概率论及数理统计公式整理(超全版).docx

(5)基
本事件、
样 本 空
间 和 事
件

第 1 章 随机事件及其概率

m!
(1)排
列 组 合
An =
从 m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
m (m n)!
m!
C n =
从 m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
m n!(m n)!
公式
加法原理(两种方法均能完成此事)： m+n
某件事由两种方法来完成， 第一种方法可由 m 种方法完成， 第二种方法可由 n 种
(2)加
方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。
法 和 乘
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)： m×n
法原理
某件事由两个步骤来完成， 第一个步骤可由 m 种方法完成， 第二个步骤可由 n 种
方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。
(3)一
些 常 见
排列
(4)随
机 试 验
和 随 机
重复排列和非重复排列(有序)
对立事件(至少有一个)
顺序问题
如果一个试验在相同条件下可以重复进行， 而每次试验的可能结果不止一个， 但
在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
事件
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如
下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母 A，
B， C， …表示事件，它们是 的子集。
为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件(Ø)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，
必然事件(Ω)的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。

(6)事
①关系：

件 的 关
系 与 运
算

如果事件 A 组成部分也是事件 B 的组成部分，(A 发生必有事件 B 发生)：A B
如果同时有 A B， B A， 则称事件 A 与事件 B 等价， 或称 A 等于B： A=B。
A、 B 中至少有一个发生的事件： AU B，或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与B 的差，记为 A-B，也可表

示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
A、B 同时发生： An B，或者 AB。An B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称 事件 A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A 称为事件A 的逆事件， 或称 A 的对立事件， 记为 A 。它表示 A 不发生的事
件。 An B=Ø， A U B=
互斥未必对立。 常用公式： A AB AB
②运算：
交换律： A∪B=B∪A AB=BA
结合率： A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率： (AB) ∪C=(A∪C)∩ (B∪C) (A∪B) ∩C=(AC)∪ (BC)
n A U A
i i
德摩根率： i 1 i 1 A U B A n B， A n B A U B
频率： f (A)= nA 性质：
n n
(1)0 f (A) 1; n
(2)f(S) 1, f() 0;
(3)若A ,A , ,A 是两两互不相容的事,
1 2 k
f(A A A ) f (A ) f (A ) f (A )
1 2 k n 1 n 2 n k
随机波动性 和 稳定性。 频率 (波动) 概率(稳定).

(7)概 率 的 公 理 化 定 义

概率：设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数 P(A)， 若满足下列三个条件：
1° P(A) ≥0
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件A1， A2 ，…有
i1P(Ai )常称为可列(完全)可加性。
则称 P(A)为事件 A 的概率。

概率性质：
(1)0 P(A) 1,P(S) 1,P() 0;

(2)若A ,A , ,A 是两两互不相容事件，则有
1 2 n

P(A
1

A
2

A ) P(A ) P(A ) n 1 2

P(A ). (有限可加性)
n

(3)设A,B 为两个事件,且 A B,则P(A) P(B),P(B A) P(B) P(A).

(4) 设 A是A的对立事件,则 P(A) 1 P(A).
(5)(加法公式) 对于任意两事件 A,B ,有P(A B) P(A) P(B) P(AB).
P(A
A
A ) P(A ) P(A ) P(A ) P(A A ) P(A A ) P(A A ) P(A A A ).
1
2
3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3
P(A
A
A ) n P(A ) P(A A ) P(A A A ) (1)n1P(A A A ).
1
2
n i i j i j k 1 2 n
i 1 1i jn 1i jk n
1° , … ， 2° P( ) P( ) … P( ) 1 。
1 2 n 1 2 n n
设任一事件A ，它是由 , … 组成的，则有
(8)古
典概型
P(A) = ( )U ( )U … 1U(2 ) =P(m)( ) P( ) … P( )
1 2 m 1 2 m
m A所包含的基本事件数

n 基本事件总数
(9)几 何概型

(10) 加 法公式
(11) 减 法公式
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空间 中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概
型。对任一事件 A， P(A) L(A) 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积)。 L()
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当 P(AB) ＝0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当 B A 时， P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω时， P( B)=1- P(B)
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称P(AB) 为事件 A 发生条件下，事件 B P(A)
发生的条件概率，记为 P(B /A) P(AB) 。
(12) 条
件概率
P(A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

P (B | A) 0, P (S | A) 1,若 B ,B 两两互不相容
1 2
P(B B |A) P(B |A) P(B |A) P(B B |A)
1 2 1 2 1 2
乘法公式： P(AB) P(B / A)P(A)

P ( B | A) P (B | A)
i i
i 1 i 1

(13) 乘
法公式
更一般地，对事件 A， A ，…A ，若 P(A A …A )>0，则有
1 2 n 1 2 n- 1
P(A A12 … A )n P(A )P(A12 | A )P(A13 | A A )12 …… P(An | A A12 … An 1) 。
①两个事件的独立性
(14) 独
立性
设事件A 、 B 满足P(AB) P(A)P(B) ，则称事件A 、 B 是相互独立的。 若事件A 、 B 相互独立，且P(A) 0 ，则有
P(AB) P(A)P(B)
P(B | A) P(B)
P(A) P(A)

若事件A 、 B 相互独立，则A 与B 、 A 与B 、 A 与B 也都相互独立。 必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，
如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)； 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
若事件 A , A , , A (n > 2)相互独立 , 则其中任意k (2 k n)个事件也相互独立.
1 2 n
若 n 个事件 A , A , ,A (n > 2)相互独立,则将 A , A , , A 中任意多个事件换成
1 2 n 1 2 n
它们的对立事件,所得的 n 个事件仍相互独立 .
设事件 B1,B2, … ,Bn 满足
(15) 全
概公式
1°B1,B2, … ,Bn 两两互不相容， P(Bi ) > 0(i = 1,2, … ,n)，
n
2° B = S ，
i
i=1
则有 P(A) = P(B1)P(A | B1)+ P(B2)P(A | B2)+ … + P(Bn )P(A | Bn )。
设事件B1， B2，…， Bn及A 满足
1° B1， B2，…， B n两两互不相容， P(Bi) >0， i = 1， 2，…， n，
A 仁Un B
i
i=1 ，
2°
P(A) > 0
，

则 P(B /A) = P(ABi ) = P(Bi )P(A /Bi ) ， i =1， 2，… n 。
(16) 贝 叶 斯 公
式
P(B )P(A /B )
j j
i P(A) n

j=1
此公式即为贝叶斯公式。
P(B )， ( i = 1， 2， …， n )， 通常叫先验概率。 P(B /A)， (i =1， 2， …， n )，
i i
通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔
因”的推断。
我们作了n 次试验，且满足
令 每次试验只有两种可能结果， A 发生或A 不发生；
令 n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；
令 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否
是互不影响的。
(17) 伯 努 利 概
型
这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。
用p 表示每次试验A 发生的概率， 则A 发生的概率为1 p = q，用 Pn (k) 表示n
重伯努利试验中A 出现k(0 k n)次的概率，

Pn (k) = C k p k q nk k = 0,1,2, … ,n
n
， 。

第二章 随机变量及其散布
设离散型随机变量X 的可能取值为 X (k=1,2, …)且取各个值的概率，即事
k
件(X=X )的概率为 P(X=x )=p， k=1,2, …，
k k k
则称上式为离散型随机变量X
x
X ~ 1
p
n
的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式：
X | x1,x2, … ,xk , …
P(X xk ) p1,p2, … ,pk , …
显然分布律应满足下列条件： (1) pk 0， k 1,2, …， (2) p k 1 。
设 F (x)是随机变量X 的分布函数，若存在非负函数f (x) ，对任意实数 x ，有 F(x) x f (x)dx
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x)称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概
率密度。
密度函数具有下面 4 个性质：
f (x) 0
。
3° 对于任意实数 x1,x2 (x1 x2 )， P{x1 X x2 }=F (x2) F(x1) x2 f (x)dx
x
4° 若 f (x)在 x 处连续，则有F '(x) f (x) 1
P(X x) P(x X x dx) f (x)dx
积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X xk ) pk 在离散型
随机变量理论中所起的作用相类似。
(2) 连续 型随机变 量的分布
密度
(1) 离散 型随机变 量的分布
律
(3) 离散 与连续型 随机变量
的关系
f (x)dx 1
。
2°
1°

p
p
k 1
x
x
n
2
2
1

(4) 分布 函数

(5) 八大 分布

设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数 F (x) = P(X 共 x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a < X 共 b) = F (b)_ F (a) 可以得到 X 落入区间(a,b]的概率。 分布函

数 F (x)表示随机变量落入区间( – ∞， x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 共 F(x) 共 1, _ w < x < +w；

2° F (x)是单调不减的函数，即x1 < x2 时，有 F(x1) 共 F(x2)；
3° F (_w) = lim F (x) = 0， F (+w) = lim F (x) = 1；
x) _w x)+w
4° F(x + 0) = F(x) ，即F (x)是右连续的；

5° P(X = x) = F (x)_ F (x _ 0)。

k
对于离散型随机变量， F(x)= x p ； 对于连续型随机变量， F(x) = jx f (x)dx 。
xk共x _w
0- 1 分布
二项分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q
在n 重贝努里试验中， 设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生的次

数是随机变量，设为X ，则 X 可能取值为0,1,2, … ,n 。

P(X = k) = Pn (k) = Cn(k)pk qn_k ，其中q = 1_ p,0 < p < 1,k = 0,1,2, ,n，
则称随机变量 X 服从参数为 n， p 的二项分布。记为 X ~ B(n,p)。

泊松分布

超 几 何 分 布

当 n = 1时， P(X = k) = pk q1_k， k = 0.1，这就是(0- 1)分布，
所以(0- 1)分布是二项分布的特例。
入k
设随机变量 X 的分布律为 P(X = k) = e_ 入， 入 > 0， k = 0,1,2 k !
则称随机变量 X 服从参数为入 的泊松分布，记为 X ~爪 (入)或P(入)
泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ， n → ∞)。
C k • Cn_k k = 0,1,2 … ,l
P(X = k) = M N _M ,
C n l = min(M ,n)
N
随机变量 X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。

f (x) =〈b - a

几何分布

均匀分布

P(X = k) = qk -1p,k = 1,2,3, ，其中 p≥0， q=1-p。
随机变量 X 服从参数为p 的几何分布，记为 G(p)。
设随机变量 X 的值只落在[a， b]内，其密度函数f (x)在[a， b]上
1
为常数 ，即
b - a
a≤x≤b 其他，
| ,
( 1
|l0,

则称随机变量 X 在[a， b]上服从均匀分布，记为 X~U(a， b)。
分布函数为
0， x<a，
F(x) = j x f (x)dx = x - a ,
-的 b - a a≤x≤b 1， x>b。
当 a≤x <x ≤b 时， X 落在区间(x1 ,x2 )内的概率为
1 2
P(x < X < x ) = x2 - x1 。
1 2 b - a
指数分布
0, x < 0,
f (x) = 入 e-入x , x > 0,

其中 入 > 0 ，则称随机变量 X 服从参数为入 的指数分布。
X 的分布函数为 入 = 1 9

F (x) =

1- e-入x ,
0,

x > 0
,

x<0。

P{X > s + t |X > s}= P{X > t},(无记忆性)
记住积分公式： j xn e-x dx = n!
+的

0

正态分布
设随机变量X 的密度函数为

f (x) 1 e x ，
2
其中 、 0 为常数， 则称随机变量X 服从参数为 、 的
正态分布或高斯(Gauss)分布，记为 X ~ N( , 2)。 f (x)具有如下性质：
1° f (x) 的图形是关于x 对称的；
2 若X ~ N( , 2)，则 X 的分布函数为
2° 当 x 时， f () 1 为最大值；

F(x) 1 x e
。
2
参 数 0 、 1 时 的 正 态 分 布 称 为 标 准 正 态 分 布， 记 为 X ~ N (0,1) ，其密度函数记为
(x) 1 e x22
2 ， x ，
分布函数为
(x) 1 e
2
(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
1
Φ(-x) ＝1- Φ(x)且 Φ(0)＝ 。

2
X

P(x X x ) x2 x1 。
如果 X ~ N( , 2 ) ，则 ~ N (0,1) 。

1 2
(6) 分位 数
(7) 函数 分布
1 。
下分位表： P(X z )＝ ； 上分位表： P(X z )＝ z z
离散型 已知 X 的分布列为
X x1, x2, … , xn , …
，
P(X xi ) p1, p2, … , pn , …
Y g(X ) 的分布列( y g(x )互不相等)如下：
i i
Y g(x1), g(x2), … , g(xn), …
，
P(Y yi ) p1, p2, … , pn , …
若有某些g(xi )相等，则应将对应的p i 相加作为g(xi ) 的概率。
连续型
先利用 X 的概率密度f (x)写出Y 的分布函数 F (y) ＝ P(g(X)≤y)，
X Y
再利用变上下限积分的求导公式求出 f (y)。
Y

第三章 二维随机变量及其散布

(1)联合分 布函数

设(X， Y)为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数
F (x,y) = P{X x,Y y}

称为二维随机向量(X， Y)的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函 数。
分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件
{( , )| < X( ) x, < Y( ) y}的概率为函数值的一个实值函
1 2 1 2
数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质：
(1) 0 F(x,y) 1;
(2) F (x,y)分别对 x 和 y 是非减的，即
当 x >x 时，有 F (x ,y)≥F(x ,y);当 y >y 时，有 F(x,y ) ≥F(x,y );
2 1 2 1 2 1 2 1
(3) F (x,y)分别对 x 和 y 是右连续的，即
F (x,y) = F(x + 0,y),F (x,y) = F(x,y + 0);

(4) F ( , ) = F( ,y) = F(x, ) = 0,F (+ ,+ ) = 1.

(5)对于 x < x， y < y ，
1 2 1 2
F (x， y ) F(x， y ) F(x， y ) + F(x， y ) > 0.
2 2 2 1 1 2 1 1

(2) 联合分布 离散型

连续型

如果二维随机向量 (X， Y)的所有可能取值为至多可列

个有序对(x,y)，则称 为离散型随机量。
设 = (X， Y)的所有可能取值为(x ,y )(i,j = 1,2, …)，
i j
且事件{ = (xi ,yj ) }的概率为 pij,,称
P{(X ,Y) = (x ,y )}= p (i,j = 1,2, …)
i j ij
为 = (X， Y) 的分布律或称为 X 和Y 的联合分布律。 联合分布
有时也用下面的概率分布表来表示：
Y
y y … y …
X
1 2 j
x p p … p …
1 11 12 1j
x p p … p …
2 21 22 2j
： ： ： ： ：
i i1 p
x p … …
ij
： ： ： ： ：
这里 p 具有下面两个性质：
ij
(1) p ≥0 (i,j=1,2,…)；
ij
(2) p = 1. ij
i j
对于二维随机变量 (X ,Y) 的分布函数 F(X ,Y),如果存在非负

可积函数 f (x,y)使对任意 x,y 有

F (x,y) = f (u,v)dudv

则称(X ,Y)为二维连续型随机变量； 并称 f(x,y)为(X ,Y) 的概
率密度或称为 X 和Y 的联合概率密度。
概率密度 f(x,y)具有下面两个性质：
(1) f(x,y) ≥0;
(2) j+ j+ f (x,y)dxdy = 1.
(3) P{(X ,Y) G}= jj f (x,y)dxdy , G
?x?y
(4) ?F (x,y) = f (x,y)

(2) 二维随机 变量的本质
(4) 离散型与 连续型的关系
(5) 边缘分布

(6) 条件分布

(X x,Y y) (X x n Y y)

P(X x， Y y) P(x X x dx， y Y y dy) f (x， y)dxdy
离散型 X 的边缘分布为P P(X x ) p (i,j 1,2, …)；
i• i ij
j
分布函数F (x) F (x, ) p ,
X ij
xi x j 1
Y 的边缘分布为 P• j P(Y yj ) pij (i,j 1,2, …)。
i

连续型

离散型

连续型
分布函数F (y) F ( ,y) p .
Y ij
yj y i 1
X 的边缘分布函数F (x) F (x, ) x [ f (x,y)d y]d x,
X
分布密度为 f (x) f (x,y)dy；
X
Y 的边缘分布函数F (y) F ( ,y) y [ f (x,y)d x]d y,
Y
分布密度为 f (y) f (x,y)dx.
Y
在已知 X=x 的条件下， Y 取值的条件分布为
i
P(Y y | X x ) ij ；
p
j i p
i•
在已知 Y=y 的条件下， X 取值的条件分布为
j
P(X x |Y y ) ij ,
p
i j p • j
在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为 f (x| y) f (x,y)；
f (y)
Y
分布函数F (x y) x f (x y)d x
X Y X Y
在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为 f (y | x) f (x,y)
X
f (x)
分布函数F (y x) y f (y x)d y
Y X Y X

(7)独立性

(8) 二维均匀 分布

(9) 二维正态 分布


一般型
离散型

连续型

二维正态 分布

随机变量 的函数
F(X,Y)=F (x)F (y)
X Y
pij = pi.p. j 有零不独立
f(x,y)=f (x)f (y)
X Y
直接判断，充要条件：①可分离变量②正概率密度区间为矩形
f (x,y) = 1 e - 2(11-p 2 ) (||( x o(-)p11 ))||2 - 2p (x+ (||( yo(-)p22 ))||2 ,
2mo o 1- p 2
1 2
独立 p ＝0不相关 ( p = p )
xy
若 X ,X , …X ,X , …X 相互独立， h,g 为连续函数，则：
1 2 m m+1 n
h (X， X , …X )和 g (X , …X )相互独立。
1 2 m m+1 n
特例：若