概率论与数理统计完整公式以及各知识点梳理.docx

( 1 )排列
组合公式
.

概率论与数理统计完整版公式
第 1 章 随机事件及其概率

.

P n =
m

C n =
m

m!
(m 一 n)!

m! n!(m 一 n)!


从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。

从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。

加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n

( 2 )加法 和 乘 法 原
理
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。
( 3 )一些 常见排列

( 4 )随机 试 验 和 随 机事件

( 5 )基本 事件、样本 空 间 和 事
件
重复排列和非重复排列(有序)
对立事件(至少有一个)

顺序问题

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。
试验的可能结果称为随机事件。

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有 如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

.

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母

A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。
为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件(Ø)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件(Ω)的概率为 1 ，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系：

如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，(A 发生必有事件 B 发生)：
A 仁 B
如果同时有A 仁 B ， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：

A=B。

A、 B 中至少有一个发生的事件： AY B ，或者 A+B。

属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为A 与 B 的差，记为 A-B，也

( 6 )事件
可

的 关 系 与
表示为 A-AB 或者AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
运算
A、 B 同时发生：AI B ，或者AB。 AI B=Ø，则表示A 与 B 不可能同时发

生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A 。它表示 A 不发

生的事件。互斥未必对立。

②运算：

结合率： A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

分配率： (AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

.

.

Iw A = Yw A
i i
德摩根率： i=1 i=1 A Y B = A I B ， A I B = A Y B
设业 为样本空间， A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数 P(A) ，若满
足下列三个条件：

( 7 )概率

的 公 理 化

定义

( 8 )古典

概型

( 9 )几何

概型

( 10)加法

公式

( 11)减法

公式

( 12)条件

1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件 A 1 ， A2 ，…有
P(||(Ai))|| = P(Ai )
常称为可列(完全)可加性。
则称 P(A)为事件 A 的概率。
1° 业 = {o ,o ^ o }，
1 2 n
2° P(o ) = P(o ) = ^ P(o ) = 1 。
1 2 n n
P(A) = {(o ) Y(o ) Y^ Y(1) (o2 ) } P(o ) + P(o ) + ^ + P(o )
1 2 m 1 2 m
设任一事件 A ，它是由o ,o ^ o 组成的，则有

m A所包含的基本事件数
= =
n 基本事件总数

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空

间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何

概型。对任一事件 A，

L(业)
P(A) = L(A) 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积)。

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当 P(AB)＝0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)

P(A-B)=P(A)-P(AB)

当 B 仁 A 时， P(A-B)=P(A)-P(B)

当 A=Ω时， P( B )=1- P(B)
定义 设 A、 B 是两个事件，且P(A)>0 ，则称 P(AB) 为事件 A 发生条件下， P(A)

.

.

概率

( 13 )乘法

公式

事件 B 发生的条件概率，记为P(B / A) = P(AB)。
P(A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1- P(B/A)
乘法公式： P(AB) = P(A)P(B / A)
更一般地，对事件 A1，A2 ，… An ，若 P(A1A2 …An-1)>0 ，则有
P(A1A2 … An ) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1A2) …… P(An | A1A2 … An 1)。
①两个事件的独立性

( 14)独立

性

( 15 )全概

公式

( 16)贝叶

设事件 A、 B 满足P(AB) = P(A)P(B)，则称事件 A、 B 是相互独立的。 若事件 A、 B 相互独立，且P(A) > 0 ，则有
P(B | A) = P(AB) = P(A)P(B) = P(B)
P(A) P(A)
若事件 A、 B 相互独立，则可得到 A 与 B、 A 与 B、 A 与 B 也都相互独 立。
必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性

设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B)P(C)； P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么 A、 B、 C 相互独立。

对于 n 个事件类似。
设事件B1, B2 ,^ , Bn 满足
1°B1, B2 ,^ , Bn 两两互不相容， P(Bi ) > 0(i = 1,2,^ , n) ，
n
A 仁 Y B
i
2°
i=1 ，
则有
P(A) = P(B1)P(A | B1) + P(B2)P(A | B2) +^ + P(Bn )P(A | Bn )。
设事件 B 1 ， B2 ，…， Bn 及 A 满足
1° B 1 ， B2 ，…， Bn 两两互不相容， P(Bi) >0， i = 1，2 ，…， n ，

.

斯公式

( 17)伯努 利概型

( 1)离散 型随机变 量的分布
律

.

n
A 仁 Y B
2° i=1 i ， P(A) > 0 ，
则
P(B / A) = P(Bi )P(A / Bi ) ， i=1，2 ，… n。
i xn P(B )P(A / B )
j j
j =1
此公式即为贝叶斯公式。
P(B ) ，( i = 1 ， 2 ，…， n ) ，通常叫先验概率。 P(B / A) ，( i = 1 ， 2 ，…，
n )，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了
“由果朔因”的推断。
i i

我们作了n 次试验，且满足
令 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生；
令 n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；
令 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与 否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。
用p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为1 - p = q ，用Pn(k) 表 示n 重伯努利试验中 A 出现k(0 元 k 元 n) 次的概率，
Pn (k) = C n(k) p k q n-k ， k = 0,1,2,^ , n。
第二章 随机变量及其分布
设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk (k=1,2,…)且取各个值的概率，即事 件(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk， k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出：
X | x1, x2,^ , xk ,^
P(X = xk ) p1, p2,^ , pk ,^ 。
显然分布律应满足下列条件：

xw pk = 1
( 1 ) pk > 0 ， k = 1,2,^ ， ( 2 ) k =1 。

.

( 2 )连续 型随机变 量的分布
密度

( 3 )离散 与连续型 随机变量
的关系

.

设F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数f (x) ，对任意实数 x ，有 F (x) = jx f (x)dx
，
则称X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概 率密度。
密度函数具有下面 4 个性质：

1°

2°
f (x) > 0
。
j+ f (x)dx = 1
。
P(X = x) P(x < X x + dx) f (x)dx

积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P(X = xk ) = pk 在离 散型随机变量理论中所起的作用相类似。

.

设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F (x) = P(X x)

称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。

P(a < X b) = F (b) F(a) 可以得到 X 落入区间(a, b] 的概率。分布 函数F(x) 表示随机变量落入区间( – ∞， x]内的概率。

(4)分布
函数

分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, < x < + ；

2° F (x) 是单调不减的函数，即x1 < x2 时，有


F (x1) F (x2) ；

3° F () = lim F (x) = 0 ， F (+) = lim F (x) = 1 ；
x x+
4° F (x + 0) = F (x) ，即F(x) 是右连续的；
5° P(X = x) = F (x) F(x 0)。
对于离散型随机变量， F (x) = p ；
k
xk x
x
对于连续型随机变量， F (x) = j f (x)dx 。

( 5 )八大

0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q

.

分布

二项分布

在n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生 的次数是随机变量，设为X ，则X 可能取值为0,1,2,^ , n 。
P(X = k ) = Pn (k ) = C n(k) p k q n一k ， 其 中

q = 1 一 p,0 p 1, k = 0,1,2,^ , n ，

则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n ， p 的 二 项 分 布 。 记 为 X ~ B(n, p) 。
当n = 1时， P(X = k) = p k q 1一k ， k = 0. 1 ，这就是( 0-1 )分

泊松分布

超几何分布

几何分布

布，所以( 0-1 )分布是二项分布的特例。
设随机变量X 的分布律为

P(X = k) = 入k e一入， 入 > 0 ， k = 0,1,2^ ，
k!
则称随机变量 X 服从参数为 入 的泊松分布，记为 X ~ (入) 或 者 P(入 )。
泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ， n→∞)。

P(X = k) = M N 一M ,
C k • Cn一k k = 0,1,2^ , l
C n l = min(M , n)
N
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。 P(X = k) = qk 一1 p, k = 1,2,3,^ ，其中 p≥0，q=1-p。
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。

f (x) =〈 b - a

.

均匀分布
设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数f (x) 在[a，b]
1
上为常数 ，即
b - a

a≤x≤b
其他，
| ,
( 1

|l0,

则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。 分布函数为
0，
x<a，
x - a
,
b - a
a≤x≤b
F (x) = jx f (x)dx =
-的
1，
x>b。

当 a≤x1 <x2 ≤b 时， X 落在区间( x1 , x2 )内的概率为
P(x < X < x ) = x2 - x1
1 2 b - a 。

指数分布

入e-入x ,
f (x) =
0,

x > 0
,

x < 0
,

其中入 > 0 ，则称随机变量 X 服从参数为入 的指数分布。 X 的分布函数为

F (x) =

1 - e-入x ,
0,

x > 0
,

x<0。

记住积分公式： +j的xn e-x dx = n!
0

.

正态分布 设随机变量X 的密度函数为
1 (x-p)2
f (x) = e- 2住2 ， -w < x < +w，
2冗住
其中 p、住 > 0 为常数，则称随机变量X 服从参数为 p、住 的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为X ~ N (p,住2 ) 。
f (x) 具有如下性质：
1° f (x) 的图形是关于x = p对称的；
2° 当x = p 时， f (p) = 1 为最大值；
若X ~ N ( ,住2 ) ，p)2(X) 的分布函数为
2冗住
F (x) = j x e- 2住 2 dt
。 。
2冗住 -w

参数 p = 0 、 住 = 1 时的正态分布称为标准正态分布，记为
X ~ N (0,1)1，其密x2度函数记为
Q(x) = e- 2
， ，
2冗 - w < x < +w
分布函数为
1 x t2
C(x) = j e- 2 dt 。
2冗
C(x) 是不可求-w积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
1
Φ(-x) ＝1-Φ(x)且 Φ(0) ＝ 。
2
如果 X ~ N( p,住 2 ) ，则 X - p ~N(0,1) 。 x2 -住p)| - C(|x1 - p)|。
1 2 ( 住 ) ( 住 )
( 6)分位

数
下分位表： P(X 共 pa )＝a ；
上分位表： P(X > p )＝a 。
a

离散型

(7)函数

分布

连续型

已知 X 的分布列为
X x1, x2, ^ , xn , ^
P(X = xi ) p1, p2 , ^ , pn , ^ ，
Y = g(X ) 的分布列( y = g(x ) 互不相等)如下：
Y g(x1), g(x2i), ^ , ig(xn ), ^
若(P)某(=)些(y)ig())(xi )p相1,等 p，应将(^)对,应pp^相加i作(，)为g(xi ) 的概率。
先利用 X 的概率密度 fX (x)写出 Y 的分布函数 FY (y)＝P(g(X)≤y)，
再利用变上下限积分的求导公式求出 fY (y)。

.

第三章 二维随机变量及其分布

.
离散型

( 1 )联合
分布

如果二维随机向量 ( X，Y)的所有可能取值为至多可 列个有序对(x,y)，则称 为离散型随机量。
设 =(X，Y)的所有可能取值为(x , y )(i, j = 1,2,^ ) ，
i j
且事件{ = (xi , y j ) }的概率为 pij,,称

P{(X , Y) = (x , y )} = p (i, j = 1,2,^ )
i j ij
为 = ( X，Y)的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合
分布有时也用下面的概率分布表来表示：
y
y
y
…
…
…
…
…
…
j
1
2
Y
X
p
p
p
p
x
1
11
12
1j
p
p
x
22
M
2
M
21
M
2j
M
M
x
p
…
…
i
i1
p
ij
M
M
M
M
M

这里 pij 具有下面两个性质：

( 1 ) pij ≥0 ( i,j=1,2,…)；
( 2 ) p = 1.
ij
i j

.

连续型 对 于 二 维 随 机 向量 = (X , Y) ， 如 果 存 在 非 负 函 数

f (x, y)( < x < + , < y < +) ，使对任意一个其邻边 分 别 平 行 于 坐 标 轴 的 矩 形 区 域 D ， 即
D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有
P{(X , Y) =D} = jj f (x, y)dxdy,
D
则称 为连续型随机向量；并称 f(x,y)为 = ( X，Y)的分布 密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。
分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：

(1) f(x,y)≥0;
( 2 ) j+ j+ f (x, y)dxdy = 1.
( 2 )二维
随机变量
(X = x, Y = y) = (X = x I Y = y)

的本质

分布函数

.

设( X，Y)为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数

F (x, y) = P{X 共 x, Y 共 y}

称为二维随机向量( X，Y)的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分

布函数。

分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件

{(O , O ) | _w < X(O ) 共 x,_w < Y(O ) 共 y} 的概率为函数值的一个实值
1 2 1 2

函数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质：
( 3 )联合
( 1 ) 0 共 F(x, y) 共 1;

( 2 ) F (x,y)分别对 x 和 y 是非减的，即

当 x2 >x1 时，有 F(x2,y)≥F(x1,y);当 y2 >y1 时，有 F(x,y2) ≥F(x,y1);

( 3 ) F (x,y)分别对 x 和 y 是右连续的，即

F (x, y) = F (x + 0, y), F (x, y) = F (x, y + 0);

( 4 ) F (_w,_w) = F (_w, y) = F (x,_w) = 0, F (+w,+w) = 1.

( 5 )对于 x < x， y < y ， 1 2 1 2
F (x， y ) _ F (x， y ) _ F (x， y ) + F(x， y ) > 0 .
2 2 2 1 1 2 1 1
(4)离散
P(X = x， Y = y) 必 P(x < X 共 x + dx， y < Y 共 y + dy) 必 f (x， y)dxdy

型与连续

型的关系

离散型
X 的边缘分布为
p (i, j = 1,2,^ ) ；
ij
( 5 )边缘

分布
P = P(X = x ) = x
i• i
j
Y 的边缘分布为
p (i, j = 1,2,^ ) 。
ij
P = P(Y = y ) = x
• j j
i

.

.

.

( 6)条件

分布

(7)独立

性

连续型

离散型

连续型

一般型

离散型

连续型

X 的边缘分布密度为
f (x) = j+ f (x, y)dy；
一
X

Y 的边缘分布密度为
f (y) = j+ f (x, y)dx.
一
Y

在已知 X=xi 的条件下， Y 取值的条件分布为
P(Y = y | X = x ) = ij ；
p
j i p
i•
在已知 Y=yj 的条件下， X 取值的条件分布为

P(X = x | Y = y ) = ij ,
p
i j p • j
在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为

f (y)
f (x | y) = f (x, y) ；
Y

在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为

f ( y | x) = f (x, y)
f (x)
X

F(X,Y)=FX (x)FY (y)

pij = pi• p • j

有零不独立

f(x,y)=fX (x)fY (y)

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

.

.
二维正态分 布

随机变量的 函数

1
f (x, y) =
e -2(11-p2 ) (||( x o(-)p11 ))||2 - 2 p( x +(||( yo(-)p22 ))||2 ,
2"o o 1 - p2
1 2

p ＝0

若 X1,X2, …Xm,Xm+1, …Xn 相互独立， h,g 为连续函数，则： h ( X1，X2, …Xm )和 g ( Xm+1, …Xn )相互独立。
特例：若 X 与 Y 独立，则： h (X)和 g (Y)独立。
例如：若 X 与 Y 独立，则： 3X+1 和 5Y-2 独立。

设随机向量( X，Y)的分布密度函数为

(x, y) =D
(8)二维
均匀分布
其他
l
S1D
f (x, y) =〈|0,

其中 SD 为区域 D 的面积，则称( X，Y)服从 D 上的均匀分布，记为( X，
Y)~ U ( D )。

山 = x C 山 ， i i
i

.

设随机向量( X，Y)的分布密度函数为

f (x, y) =

1
e - 2(11-p2 ) (||( x 装(-)1(山)1 ))||2 - 2 p( x1 )装(2y -山2 ) +(||( y 装(-)2(山)2 ))||2 ,
2m装 装 1 - p2
1 2

其中 山 , 山 装 > 0, 装 > 0, | p|< 1是 5 个参数，则称(X，Y)服从二维正态
1 2 , 1 2

(9)二维

正态分布

分布，
记为( X，Y)~ N ( 山 , 山 装2 ,装2 , p).
1 2, 1 2

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分

布，

即 X ~ N ( 山 ,装 2 ), Y ~ N(山 装 2 ).
1 1 2, 2
但是若 X~ N ( 山 ,装 2 ), Y ~ N(山 装 2 ) ， (X，Y)未必是二维正态分布。
1 1 2, 2
Z=X+Y 根据定义计算： F (z) = P(Z 共z) = P(X + Y 共z)
Z

( 10)函数

分布
Z=max,min

(X1,X2, …Xn)

+w
对于连续型， fZ (z)＝ j f (x, z - x)dx
-w
两 个 独 立 的 正 态 分 布 的 和 仍 为 正 态 分 布

( 山 + 山 ,装 2 +装 2 )。
1 2 1 2

n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
装 2 = xC 2 装 2 i i
i
若 X , X ^ X 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为
1 2 n
Fx1 (x)， Fx2 (x)^ Fxn (x) ，则 Z=max,min(X1,X2, …Xn)的分
布函数为：

F (x) = F (x) . F (x)^ F (x)
max x1 x2 xn
F (x) = 1 - [1 - F (x)] .[1 - F (x)]^ [1 - F (x)]
min x1 x2 xn

.

X 2 分布
设 n 个随机变量X , X ,V , X 相互独立，且服从标准正态
1 2 n
分布，可以证明它们的平方和

W = 3n X 2
i
i=1
的分布密度为
f (u) = )0(2),2(n) 质)|) 2(n)((|
我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的 X 2 分布，记为 W ~
X 2 (n) ，其中
J 1 n -1 - u

质)| n (| = j + 伪 x 2(n) -1 e -x dx.
) 2 ( 0

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变 量分布中的一个重要参数。
X 2 分布满足可加性：设

Y - X 2 (n ),
i i
则

Z = 3k Y ~ X 2 (n + n + V + n ).
i 1 2 k
i=1

.

t 分布

F 分布

设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且

X ~ N (0,1), Y ~ X 2 (n),

可以证明函数

X
T
=
Y / n

的概率密度为

r(|n + 1)|
f (t) = (||(1 + n(t2) ))||-n2(+)1 (-w < t < +w).
( 2 )

我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 T~t(n)。

t (n) = -t (n)
1-a a
设 X ~ X2 (n ), Y ~ X2 (n ) ，且 X 与 Y 独立，可以证明
1 2
X / n
Y / n
F = 1 的概率密度函数为
2

r|( 2 )|r|( 2 )| ( 0, y < 0
f (y) =〈 n11)2(+)n(2)) (|| n(n)2(1) ))|| y -1 (||(1 + n(n)2(1) y))||-n1 2(+)

我们称随机变量 F 服从第一个自由度为
n1
，第二个自由度为

n2 的 F 分布，记为 F~f(n1, n2).

1
F (n ,