差中项公式得②，由①②得，所以.
6. B【解析】，.因为回归直线过点，所以将点(170,69)代入回归直线方程，得，故回归方程为.代入cm，得其体重为70.12kg.
7. A【解析】当x>时，2x2＋x－1>0成立；但当2x2＋x－1>0时，x>或x<－1.所以“x>”是“2x2＋x－1>0”的充分不必要条件．
8.（理）D【解析】展开式的通项为，令,解得.故常数项为.
（文）B【解析】方程可化为，因其有两个不等实数根，所以，以为

横轴，为纵轴，建立平面直角坐标系如下图所示，区域即为阴影区域.故由几何概型得，所求事件的概率为.

9. B【解析】因为
，当时，取得最大值，故一个对称轴方程是.
10. C【解析】对应的可行域如图.当直线过点时，z有最小值-4；由图可知z没有最大值.

11. B【解析】作出满足题意的区域如下图，则由几何概型得，所求概率为
.

12. A【解析】若以为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，则.根据抛物线的定义知,点到准线的距离大于4，即，所以.
13. 【解析】a+3b.
14. 38【解析】由三视图可知，该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为.
15. 【解析】根据已知条件知，所以.
16.（理）40【解析】六个数中任取3个数共有种情况，每一种情况下将最大的一个数放在中间，又可以组
成两个不同的三位数，所以符合“伞数”的情况共有种.
（文）【解析】数的可取值长度为，满足在e和之间的的取值长度为1，故所求事件的概率为.

17.解:（1） △ABD中,由余弦定理，得.
由已知可得△BCD为正三角形，
所以.
又.
故四边形ABCD面积
.
（2）当，即时，四边形ABCD的面积S取得最大值，
且.

18.解:（1）因为，
所以. ①……………………………………3分
因为成等比数列，
所以. ② ……………………………………5分
由①②及，可得.
……………………………………6分
所以. ……………………………………7分
（2）由，可知.
……………………………………9分
所以 ， ……………………………………11分
所以
， ……………………………………13分
所以数列的前项和为.

19.解：（1）当日需求量n≥16时，利润y＝80；
当日需求量n<16时，利润y＝10n－80.
所以y关于n的函数解析式为y＝(n∈N).
（2）①X可能的取值为60,70,80，并且
P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.
X的分布列为

X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
X的数学期望为EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
X的方差为DX＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.
②答案一：
花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为

Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y的数学期望为EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
Y的方差为DY＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54
＝112.04.
由以上的计算结果可以看出，DX<DY，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.
另外，虽然EX<EY，但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.
答案二：
花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为

Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y的数学期望为
EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
由以上的计算结果可以看出，EX<EY，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.
(文) 解：（1）当日需求量n≥17时，利润y＝85.
当日需求量n<17时，利润y＝10n－85.
所以y关于n的函数解析式为
y＝(n∈N).
（2）①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为
(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4.
②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为
p＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.

20.解： （1） 证明：⇒PC⊥BD.
⇒PA⊥BD.
因为PA∩PC＝P，PA⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
（2）法一：如图所示，记BD与AC的交点为F，连接EF.

由PC⊥平面BDE，BE⊂平面BDE，EF⊂平面BDE，
所以PC⊥BE，PC⊥EF.
即∠BEF为二面角B－PC－A的平面角.
由（1）可得BD⊥AC，
所以矩形ABCD为正方形，AB＝AD＝2，
AC＝BD＝2，FC＝BF＝.
在Rt△PAC中，PA＝1，PC＝＝3，
即二面角B－PC－A的正切值为3.
法二：以A为原点，、、的方向分别作为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.

设AB＝b，则：
A(0,0,0)，B(b,0,0)，
C(b,2,0)，D(0,2,0)，
P(0,0,1).
于是＝(b,2，－1)，＝(b，－2,0).
因为PC⊥DB，所以·＝b2－4＝0，
从而b＝2.结合（1）可得＝(2，－2,0)是平面APC的法向量.
现设n＝(x，y，z)是平面BPC的法向量，则
n⊥，n⊥，即n·＝0，n·＝0.
因为＝(0,2,0)，＝(2,2，－1)，
所以2y＝0,2x－z＝0.
取x＝1，则z＝2，n＝(1,0,2).
令θ＝〈n，〉，则
cosθ＝＝＝，
sinθ＝，tanθ＝3.
由图可得二面角B－PC－A的正切值为3.
（文）解：（1）由于AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，
故AB⊥PH.
又因为PH为△PAD中AD边上的高，故AD⊥PH.
因为AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以PH⊥平面ABCD.

（2）由于PH⊥平面ABCD，E为PB的中点，PH＝1，故E到平面ABCD的距离h＝PH＝.
又因为AB∥CD，AB⊥AD，所以AD⊥CD.
故S△BCF＝·FC·AD＝×1×＝.
因此VE－BCF＝S△BCF·h＝××＝.
(3)证明：过E作EG∥AB交PA于G，连接DG.
由于E为PB的中点，所以G为PA的中点.
因为DA＝DP，故△DPA为等腰三角形，
所以DG⊥PA.
因为AB⊥平面PAD，DG⊂平面PAD，
所以AB⊥DG.
又因为AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，
所以DG⊥平面PAB.
又因为，
所以.
所以四边形DFEG为平行四边形，故DG∥EF.
于是EF⊥平面PAB.

21.解:（1）(方法一)由题设和均值不等式可知，
f(x)＝ax＋＋b≥2＋b.
其中等号成立当且仅当ax＝1.
即当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.
(方法二)f(x)的导数f′(x)＝a－＝.
当x>时，f′(x)>0，f(x)在上递增；
当0<x<时，f′(x)<0，f(x)在上递减.
所以当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.
（2）f′(x)＝a－.
由题设知，f′（1）＝a－＝，
解得a＝2或a＝－(不合题意，舍去).
将a＝2代入f（1）＝a＋＋b＝，解得b＝－1，
所以a＝2，b＝－1.

22. （理）解:（1）因为e＝＝＝，
所以a2＝3b2，即椭圆C的方程可写为＋＝1.
设P(x，y)为椭圆C上任意给定的一点，
|PQ|2＝x2＋(y－2)2＝－2(y＋1)2＋6＋3b2≤6＋3b2，y∈[－b，b].
由题设存在点P1满足|P1Q|＝3，
则9＝|P1Q|2≤6＋3b2，所以b≥1.
当b≥1时，由于y＝－1∈[－b，b]，此时|PQ|2取得最大值6＋3b2,
所以6＋3b2＝9⇒b2＝1，a2＝3.
故所求椭圆C的方程为＋y2＝1.
（2）存在点M满足要求，使△OAB的面积最大.
假设直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，则圆心O到l的距离
d＝<1.
因为点M(m，n)∈C，所以＋n2＝1<m2＋n2，于是0<m2≤3.
因为|AB|＝2＝2，
所以S△OAB＝·|AB|·d＝＝≤＝.
上式等号成立当且仅当1＝m2⇒m2＝∈(0,3]，
因此当m＝±，n＝±时等号成立.
所以满足要求的点恰有四个，其坐标分别为，，和，此时对应的诸三角形的面积均达到最大值.
（文）解:（1）由C1的左焦点F1的坐标为(－1,0)知c＝1.
因为点P(0,1)在C1上，所以b＝1.于是a＝.
故C1的方程为＋y2＝1.
（2）由题设l同时与C1和C2相切，设切点分别为A和B，点B的坐标为(x0，y0)，显然x0>0.当点B在第一象限时，点B的坐标为(x0,2).

考虑抛物线C2在第一象限的方程y＝2，x>0.
因为y′＝，
所以l的斜率为，从而l的方程为：y＝＋.
由假设直线l与椭圆C1相切，因此方程组
有唯一解，将①代入②并整理得：(x0＋2)x2＋4x0x＋2x0(x0－1)＝0，
所以Δ＝16x－8(x0＋2)x0(x0－1)＝－8x0(x0＋1)(x0－2)＝0.
因为x0>0，所以x0＝2.
当x0＝2时，直线l的方程为：y＝x＋.
易验证l是C1的切线.
由对称性，当切点B在第四象限时，可得l的方程为：y＝－x－.
综上所述，同时与C1和C2相切的直线方程为：y＝x＋，或y＝－x－.