山西省大同市西部地区2016-2017学年高一（上）期中数学试卷（解析版）.doc

2016-2017学年山西省大同市西部地区高一（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题4分，共48分）
1．已知集合M={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤﹣3}，则M∪N=（　　）
A．∅ B．{x|x＜1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥﹣3}
2．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（　　）
A． B． C． D．
3．设函数f（x）=，则f（）的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．18
4．下列等式成立的是（　　）
A．log2（8﹣4）=log28﹣log24 B． =
C．log223=3log22 D．log2（8+4）=log28+log24
5．下列四个函数中是R上的减函数的为（　　）
A． B． C． D．y=x2
6．已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
f （x）
6.1
2.9
﹣3.5
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（　　）
A．（﹣∞，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）
7．如果函数f（x）=x2+bx+c对任意实数均有f（﹣x）=f（x），那么（　　）
A．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） B．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） C．f（﹣2）＜f（3）＜f（1） D．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）
8．三个数a=0.412，b=log20.41，c=20.41之间的大小关系为（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c
9．已知f（x）=ax3+bx+5，其中a，b为常数，若f（﹣9）=﹣7，则f（9）=（　　）
A．17 B．7 C．16 D．8
10．如图给出了函数y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2的图象，则与函数y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次对应的图象是（　　）

A．①②③④ B．①③②④ C．②③①④ D．①④③②
11．函数f（x）=x2﹣4x+5在区间[﹣1，m]上的最大值为10，最小值为1，则实数m的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．[2，4] C．[﹣1，5] D．[2，5]
12．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x﹣2，那么不等式的解集是（　　）
A． B．
C． D．

一、填空题（每小题3分，共12分）
13．计算：3﹣27﹣lg0.01+lne3=　　．
14．若函数f（x）=﹣a是奇函数，则实数a的值为　　．
15．若函数f（x）=x2+（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是单调递减的，则实数a的取值范围为　　．
16．给出下列四个命题：
①函数y=|x|与函数表示同一个函数；
②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；
③若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；
④函数y=3（x﹣1）2的图象可由y=3x2的图象向右平移一个单位得到；
⑤设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根；
其中正确命题的序号是　　．（填上所有正确命题的序号）

二、解答题（每小题10分，共40分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）
17．已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣4，或x＞1}，B={x|﹣3≤x﹣1≤2}，
（1）求A∩B、（∁UA）∪（∁UB）；
（2）若集合M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合A的子集，求实数k的取值范围．
18．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x2﹣2x．
（1）画出偶函数f（x）的图象；并根据图象，写出f（x）的单调区间；同时写出函数的值域；
（2）求f（x）的解析式．

19．已知函数f（x）=ax﹣1（a＞0且a≠1）
（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；
（2）比较大小，并写出比较过程；
（3）若f（lga）=100，求a的值．
20．已知函数（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），两点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）在（1，+∞）是增函数；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．

2016-2017学年山西省大同市西部地区高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共48分）
1．已知集合M={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤﹣3}，则M∪N=（　　）
A．∅ B．{x|x＜1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥﹣3}
【考点】并集及其运算．
【分析】利用并集定义直接求解．
【解答】解：∵集合M={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤﹣3}，
∴M∪N={x|x＜1}．
故选：B．

2．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的概念及其构成要素．
【分析】根据函数的定义中“定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应”判断．
【解答】解：由函数定义知，定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，
A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．
故选C．

3．设函数f（x）=，则f（）的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．18
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．
【分析】当x＞1时，f（x）=x2+x﹣2； 当x≤1时，f（x）=1﹣x2，故本题先求的值．再根据所得值代入相应的解析式求值．
【解答】解：当x＞1时，f（x）=x2+x﹣2，则 f（2）=22+2﹣2=4，
∴，
当x≤1时，f（x）=1﹣x2，
∴f（）=f（）=1﹣=．
故选A．

4．下列等式成立的是（　　）
A．log2（8﹣4）=log28﹣log24 B． =
C．log223=3log22 D．log2（8+4）=log28+log24
【考点】对数的运算性质．
【分析】分别根据对数的运算法则进行判断即可．
【解答】解：A．等式的左边=log2（8﹣4）=log24=2，右边=log28﹣log24=3﹣2=1，∴A不成立．
B．等式的左边=，右边=log2=log24=2，∴B不成立．
C．等式的左边=3，右边=3，∴C成立．
D．等式的左边=log2（8+4）=log212，右边=log28+log24=3+2=5，∴D不成立．
故选：C．

5．下列四个函数中是R上的减函数的为（　　）
A． B． C． D．y=x2
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】根据函数的定义域，指数函数、对数函数及二次函数的单调性，便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．
【解答】解：A.的定义域为R，x增大时，﹣x减小，2﹣x减小，减小，即y减小是减函数，
∴该选项正确；
B.为R上的增函数，∴该选项错误；
C.的定义域不是R，∴该选项错误；
D．y=x2在R上没有单调性，∴该选项错误．
故选A．

6．已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
f （x）
6.1
2.9
﹣3.5
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（　　）
A．（﹣∞，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．
【解答】解：由于f（2）＞0，f（3）＜0，
根据函数零点的存在定理可知故函数f （x）在区间（2，3）内一定有零点，其他区间不好判断．
故选c．

7．如果函数f（x）=x2+bx+c对任意实数均有f（﹣x）=f（x），那么（　　）
A．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） B．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） C．f（﹣2）＜f（3）＜f（1） D．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）
【考点】二次函数的性质．
【分析】由条件可知f（x）为偶函数，b=0，从而得到当x＞0时，f（x）是单调递增，则f（﹣2）=f（2），由单调性，即可判断大小．
【解答】解：∵函数f（x）=x2+bx+c对任意实数均有f（﹣x）=f（x），
∴f（x）为偶函数，b=0，
∴f（﹣2）=f（2），
当x＞0时，f（x）是单调递增，
∵1＜2＜3，∴f（1）＜f（2）＜f（3），
即f（1）＜f（﹣2）＜f（3），
故选D．

8．三个数a=0.412，b=log20.41，c=20.41之间的大小关系为（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a=0.412∈（0，1），b=log20.41＜0，c=20.41＞1，
∴c＞a＞b．
故选：D．

9．已知f（x）=ax3+bx+5，其中a，b为常数，若f（﹣9）=﹣7，则f（9）=（　　）
A．17 B．7 C．16 D．8
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】由条件求得729a+9b的值，从而求得f（9）=729a+9b+5的值．
【解答】解：f（x）=ax3+bx+5，其中a，b为常数，若f（﹣9）=﹣729a﹣9b+5=﹣7，
∴729a+9b=12，
则f（9）=729a+9b+5=12+5=17，
故选：A．

10．如图给出了函数y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2的图象，则与函数y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次对应的图象是（　　）

A．①②③④ B．①③②④ C．②③①④ D．①④③②
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】由二次函数的图象为突破口，根据二次函数的图象开口向下得到a的范围，然后由指数函数和对数函数的图象的单调性得答案．
【解答】解：由图象可知y=（a﹣1）x2为二次函数，且图中的抛物线开口向下，
∴a﹣1＜0，即a＜1．
又指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1，
∴y=ax为减函数，图象为①；y=logax为减函数，图象为③；y=log（a+1）x为增函数，图象为②．
∴与函数y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次对应的图象是①③②④．
故选B．

11．函数f（x）=x2﹣4x+5在区间[﹣1，m]上的最大值为10，最小值为1，则实数m的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．[2，4] C．[﹣1，5] D．[2，5]
【考点】二次函数的性质．
【分析】由函数的解析式可得函数f（x）=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1的对称轴为x=2，此时，函数取得最小值为1，当x=﹣1或x=5时，函数值等于10，结合题意求得m的范围．
【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1的对称轴为x=2，此时，函数取得最小值为1，
当x=﹣1或x=5时，函数值等于10．
且f（x）=x2﹣4x+5在区间[﹣1，m]上的最大值为10，最小值为1，
∴实数m的取值范围是[2，5]，
故选：D．

12．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x﹣2，那么不等式的解集是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】先求得当x＞0时的x的范围，再利用奇函数的性质求得当x＜0时，f（x）的解析式，求得不等式的解集，综合可得要求的不等式的解集．
【解答】解：当x＞0时，f（x）=x﹣2，不等式，即x﹣2＜，求得0＜x＜．
当x=0时，f（x）=0，满足不等式成立，
当x＜0时，﹣x＞0，此时 f（﹣x）=﹣x﹣2=﹣f（x），f（x）=x+2，
不等式，即x+2＜，求得x＜﹣，
综上可得，不等式的解集是{x|0≤x＜，或x＜﹣}，
故选：B．

一、填空题（每小题3分，共12分）
13．计算：3﹣27﹣lg0.01+lne3=　0　．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【分析】利用对数和分数指数幂的运算法则求解．
【解答】解： =4﹣9+2+3=0．
故答案为：0．

14．若函数f（x）=﹣a是奇函数，则实数a的值为　1　．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据奇函数的结论：f（0）=0列出方程，求出a的值即可．
【解答】解：因为奇函数f（x）=﹣a的定义域是R，
所以f（0）=﹣a=0，解得a=1，
故答案为：1．

15．若函数f（x）=x2+（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是单调递减的，则实数a的取值范围为　{a|a≤﹣7}　．
【考点】二次函数的性质．
【分析】判断二次函数的开口方向，求出对称轴，利用已知条件列出不等式求解即可．
【解答】解：函数f（x）=x2+（a﹣1）x+2的开口向上，对称轴为：x=，
函数f（x）=x2+（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是单调递减的，
可得4≤，解得a≤﹣7，
故答案为：{a|a≤﹣7}．

16．给出下列四个命题：
①函数y=|x|与函数表示同一个函数；
②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；
③若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；
④函数y=3（x﹣1）2的图象可由y=3x2的图象向右平移一个单位得到；
⑤设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根；
其中正确命题的序号是　④⑤　．（填上所有正确命题的序号）
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①，函数y=|x|与函数的定义域不同，不表示同一个函数；
②，奇函数的图象不一定通过直角坐标系的原点，如y=，；
③，若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1]；
④，根据图象变换规则可判定；
⑤，由函数零点存在性定理判定；
【解答】解：对于①，函数y=|x|与函数的定义域不同，不表示同一个函数，故错；
对于②，奇函数的图象不一定通过直角坐标系的原点，如y=，故错；
对于③，若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1]，故错；
对于④，函数y=3（x﹣1）2的图象可由y=3x2的图象向右平移一个单位得到，正确；
对于⑤，设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根，正确；
故答案为：④⑤

二、解答题（每小题10分，共40分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）
17．已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣4，或x＞1}，B={x|﹣3≤x﹣1≤2}，
（1）求A∩B、（∁UA）∪（∁UB）；
（2）若集合M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合A的子集，求实数k的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题．
【分析】（1）求出集合B，然后直接求A∩B，通过（CUA）∪（CUB）CU（A∩B）求解即可；
（2）通过M=∅与M≠∅，利用集合M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合A的子集，直接求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）因为全集U=R，集合A={x|x＜﹣4，或x＞1}，B={x|﹣3≤x﹣1≤2}={x|﹣2≤x≤3}，
所以A∩B={x|1＜x≤3}；
（CUA）∪（CUB）=CU（A∩B）={x|x≤1，或x＞3}；
（2）①当M=∅时，2k﹣1＞2k+1，不存在这样的实数k．
②当M≠∅时，则2k+1＜﹣4或2k﹣1＞1，解得k或k＞1．

18．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x2﹣2x．
（1）画出偶函数f（x）的图象；并根据图象，写出f（x）的单调区间；同时写出函数的值域；
（2）求f（x）的解析式．

【考点】函数的图象；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）利用二次函数的性质以及函数的奇偶性画出函数的图象，写出单调区间以及函数的值域即可．
（2）利用函数的性质，转化求解函数的解析式即可．
【解答】解：（1）图象如图所示：…
由图象得：函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1）和（0，1）；
单调递增区间为（﹣1，0）和（1，+∞）；…
函数的值域为[﹣1，+∞）．…
（2）设x＜0，则﹣x＞0，
于是，f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x．…
又因为函数f（x）是偶函数，
所以f（x）=f（﹣x）=x2+2x．…
所以f（x）的解析式为：…

19．已知函数f（x）=ax﹣1（a＞0且a≠1）
（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；
（2）比较大小，并写出比较过程；
（3）若f（lga）=100，求a的值．
【考点】指数函数单调性的应用；指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的图象与性质．
【分析】（1）函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，可得a3﹣1=4，由此求出a；
（2）本题要根据指数函数的单调性比较大小，要解决两个问题一是自变量的大小，由于=﹣2，故自变量大小易比较，另一问题是函数的单调性，由于底数a的取值范围不确定，需对参数a的取值范围进行讨论以确定函数的单调性，在每一类下比较大小．
（3）由f（lga）=100知，alga﹣1=100，对此类指对结合的不等式不能用常规解法求解，需要借助相关的公式求解，本题这种类型的一般采取两边取对数的方式将其转化为一元二次函数型的方程求解，两边取以10为底的对数可得（lga﹣1）•lga=2，解此方程先求lga，再求a．
【解答】解：（1）∵函数y=f（x）的图象经过P（3，4）
∴a3﹣1=4，即a2=4．
又a＞0，所以a=2．
（2）当a＞1时，；
当0＜a＜1时，．
因为，，f（﹣2.1）=a﹣3.1
当a＞1时，y=ax在（﹣∞，+∞）上为增函数，
∵﹣3＞﹣3.1，∴a﹣3＞a﹣3.1．
即．
当0＜a＜1时，y=ax在（﹣∞，+∞）上为减函数，
∵﹣3＞﹣3.1，∴a﹣3＜a﹣3.1．
即．
（3）由f（lga）=100知，alga﹣1=100．
所以，lgalga﹣1=2（或lga﹣1=loga100）．
∴（lga﹣1）•lga=2．
∴lg2a﹣lga﹣2=0，
∴lga=﹣1或lga=2，
所以，或a=100．

20．已知函数（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），两点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）在（1，+∞）是增函数；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】（1）把已知两点的坐标代入函数解析式，得到关于a，b的方程组，求解a，b即可得到函数f（x）的解析式；
（2）直接利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（1，+∞）是增函数；
（3）由（Ⅱ）知，函数f（x）在[1，3]上为增函数，可证f（x）在上是减函数．求出f（x）在给定区间上的最大值，由大于等于f（x）在给定区间上的最大值得答案．
【解答】（1）解：由题意得，解得
∴函数的解析式为．…
（2）证明：设x1，x2是（1，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，…
于是=．…
∵x1，x2∈（1，+∞），
∴x1x2＞0，x1x2﹣1＞0．
∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0．
∴f（x2）﹣f（x1）＞0．…
即f（x2）＞f（x1）．
∴函数f（x）在区间（1，+∞）内是增函数．…
（3）解：由（Ⅱ）知，函数f（x）在[1，3]上为增函数，
同理可证f（x）在上是减函数．…
∴函数．
不等式对任意恒成立，
等价于．…
于是（5m）2﹣3×5m﹣10≥0，
即（5m﹣5）（5m+2）≥0，
∵5m+2＞0，∴5m﹣5≥0．
∴m≥1．
∴实数m的取值范围是[1，+∞）．…

2017年3月21日