概率论及数理统计公式整理(超全版).docx

(5)基本事件、样 本 空间 和 事件第 1 章 随机事件及其概率m!(1)排列 组 合An =从 m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。m (m n)!m!C n =从 m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。m n!(m n)!公式加法原理(两种方法均能完成此事)： m+n某件事由两种方法来完成， 第一种方法可由 m 种方法完成， 第二种方法可由 n 种(2)加方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。法 和 乘乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)： mn法原理某件事由两个步骤来完成， 第一个步骤可由 m 种方法完成， 第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。(3)一些 常 见排列(4)随机 试 验和 随 机重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题如果一个试验在相同条件下可以重复进行， 而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母 A，B， C， 表示事件，它们是 的子集。 为必然事件， 为不可能事件。不可能事件()的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件()的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。(6)事关系：件 的 关系 与 运算如果事件 A 组成部分也是事件 B 的组成部分，(A 发生必有事件 B 发生)：A B如果同时有 A B， B A， 则称事件 A 与事件 B 等价， 或称 A 等于B： A=B。A、 B 中至少有一个发生的事件： AU B，或者 A+B。属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与B 的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。A、B 同时发生： An B，或者 AB。An B=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称 事件 A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A 称为事件A 的逆事件， 或称 A 的对立事件， 记为 A 。它表示 A 不发生的事件。 An B=， A U B=互斥未必对立。 常用公式： A AB AB运算：交换律： AB=BA AB=BA结合率： A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率： (AB) C=(AC) (BC) (AB) C=(AC) (BC)n A U Ai i德摩根率： i 1 i 1 A U B A n B， A n B A U B频率： f (A)= nA 性质：n n(1)0 f (A) 1; n(2)f(S) 1, f() 0;(3)若A ,A , ,A 是两两互不相容的事,1 2 kf(A A A ) f (A ) f (A ) f (A )1 2 k n 1 n 2 n k随机波动性 和 稳定性。 频率 (波动) 概率(稳定).(7)概 率 的 公 理 化 定 义概率：设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数 P(A)， 若满足下列三个条件：1 P(A) 02 P() =13 对于两两互不相容的事件A1， A2 ，有 i1P(Ai )常称为可列(完全)可加性。则称 P(A)为事件 A 的概率。概率性质：(1)0 P(A) 1,P(S) 1,P() 0;(2)若A ,A , ,A 是两两互不相容事件，则有1 2 nP(A1A2A ) P(A ) P(A ) n 1 2 P(A ). (有限可加性)n(3)设A,B 为两个事件,且 A B,则P(A) P(B),P(B A) P(B) P(A).(4) 设 A是A的对立事件,则 P(A) 1 P(A).(5)(加法公式) 对于任意两事件 A,B ,有P(A B) P(A) P(B) P(AB).P(AAA ) P(A ) P(A ) P(A ) P(A A ) P(A A ) P(A A ) P(A A A ).123 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3P(AAA ) n P(A ) P(A A ) P(A A A ) (1)n1P(A A A ).12n i i j i j k 1 2 ni 1 1i jn 1i jk n1 , ， 2 P( ) P( ) P( ) 1 。1 2 n 1 2 n n设任一事件A ，它是由 , 组成的，则有(8)古典概型P(A) = ( )U ( )U 1U(2 ) =P(m)( ) P( ) P( )1 2 m 1 2 mm A所包含的基本事件数 n 基本事件总数(9)几 何概型(10) 加 法公式(11) 减 法公式若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空间 中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A， P(A) L(A) 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积)。 L()P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A 时， P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=时， P( B)=1- P(B)定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称P(AB) 为事件 A 发生条件下，事件 B P(A)发生的条件概率，记为 P(B /A) P(AB) 。(12) 条件概率P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。P (B | A) 0, P (S | A) 1,若 B ,B 两两互不相容1 2P(B B |A) P(B |A) P(B |A) P(B B |A)1 2 1 2 1 2乘法公式： P(AB) P(B / A)P(A)P ( B | A) P (B | A)i ii 1 i 1(13) 乘法公式更一般地，对事件 A， A ，A ，若 P(A A A )0，则有1 2 n 1 2 n- 1P(A A12 A )n P(A )P(A12 | A )P(A13 | A A )12 P(An | A A12 An 1) 。两个事件的独立性(14) 独立性设事件A 、 B 满足P(AB) P(A)P(B) ，则称事件A 、 B 是相互独立的。 若事件A 、 B 相互独立，且P(A) 0 ，则有P(AB) P(A)P(B)P(B | A) P(B)P(A) P(A)若事件A 、 B 相互独立，则A 与B 、 A 与B 、 A 与B 也都相互独立。 必然事件 和不可能事件 与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)； 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。若事件 A , A , , A (n 2)相互独立 , 则其中任意k (2 k n)个事件也相互独立.1 2 n若 n 个事件 A , A , ,A (n 2)相互独立,则将 A , A , , A 中任意多个事件换成1 2 n 1 2 n它们的对立事件,所得的 n 个事件仍相互独立 .设事件 B1,B2, ,Bn 满足(15) 全概公式1B1,B2, ,Bn 两两互不相容， P(Bi ) 0(i = 1,2, ,n)，n2 B = S ，ii=1则有 P(A) = P(B1)P(A | B1)+ P(B2)P(A | B2)+ + P(Bn )P(A | Bn )。设事件B1， B2， Bn及A 满足1 B1， B2， B n两两互不相容， P(Bi) 0， i = 1， 2， n，A 仁Un Bii=1 ，2P(A) 0，则 P(B /A) = P(ABi ) = P(Bi )P(A /Bi ) ， i =1， 2， n 。(16) 贝 叶 斯 公式 P(B )P(A /B )j ji P(A) nj=1此公式即为贝叶斯公式。P(B )， ( i = 1， 2， ， n )， 通常叫先验概率。 P(B /A)， (i =1， 2， ， n )，i i通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。我们作了n 次试验，且满足令 每次试验只有两种可能结果， A 发生或A 不发生；令 n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；令 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否是互不影响的。(17) 伯 努 利 概型这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。用p 表示每次试验A 发生的概率， 则A 发生的概率为1 p = q，用 Pn (k) 表示n重伯努利试验中A 出现k(0 k n)次的概率，Pn (k) = C k p k q nk k = 0,1,2, ,nn， 。第二章 随机变量及其散布设离散型随机变量X 的可能取值为 X (k=1,2, )且取各个值的概率，即事k件(X=X )的概率为 P(X=x )=p， k=1,2, ，k k k则称上式为离散型随机变量X xX 1pn的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式：X | x1,x2, ,xk , P(X xk ) p1,p2, ,pk , 显然分布律应满足下列条件： (1) pk 0， k 1,2, ， (2) p k 1 。设 F (x)是随机变量X 的分布函数，若存在非负函数f (x) ，对任意实数 x ，有 F(x) x f (x)dx ，则称 X 为连续型随机变量。 f (x)称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：f (x) 0。3 对于任意实数 x1,x2 (x1 x2 )， Px1 X x2 =F (x2) F(x1) x2 f (x)dxx4 若 f (x)在 x 处连续，则有F (x) f (x) 1P(X x) P(x X x dx) f (x)dx积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X xk ) pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(2) 连续 型随机变 量的分布密度(1) 离散 型随机变 量的分布律(3) 离散 与连续型 随机变量的关系 f (x)dx 1 。21ppk 1xxn221(4) 分布 函数(5) 八大 分布设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数 F (x) = P(X 共 x)称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a X 共 b) = F (b)_ F (a) 可以得到 X 落入区间(a,b的概率。 分布函数 F (x)表示随机变量落入区间( ， x内的概率。分布函数具有如下性质：1 0 共 F(x) 共 1, _ w x +w；2 F (x)是单调不减的函数，即x1 x2 时，有 F(x1) 共 F(x2)；3 F (_w) = lim F (x) = 0， F (+w) = lim F (x) = 1；x) _w x)+w4 F(x + 0) = F(x) ，即F (x)是右连续的；5 P(X = x) = F (x)_ F (x _ 0)。k对于离散型随机变量， F(x)= x p ； 对于连续型随机变量， F(x) = jx f (x)dx 。xk共x _w0- 1 分布二项分布P(X=1)=p, P(X=0)=q在n 重贝努里试验中， 设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生的次数是随机变量，设为X ，则 X 可能取值为0,1,2, ,n 。P(X = k) = Pn (k) = Cn(k)pk qn_k ，其中q = 1_ p,0 p 0， k = 0,1,2 k !则称随机变量 X 服从参数为入 的泊松分布，记为 X 爪 (入)或P(入)泊松分布为二项分布的极限分布(np=， n )。C k Cn_k k = 0,1,2 ,lP(X = k) = M N _M ,C n l = min(M ,n)N随机变量 X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。f (x) =b - a几何分布均匀分布P(X = k) = qk -1p,k = 1,2,3, ，其中 p0， q=1-p。随机变量 X 服从参数为p 的几何分布，记为 G(p)。设随机变量 X 的值只落在a， b内，其密度函数f (x)在a， b上1为常数 ，即b - aaxb 其他，| ,( 1|l0,则称随机变量 X 在a， b上服从均匀分布，记为 XU(a， b)。分布函数为0， xb。当 ax x b 时， X 落在区间(x1 ,x2 )内的概率为1 2P(x X x ) = x2 - x1 。1 2 b - a指数分布0, x 0,其中 入 0 ，则称随机变量 X 服从参数为入 的指数分布。X 的分布函数为 入 = 1 9F (x) =1- e-入x ,0,x 0,x s + t |X s= PX t,(无记忆性)记住积分公式： j xn e-x dx = n!+的0正态分布设随机变量X 的密度函数为f (x) 1 e x ，2其中 、 0 为常数， 则称随机变量X 服从参数为 、 的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为 X N( , 2)。 f (x)具有如下性质：1 f (x) 的图形是关于x 对称的；2 若X N( , 2)，则 X 的分布函数为2 当 x 时， f () 1 为最大值；F(x) 1 x e 。2 参 数 0 、 1 时 的 正 态 分 布 称 为 标 准 正 态 分 布， 记 为 X N (0,1) ，其密度函数记为(x) 1 e x222 ， x ，分布函数为(x) 1 e 2(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。1(-x) 1- (x)且 (0) 。2X P(x X x ) x2 x1 。如果 X N( , 2 ) ，则 N (0,1) 。1 2 (6) 分位 数(7) 函数 分布 1 。下分位表： P(X z ) ； 上分位表： P(X z ) z z离散型 已知 X 的分布列为X x1, x2, , xn , ，P(X xi ) p1, p2, , pn , Y g(X ) 的分布列( y g(x )互不相等)如下：i iY g(x1), g(x2), , g(xn), ，P(Y yi ) p1, p2, , pn , 若有某些g(xi )相等，则应将对应的p i 相加作为g(xi ) 的概率。连续型先利用 X 的概率密度f (x)写出Y 的分布函数 F (y) P(g(X)y)，X Y再利用变上下限积分的求导公式求出 f (y)。Y第三章 二维随机变量及其散布(1)联合分 布函数设(X， Y)为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数F (x,y) = PX x,Y y称为二维随机向量(X， Y)的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函 数。分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件( , )| X( ) x, x 时，有 F (x ,y)F(x ,y);当 y y 时，有 F(x,y ) F(x,y );2 1 2 1 2 1 2 1(3) F (x,y)分别对 x 和 y 是右连续的，即F (x,y) = F(x + 0,y),F (x,y) = F(x,y + 0);(4) F ( , ) = F( ,y) = F(x, ) = 0,F (+ ,+ ) = 1.(5)对于 x x， y 0.2 2 2 1 1 2 1 1(2) 联合分布 离散型连续型如果二维随机向量 (X， Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y)，则称 为离散型随机量。设 = (X， Y)的所有可能取值为(x ,y )(i,j = 1,2, )，i j且事件 = (xi ,yj ) 的概率为 pij,称P(X ,Y) = (x ,y )= p (i,j = 1,2, )i j ij为 = (X， Y) 的分布律或称为 X 和Y 的联合分布律。 联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Yy y y X1 2 jx p p p 1 11 12 1jx p p p 2 21 22 2j： ： ： ： ：i i1 px p ij： ： ： ： ：这里 p 具有下面两个性质：ij(1) p 0 (i,j=1,2,)；ij(2) p = 1. iji j对于二维随机变量 (X ,Y) 的分布函数 F(X ,Y),如果存在非负可积函数 f (x,y)使对任意 x,y 有F (x,y) = f (u,v)dudv 则称(X ,Y)为二维连续型随机变量； 并称 f(x,y)为(X ,Y) 的概率密度或称为 X 和Y 的联合概率密度。概率密度 f(x,y)具有下面两个性质：(1) f(x,y) 0;(2) j+ j+ f (x,y)dxdy = 1. (3) P(X ,Y) G= jj f (x,y)dxdy , G?x?y(4) ?F (x,y) = f (x,y)(2) 二维随机 变量的本质(4) 离散型与 连续型的关系(5) 边缘分布(6) 条件分布 (X x,Y y) (X x n Y y)P(X x， Y y) P(x X x dx， y Y y dy) f (x， y)dxdy离散型 X 的边缘分布为P P(X x ) p (i,j 1,2, )；i i ijj分布函数F (x) F (x, ) p ,X ijxi x j 1Y 的边缘分布为 P j P(Y yj ) pij (i,j 1,2, )。i连续型离散型连续型分布函数F (y) F ( ,y) p .Y ijyj y i 1X 的边缘分布函数F (x) F (x, ) x f (x,y)d yd x,X 分布密度为 f (x) f (x,y)dy；X Y 的边缘分布函数F (y) F ( ,y) y f (x,y)d xd y,Y 分布密度为 f (y) f (x,y)dx.Y 在已知 X=x 的条件下， Y 取值的条件分布为iP(Y y | X x ) ij ；pj i pi在已知 Y=y 的条件下， X 取值的条件分布为jP(X x |Y y ) ij ,pi j p j在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为 f (x| y) f (x,y)；f (y)Y分布函数F (x y) x f (x y)d xX Y X Y在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为 f (y | x) f (x,y)Xf (x)分布函数F (y x) y f (y x)d yY X Y X(7)独立性(8) 二维均匀 分布(9) 二维正态 分布一般型离散型连续型二维正态 分布随机变量 的函数F(X,Y)=F (x)F (y)X Ypij = pi.p. j 有零不独立f(x,y)=f (x)f (y)X Y直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形f (x,y) = 1 e - 2(11-p 2 ) (|( x o(-)p11 )|2 - 2p (x+ (|( yo(-)p22 )|2 ,2mo o 1- p 21 2独立 p 0不相关 ( p = p )xy若 X ,X , X ,X , X 相互独立， h,g 为连续函数，则：1 2 m m+1 nh (X， X , X )和 g (X , X )相互独立。1 2 m m+1 n特例：若