概率论与数理统计公式全完整版.docx

概 率 论 与 数 理 统 计 公 式 全

HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

第 1 章 随机事件及其概率

(1)排

列组合公

式


m!
P n = m (m 一 n)!
从 m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

m!
m n!(m 一 n)!
C n = 从 m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

加法原理(两种方法均能完成此事)： m+n

(2)加

法和乘法

原理
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种

方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)： m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个

步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。

重复排列和非重复排列(有序)
(3)一

些常见排

列
对立事件(至少有一个)

顺序问题

(4)随

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果
机试验和
不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则
随机事件
称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事

件，它具有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

(5)基

本事件、

样本空间

和事件

(6)事

件的关系

与运算

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。

一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用

大写字母 A， B， C， …表示事件，它们是 的子集。

为必然事件，为不可能事件。

不可能事件()的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事

件；同理，必然事件(Ω)的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定

是必然事件。

①关系：

如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，(A 发生必有事件

B 发生)： A 仁 B

如果同时有 A 仁 B， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等

于 B： A=B。

A、 B 中至少有一个发生的事件： A U B，或者 A+B。

属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与B 的差，记为

A-B，也可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事

件。

A、 B 同时发生： An B，或者 AB。 An B=，则表示 A 与 B 不可能同
时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不

相容的。

-A 称为事件A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示

A 不发生的事件。互斥未必对立。

②运算：

结合率： A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

分配率： (AB) ∪C=(A∪C) ∩ (B∪C) (A∪B) ∩C=(AC) ∪ (BC)

德摩根率：

n A = U A
i i
i=1 i=1 A U B = A n B， A n B = A U B

(7)概
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数
率的公理

化定义 P(A) ，若满足下列三个条件：

1° 0≤P(A)≤1，

2° P(Ω) =1

3° 对于两两互不相容的事件 A1， A2 ，…有

常称为可列(完全)可加性。

则称 P(A)为事件 A 的概率。

1° = , … }，
1 2 n

(8)古

典概型

1
2° P( ) = P( ) = … P( ) = 。
1 2 n n

设任一事件 A ，它是由 , … 组成的，则有
1 2 m

P(A) = ( ) U ( ) U … U ( )} = P( ) + P( ) + … + P( )
1 2 m 1 2 m

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，

同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，
(9)几
则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，
何概型
P(A) = L(A) 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积)。
L()

(10)加

法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当 P(AB) ＝0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)

P(A-B)=P(A)-P(AB)

(11)减
当 B 仁 A 时， P(A-B)=P(A)-P(B)
法公式

当 A=Ω时， P( B )=1- P(B)

(12)条

件概率

定义 设 A、 B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P(AB) 为事件 A 发生条 P(A)

件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) = P(A) 。
P(AB)

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A)

乘法公式： P(AB) = P(A)P(B / A)

(13)乘

法公式

更一般地，对事件 A， A ，…A ，若 P(A A …A )>0，则有
1 2 n 1 2 n- 1

P(A1A2 …An ) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1A2) ……P(An | A1A2 …
An 1)。

(14)独

①两个事件的独立性

立性

(15)全

概公式

设事件 A、 B 满足P(AB) = P(A)P(B) ，则称事件 A、 B 是相互独

立的。

若事件 A、 B 相互独立，且P(A) > 0 ，则有

若事件 A、 B 相互独立，则可得到 A 与B、 A 与B、 A 与B 也都

相互独立。

必然事件 和不可能事件与任何事件都相互独立。

与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B)P(C)； P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么 A、 B、 C 相互独立。

对于 n 个事件类似。

设事件B1, B2 , … , Bn 满足

1°B1, B2 , … , Bn 两两互不相容， P(Bi ) > 0(i = 1,2, … , n)，

A 仁Un B
2° i=1 i，

则有

P(A) = P(B1)P(A | B1) + P(B2)P(A | B2) + … + P(Bn )P(A | Bn )。

设事件 B1， B2 ，…， Bn及 A 满足

1° B1， B2 ，…， Bn两两互不相容， P(Bi) >0， i = 1， 2 ，…，

n
，

2°

A 仁Un B
i i=1 ，


，
P(A) > 0

(16)贝

叶斯公式

则

P(B / A) = P(Bi )P(A/ Bi ) ， i=1， 2，…n。
i n P(B )P(A/ B )
j j
j =1

此公式即为贝叶斯公式。

P(B ) ，( i = 1， 2，…， n )，通常叫先验概率。 P(B / A)，
i i
( i = 1， 2，…， n )，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因
果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

(17)伯

努利概型

我们作了n 次试验，且满足

每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生；

n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；

每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A

发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。

用p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为1 p = q ，用

Pn(k) 表示n 重伯努利试验中 A 出现k(0 k n) 次的概率，

Pn (k) = C k p k q nk， k = 0,1,2, , n。
n

第二章 随机变量及其分布

(1)离散型随机变量的分布

律

设离散型随机变量 X 的可能取值为 X (k=1,2, …)且取各
k

P(X=x )=p， k=1,2, …，
k k

则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有

X | x1, x2 , … , xk , …
P(X = xk ) p1, p2 , … , pk , … 。

显然分布律应满足下列条件：

(1) pk > 0， k = 1,2, …， (2)

pk = 1
k =1 。

(2)连续型随机变量的分布

密度

设F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数f (x) ，对

F (x) = jx f (x)dx
，

则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密

密度函数具有下面 4 个性质：

1°

2°

f (x) > 0。

j+ f (x)dx = 1
。

(3)离散与连续型随机变量

的关系

(4)分布函数

积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X =

设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数

称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。

P(a < X b) = F (b) F(a) 可以得到 X 落入区间 (a, b]的

分布函数具有如下性质：

1° 0 F(x) 1, < x < +；

2° F (x) 是单调不减的函数，即x1 < x2 时，有 F (x1)

3° F () = lim F (x) = 0， F (+) = lim F (x) = 1；
x x+

4° F (x + 0) = F (x) ，即 F(x) 是右连续的；

5° P(X = x) = F (x) F(x 0)。

对于离散型随机变量， F (x) = p ；
k
xk x

x
对于连续型随机变量， F (x) = j f (x)dx 。

项 分

(5)八大分布

0- P(X=1)=p, P(X=0)=q

1
分

布

二 在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A



P(X = k ) = Pn (k ) = C n(k) p k q n一k，


其中 q = 1 一 p,0 p 1, k

布 则称随机变量 X 服从参数为n， p 的二项分布。记为 X ~

当 n = 1时， P(X = k) = p k q 1一k， k = 0.1，这就是(0- 1)

泊 设随机变量 X 的分布律为

松
分 P(X = k) = k(入)k! e一入， 入 > 0， k = 0,1,2 ，
布
则称随机变量 X 服从参数为入 的泊松分布，记为 X ~ (入

泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ， n → ∞)。

超 随机变量 X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,

几

何

分

布

几 P(X = k) = qk 一1 p, k = 1,2,3, ，其中 p≥0， q=1-p。

何
随机变量 X 服从参数为p 的几何分布，记为 G(p)。 分
布

均 匀
分 布


设随机变量 X 的值只落在[a， b]内，其密度函数f (x) 在


( 1
f (x) =〈 b a
| ,
|0,


其他，

则称随机变量 X 在[a， b]上服从均匀分布，记为X~U(a，

分布函数为

F (x) = j x f (x)dx =
w

当 a≤x <x ≤b 时，
1 2

0，
x<a，
x a
b a ,
a≤x≤b

1，
x>b。
X 落在区间(x1 , x2 )内的概率为

1 2 b a
P(x < X < x ) = x2 x1 。

指 数 分 布

入e 入x ,

f (x) =
0,

,
x > 0

其中 入 > 0 ，则称随机变量 X 服从参数为入 的指数分布。

X 的分布函数为

1 e 入x ,

F (x) =
0,

,
x > 0

x<0。

记住积分公式：

正
设随机变量 X 的密度函数为
态 f (x) = 1 e-( 2装2(x-山))2， -w < x < +w，
2几装
分
其中 山、 装 > 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为 布
f (x) 具有如下性质：

1° f (x) 的图形是关于 x = 山 对称的；

2° 当 x = 山 时， f (山) = 1 为最大值；
2几装
若X ~ N (山,装2 ) ，则 X 的分布函数为
F(x) = j x e- 2装 2 dt
1 (t -山)2
2几装 -w 。。

参数 山 = 0、 装 = 1 时的正态分布称为标准正态分布，记为
Q(x) = e- 2
1 x2
2几 ， -w < x < +w，

分布函数为

1 x t2
C(x) = j e- 2 dt。
2几
-w
C(x) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用

Φ(-x) ＝1- Φ(x)且 Φ(0)＝ 。
1
2
如果 X ~ N (山,装 2 ) ，则 X - 山 ~ N(0,1)。
装
。
1 2 ( 装 ) ( 装 )

(6)分位数

下分位表： P(X 共 山 )＝a；
a

上分位表： P(X > 山 )＝a。
a

离 散 型
连 续 型

(7)函数分布
已知 X 的分布列为

X x1, x2, … , xn , …
P(X = xi ) p1, p2, … , pn , …，
Y = g(X ) 的分布列( y = g(x ) 互不相等)如下：
i i
Y g(x1), g(x2), … , g(xn), …
P(Y = yi ) p1, p2, … , pn , … ，
若有某些 g(xi ) 相等，则应将对应的 pi 相加作为 g(xi ) 的概

先利用 X 的概率密度 f (x)写出Y 的分布函数 F (y) ＝P(g
X Y

第三章 二维随机变量及其分布

(1)

联合

分布

离散型

如果二维随机向量 (X， Y)的所有可能取值为至多

设 = (X， Y)的所有可能取值为 (x , y )(i, j = 1,2, )
i j

为 = (X， Y)的分布律或称为 X 和Y 的联合分布律。联

Y
y
1
X


y
2


…


y
j


…

x
1


p
11


p
12

…


p
1j

…

x
2


p
21


p
22

…


p
2j

…

x
i


p
i1

…

…

这里 p 具有下面两个性质：
ij

(1) p ≥0 (i,j=1,2,…)； ij

(2) p = 1.
ij
i j

连续型

(2)

二维
随机
变量
的本
质

对于二维随机向量 = (X , Y) ，如果存在非负函数 f (x, y)

矩形区域 D，即 D={(X,Y) |a<x<b,c<y<d}有

则称 为连续型随机向量；并称 f(x,y)为 = (X， Y)的

分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：

(1) f(x,y) ≥0;

(2) j+ j+ f (x, y)dxdy = 1.

(3)

联合

分布

函数

设(X， Y)为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数

称为二维随机向量(X， Y)的分布函数，或称为随机变量 X 和Y 的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件{( , ) | < X( ) x, < Y
1 2 1
基本性质：

(1) 0 F(x, y) 1;

(2) F (x,y)分别对 x 和 y 是非减的，即

当 x >x 时，有 F (x ,y)≥F(x ,y);当 y >y 时，有 F(x,y ) ≥F(x,y );
2 1 2 1 2 1 2 1

(3) F (x,y)分别对 x 和 y 是右连续的，即

(4) F ( , ) = F( , y) = F(x, ) = 0, F (+ ,+ ) = 1.

(5)对于 x < x， y < y ， 1 2 1 2

F (x， y ) F(x， y ) F(x， y ) + F(x， y ) > 0 .
2 2 2 1 1 2 1 1

(4)

离散

型与

连续

型的

关系

(5) 离散型 X 的边缘分布为

边缘
P = P(X = x ) = p (i, j = 1,2, …)；
j
分布 i• i ij

Y 的边缘分布为

P = P(Y = y ) = p (i, j = 1,2, …)。
• j j ij i

连续型

X 的边缘分布密度为

Y 的边缘分布密度为

(6)

条件

分布

离散型

在已知 X=x 的条件下， Y 取值的条件分布为
i

在已知 Y=y 的条件下， X 取值的条件分布为
j

(7)

独立

连续型

一般型

离散型

在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为

f (x | y) = f (x, y)；
f ( y)
Y

在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为

F(X,Y)=F (x)F (y)
X Y

有零不独立

性
连续型

二维正态分布

随机变量的函数


f(x,y)=f (x)f (y)
X Y

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

＝0

若 X ,X , …X ,X , …X 相互独立， h,g 为连续函数，则：
1 2 m m+1 n

h (X， X , …X )和 g (X , …X )相互独立。
1 2 m m+1 n

特例：若 X 与Y 独立，则： h (X)和 g (Y)独立。

例如：若 X 与Y 独立，则： 3X+1 和 5Y-2 独立。

(8)
设随机向量(X， Y)的分布密度函数为

二维
其中 S 为区域 D 的面积，则称(X， Y)服从 D 上的均匀分布，记为(X， Y)~U (D)
D
均匀

例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。
分布

y

1

D
1

O 1 x

图 3.1

y

1

O D 2 x
2

图 3.2

y

d
D
c

O a b x

图 3.3

(9)

二维

正态

分布

设随机向量(X， Y)的分布密度函数为

其中 山 , 山 幸 > 0, 幸 > 0, | p |<1是 5 个参数，则称(X， Y)服从二维正态分布，
1 2 , 1 2

记为(X， Y)~N ( 山 , 山 幸2 ,幸2 , p).
1 2, 1 2

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，

即 X~N ( 山 ,幸 2 ), Y ~ N(山 幸 2 ).
1 1 2, 2

但是若 X~N ( 山 ,幸2 ), Y ~ N(山 幸2 )， (X， Y)未必是二维正态分布。
1 1 2, 2

(10 Z=X+Y

)函

数分

布

根据定义计算： F (z) = P(Z 共 z) = P(X + Y 共 z)
Z

+w
对于连续型， f (z) ＝ j f (x, z _ x)dx
Z
_w

两个独立的正态分布的和仍为正态分布( 山 + 山 ,幸 2 +幸
1 2 1

n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

山 = xC 山 ， 幸 2 = xC 2 幸 2
i i i i
i i

Z=max,min(X ,X , …X )
1 2 n

若 X , X
1 2

X 相互独立，其分布函数分别为 F (x)， F
n x1 x2

X2 分布

t 分布

F 分布

设 n 个随机变量 X , X , , X 相互独立，且服从标准正
1 2 n

的分布密度为

我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的 X2 分布，记为 W~

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机

X2 分布满足可加性：设

则

设 X， Y 是两个相互独立的随机变量，且

可以证明函数

的概率密度为

我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 T~t

设 X ~ X2 (n ), Y ~ X2 (n ) ，且 X 与 Y 独立，可以证明F =
1 2

我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由

第四章 随机变量的数字特征

(1)

一维

随机

变量

的数

字特

征


期望

期望就是平均值

离散型

设 X 是离散型随机变量，

其分布律为 P( X = x )＝
k

p， k=1,2, …,n，
k

(要求绝对收敛)

连续型

设 X 是连续型随机变量，其

(要求绝对收敛)

函数的期望

Y=g(X)

Y=g(X)

方差

D(X)=E[X-E(X)]2，

标准差

(X ) = D(X )，

矩

①对于正整数 k，称随机

变量 X 的 k 次幂的数学期

望为 X 的 k 阶原点矩，记

为 v , 即
k

ν =E(Xk)= x k p ,
k i i
i
k=1,2, ….

②对于正整数 k，称随机

变量 X 与E (X)差的 k 次

幂的数学期望为 X 的 k 阶

中心矩，记为 ，即
k

①对于正整数 k，称随机变

k
ν =E(Xk)= j+wx k f (