几何数学知识在理综试题中的具体运用解析.doc

2010年度高中化学论文

姓名：谢志军
单位：湖北襄樊东风中学
邮编：441004

数学计算和推理功能在理综试题中的运用解析
摘要：随着高考模式的变革，近几年理科综合试题中经常出现了利用数学几何知识的问题。这类题的特点是：虽然是物理、化学本学科内的知识，但所涉及的本学科知识比较基本，而运用数学几何或代数知识占了相当的比重。特别是物理，数学计算和推理必不可少，所以数学几何和代数知识变得犹为重要了。本文略加赏析。
关键词：数学计算 推理 理综 解析
数学被誉为“科学的王后和仆人”。合理运用数学方法，解决中学物理化学教学中的疑难问题，既延伸了数学，又提升了物理和化学，展示科学研究的无穷魅力，为学生的终身发展注入源头活水。
一、数学计算在理综试题中的运用
1、(2009年理综Ⅰ)现有乙酸和两种链状单烯烃的混合物，若其中氧的质量分数为a，则碳的质量分数是
A． 　　　B．a　　　C．(1－a)　　D．(1－a)
答案.C
【解析】乙酸的化学式为C2H4O2，而单烯烃的通式为CnH2n，从化学式可以发现两者中,C与H之间的数目比为1:2,质量比为6:1，碳氢的质量分数一共为1-a,其中碳占。碳、氢、氧三者和的百分含量是100/100；碳氢比例恒定二者应当是解决本题的数学基础。
2、如图所示为两点电荷电场的电场线分布图，由图可知

A．两电荷为等量异种电荷
B．左边点电荷的电量大于右边点电荷的电量
C．左边点电荷的电量小于右边点电荷的电量
D．左边点电荷可能为负电荷
【解析】
分析电力线的分布，可得出上图所示的场强图示。根据电场线发自正电荷（或无穷远），终止负电荷（或无穷远）的特点可知，两电荷一定是异种电荷，且左边点电荷一定为正电荷；在垂直于两电荷的连线的直线上，场强水平向右的点靠近右侧负电荷，如图所示的P点（场强水平向右），根据场强叠加可得：，由于，，所以，。B选项正确。
3、如图所示，子弹水平射入放在光滑水平地面上静止的木块，子弹未穿透木块，此过程木块动能增加了6J，那么此过程产生的内能可能为

A．16J　　　　　　　　　　　B．12J
C．6J　　　　　　　　　　　 D．4J
【解析】设子弹和木块得质量分别为m和M，子弹的初速为v0，子弹和木块的共同速度为v，子弹与木块之间的相互作用力大小为f，此过程中木块的位移为s，子弹进入木块的深度为d，对木块，根据动能定理，有：
　　对子弹和木块组成的系统，根据能量守恒和动量守恒，有：

　　解得： 如果数学头脑较好，这里就很发得出结论了。所以，系统产生的内能一定大于木块获得的动能，A、B两选项正确。
4、（２007年理综Ⅰ）已知O、A、B、C为同一直线上的四点，AB间的距离为l1，BC间的距离为l2，一物体自O点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A、B、C三点，已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等。求O与A的距离。
【解析】：设物体的加速度为a，到达A点的速度为v0,通过AB段和BC段所用的时间为t，则有：
………………………………………①
……………………………………②
联立①②式得：
l2－l1=at2……………………………………………③
3l1－l2=2v0t…………………………………………④
设Ｏ与Ａ的距离为l,则有：
　　 ……………………………………………⑤
联立③④⑤式得：
此法中代数消除法很重要。
从以上试题中，我们不难发现：数学计算的熟练程度决定了学生解决理综试题中的物理和化学问题的能力。
二、数学几何知识在理综试题中的运用
5、（２008年理综Ⅰ）
如图所示，在坐标系xOy中，过原点的直线OC与x轴正向的夹角φ=120°，在OC右侧有一匀强电场；在第二、三象限内有一匀强磁场，其上边界与电场边界重叠、右边界为y轴、左边界为图中平行于y轴的虚线，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一带正电荷q、质量为m的粒子以某一速度自磁场左边界上的A点射入磁场区域，并从O点射出，粒子射出磁场的速度方向与x轴的夹角θ＝30°，大小为v。粒子在磁场中的运动轨迹为纸面内的一段圆弧，且弧的半径为磁场左右边界间距的两倍。粒子进入电场后，在电场力的作用下又由O点返回磁场区域，经过一段时间后再次离开磁场。已知粒子从A点射入到第二次离开磁场所用的时间恰好等于粒子在磁场中做圆周运动的周期。忽略重力的影响。求
（1）粒子经过A点时速度的方向和A点到x轴的距离；
（2）匀强电场的大小和方向；
（3）粒子从第二次离开磁场到再次进入电场时所用的时间。
【解析】：（1）设磁场左边界与x轴相交子D点，与CO相交于O’点，由几何关系可知，直线OO’与粒子过O点的速度v垂直。在直角三角形 OO’D中已知∠OO’D =300设磁场左右边界间距为d，则OO’=2d。依题意可知，粒子第一次进人磁场的运动轨迹的圆心即为O’点，圆弧轨迹所对的圈心角为300 ，且OO’为圆弧的半径R。
由此可知，粒子自A点射人磁场的速度与左边界垂直。

A 点到x轴的距离：AD=R(1－cos300)………………………………①
由洛仑兹力公式、牛顿第二定律及圆周运动的规律，得：
qvB=mv2/R………………………………………②
联立①②式得：…………………………………③
（2）设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T第一次在磁场中飞行的时间为 t1，有：
t1=T/12…………………………………………④
T=2πm/qB………………………………………⑤
依题意．匀强电场的方向与x轴正向夹角应为1500。由几何关系可知，粒子再次从O点进人磁场的速度方向与磁场右边界夹角为600。设粒子第二次在磁场中飞行的圆弧的圆心为O’’，O’’必定在直线OC 上。设粒子射出磁场时与磁场右边界文于P点，则∠OO’’P =1200．设粒子第二次进人磁场在磁场中运动的时问为t2有：
t2=T/3…………………………………………⑥
设带电粒子在电场中运动的时间为 t 3，依题意得：
t3=T－(t1+t2)…………………………………⑦
由匀变速运动的规律和牛顿定律可知：
―v=v―at3……………………………………⑧
a=qE/m ………………………………………⑨
联立④⑤⑥⑦⑧⑨式可得：
E=12Bv/7π……………………………………⑩
粒子自P点射出后将沿直线运动。
设其由P点再次进人电场，由几何关系知：∠O’’P’P =300……⑾
消
三角形OPP’为等腰三角形。设粒子在P、P’两点间运动的时问为t4，有：
t4=PP’/v………………………………………⑿
又由几何关系知：OP=R………………………………………⒀
联立②⑿⒀式得：t4=m/qB
6、如图，在x轴下方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于x y平面向外。P是y轴上距原点为h的一点，N0为x轴上距原点为a的一点。A是一块平行于x轴的挡板，与x轴的距离为，A的中点在y轴上，长度略小于。带点粒子与挡板碰撞前后，x方向的分速度不变，y方向的分速度反向、大小不变。质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子从P点瞄准N0点入射，最后又通过P点。不计重力。求粒子入射速度的所有可能值。
【解析】设粒子的入射速度为v,第一次射出磁场的点为,与板碰撞后再次进入磁场的位置为.粒子在磁场中运动的轨道半径为R,有…⑴,粒子速率不变,每次进入磁场与射出磁场位置间距离保持不变有…⑵,粒子射出磁场与下一次进入磁场位置间的距离始终不变,与相等.由图可以看出……⑶
设粒子最终离开磁场时,与档板相碰n次(n=0、1、2、3…).若粒子能回到P点,由对称性,出射点的x坐标应为-a,即……⑷,由⑶⑷两式得……⑸
若粒子与挡板发生碰撞,有……⑹联立⑶⑷⑹得n<3………⑺联立⑴⑵⑸得
………⑻把代入⑻中得
…………⑼
…………⑾
…………⑿
利用物理知识，即带电粒子（不计重力）在磁场中的运动，很容易得出⑴、⑵的结论；我认为这一点并不算难。结合物理中类似于光的反射知识（由“带点粒子与挡板碰撞前后，x方向的分速度不变，y方向的分速度反向、大小不变”得到启发）和数学对称知识得出结论⑶；利用数学集合中的交集和并集基本知识得出结论⑷；至于由⑶⑷两式得⑸，不仅体现解决方程的能力，更是一种数学意识的灵光闪现；最后的结论⑹理是数学抽象思维的具体表现。
我认为此题是2009年理综试题中，集数学计算、几何、推理功能于一体，解决物理问题的完美组合，不能不说是考查理科学生能力精品试题。
从这些试题可以看出：其中的有些题目，特别是物理试题，物理过程并不复杂，只要数学功能较强即可解决问题。