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第 1 章 随机事件及其概率

(1)排列组合公式

(2)加法和乘法原理

(3)一些常见排列

(4)随机试验和随机事件

(5)基本事件、样本空间 和事件

(6)事件的关系与运算

(7)概率的公理化定义

m!
m (m 一 n)! 从 m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

m!
P n =

m n!(m 一 n)! 从 m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
C n =

加法原理(两种方法均能完成此事)： m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可
由 m+n 种方法来完成。
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)： m×n
某件事由两个步骤来完成， 第一个步骤可由 m 种方法完成， 第二个步骤可由 n 种方法来完成， 则这件事可
由 m×n 种方法来完成。
重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个)
顺序问题
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不
能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母 A， B， C， …表示事件，它 们是 的子集。
为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件 (Ø) 的概率为零， 而概率为零的事件不一定是不可能事件； 同理， 必然事件 (Ω) 的概率为 1， 而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， (A 发生必有事件 B 发生)： A 仁 B 如果同时有A 仁 B， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于B： A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件： AY B，或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者AB ，它
表示 A 发生而 B 不发生的事件。

I I
A、B 同时发生： A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相
容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A 称为事件A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率： A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B) ∪C
分配率： (AB) ∪C=(A∪C) ∩ (B∪C) (A∪B) ∩C=(AC) ∪ (BC)
I Ai = Y Ai
德摩根率： i=1 i=1 A Y B = A I B， A I B = A Y B
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件 A1， A2 ，…有

P Ai P(Ai)
i 1 i 1
常称为可列(完全)可加性。
则称 P(A)为事件A 的概率。
1° , ，
1 2 n

(8)古典概型

(9)几何概型

(10)加法公式

(11)减法公式

2° P( ) P( ) P( ) 1 。
1 2 n n
设任一事件 A ，它是由 , 组成的，则有
P(A)= ( ) ( ) 1 2( ) m= P( ) P( ) P( )
1 2 m 1 2 m
m A所包含的基本事件数

n 基本事件总数
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空间中的每一个基本事件可以
使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，
P(A) L(A) 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积) 。
L()
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当 P(AB) ＝0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当 B A 时， P(A-B)=P(A)-P(B)

当 A=Ω时， P( B )=1- P(B)
定义 设 A 、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称P(AB) 为事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P(A)

(12)条件概率

(13)乘法公式

(14)独立性

(15)全概公式

P(B / A) P(AB) 。
P(A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A)
乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A)
更一般地，对事件 A， A ，…A ，若 P(A A …A )>0，则有
P(A1A2 … An ) P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1A2) …… P(An | A1A2 … An 1) 。
1 2 n 1 2 n- 1

①两个事件的独立性
设事件 A 、 B 满足 P(AB) P(A)P(B)，则称事件 A 、 B 是相互独立的。 若事件 A 、 B 相互独立，且 P(A) 0 ，则有
P(AB) P(A)P(B)
P(B | A) P(B)
P(A) P(A)
若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独立。 必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B)P(C)； P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A 、B 、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
设事件 B1, B2 , , Bn 满足
1° B1, B2 , , Bn 两两互不相容， P(Bi ) 0(i 1,2, , n)，

n
A 仁 Y B
i
2° i=1 ， 则有
P(A) = P(B1)P(A | B1) + P(B2)P(A | B2) + ^ + P(Bn )P(A | Bn ) 。
设事件 B1， B2 ，…， B n及A 满足
1° B1， B2 ，…， Bn两两互不相容， P(Bi) >0， i = 1， 2，…， n，
A 仁Yn Bi P(A) > 0
2° i =1 ， ， 则
P(B / A) = i i ， i=1， 2，…n。
i xn P(B )P(A / B )
j j
P(B )P(A / B )
(16)贝叶斯公式

j =1
此公式即为贝叶斯公式。
i i
P(B )， ( i = 1， 2，…， n ) ，通常叫先验概率。 P(B / A)， ( i = 1， 2，…， n )，通常称为后
验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
我们作了 n 次试验，且满足
令 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生；
令 n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；
令 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为 重伯努利试验。
用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为 1 _ p = q ，用 Pn (k)表示 n 重伯努利试验中
k(0 共 k 共 n)
n

A
(17)伯努利概型

出现 次的概率，

Pn (k) = C n(k) pk q ^ , n
， 。
第二章 随机变量及其分布
设离散型随机变量 X 的可能取值为 X (k=1,2, …)且取各个值的概率，即事件(X=X )的概率为
k k
P(X=x )=p， k=1,2, …，
k k
则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
X | x1, x2,^ , xk ,^ P(X = xk ) p1, p2,^ , pk ,^
(1) 离散型
随机变量的
分布律

。
显然分布律应满足下列条件：
w
x pk = 1
(1) pk 之 0， k = 1,2,^ ， (2) k =1 。
(2) 连续型 随机变量的
分布密度
设 F(x)是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，有
F(x) = j x f (x)dx
_w
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面 4 个性质：
1° 。
f (x) 之 0
j +wf (x)dx = 1
2° _w 。

(5) 八大分 布

(3) 离散与 连续型随机 变量的关系
P(X x) P(x X x dx) f (x)dx

积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X xk ) pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类
似。
(4) 分布函 数
设X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F (x) P(X x) 称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
可以得到 X 落入区间(a, b] 的概率。分布函数F(x) 表示随机变
P(a X b) F (b) F (a)

量落入区间( – ∞， x] 内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, x ；

2° F(x) 是单调不减的函数，即x1 x2 时，有 F(x1) F(x2)；
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
x x
4° F(x 0) F(x) ，即F(x) 是右连续的； 5° P(X x) F(x) F(x 0) 。

F(x) p
对于离散型随机变量， k ；
xk x

F(x) f (x)dx
对于连续型随机变量， 。

0- 1 分布
二项分布

泊松分布

超几何分布

几何分布

P(X=1)=p, P(X=0)=q
在n 重贝努里试验中，设事件A 发生的概率为 p 。事件A 发生的次数是随机变量，设为X ，则

X 可能取值为0,1,2, , n 。
P(X k) Pn (k) C n(k) p k q nk ， 其中 q 1 p,0 p 1, k 0,1,2, , n，
则称随机变量X 服从参数为 n， p 的二项分布。记为X ~ B(n, p) 。

当n 1 时， P(X k) p k q 1k ， k 0.1 ，这就是(0- 1)分布，所以(0- 1)分
布是二项分布的特例。
设随机变量X 的分布律为
k
P(X k) e ， 0， k 0,1,2 ，
k!
则称随机变量X 服从参数为 的泊松分布，记为X ~ () 或者 P( )。

泊松分布为二项分布的极限分布(np= λ， n → ∞)。
C k • Cnk k 0,1,2 , l
P(X k) M N M ,
C n l min(M , n)
N
随机变量 X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。
，其中 p≥0， q=1-p。
P(X k) q k 1p, k 1,2,3,

随机变量 X 服从参数为p 的几何分布，记为 G(p)。

均匀分布
设随机变量 X 的值只落在[a， b]内，其密度函数f (x) 在[a， b]上为常数 1 ，即
b - a
f (x) = 〈 b - a
(| 1 , a≤x≤b
|l0, 其他，

则称随机变量 X 在[a， b]上服从均匀分布，记为 X~U(a， b)。
分布函数为

F (x) = j x f (x)dx =
- 的

0，
x - a
,
b - a

1，

x<a，

a≤x≤b
x>b。

当 a≤x <x ≤b 时， X 落在区间( 1 2 )内的概率为
1 2
x , x
P(x < X < x ) = x2 - x1
1 2 b - a 。
指数分布
入
x > 0
e - 入 x ,
,
x < 0
f (x) =
,
0,
其中 ，则称随机变量 X 服从参数为入 的指数分布。
X 的分布函数为
入 > 0

1 - e - 入 x ,
x > 0
,
F (x) =
0,
x<0。
记住积分公式：
+的
j xn e-x dx = n!
0

1 2 ( 装 ) ( 装 )

正态分布
设随机变量
X
的密度函数为

1 (x- 山)2
2"装 ，
f (x) = e- 2装 2



- w < x < +w
，

其中 山 、 装 > 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为 山 、 装 的正态分布或高斯(Gauss)
X ~ N (山,装 2 )
分布，记为 。
具有如下性质：
f (x) x = 山
f (x)

1° 的图形是关于 对称的；
2"装 若 X ~ N (山,装 2 ) ，则 X 的分布函数为
1 (t - 山)2
2° 当 x = 山 时， f (山) = 1 为最大值；

F(x) = j x e- 2装 2 dt
2"装 -w
。。
参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为
山 = 0 装 = 1 X ~ N (0,1)
1 x2
2"
Q(x) = e- 2
， - w < x < +w，
分布函数为
1 x t2
C(x) = j e- 2 dt
2" 。
-w
C(x)
Φ(-x) ＝1- Φ(x)且 Φ(0)＝
是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
1
2 。
X - 山
如果 X ~N (山,装 2 ) ，则 ~N(0,1) 。
装
P(x < X 元 x ) = C| 2 | - C| 1 | 。
( x - 山 ) ( x - 山 )

(6) 分位数

(7) 函数分 布

下分位表： P(X 元 山a )＝a；
a
上分位表： P(X > 山 )＝a 。
离散型 已知 X 的分布列为
X x1, x2, ^ , xn , ^

P(X = xi ) p1, p2, ^ , pn , ^ ，
Y = g(X ) 的分布列( y = g(x ) 互不相等)如下：
i i
Y g(x1), g(x2), ^ , g(xn), ^
P(Y = yi ) p1, p2, ^ , pn , ^ ，
若有某些g(xi ) 相等，则应将对应的pi 相加作为g(xi ) 的概率。
连续型 先利用 X 的概率密度 f (x)写出 Y 的分布函数 F (y) ＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公
X Y
式求出 f (y)。
Y
第三章 二维随机变量及其分布

(1)联合分 布

离散型

如果二维随机向量 飞 (X， Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y)，则称飞 为离散型随

机量。
设 飞 = (X， Y)的所有可能取值为(x , y )(i, j = 1,2,^ ) ，且事件{飞 = (x , y ) }的概率为
i j i j

pij,,称
P{(X , Y) = (x , y )} = p (i, j = 1,2,^ )
i j ij
为 飞 = (X， Y)的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

Y

X
x
1

x
2
M

x
i
M

y
1

p
11

p
21
M

p
i1
M

y
2

p12
p22
M

M

…

…
…

…

y
j

p
1j
p
2j
M

p ij
M

…

…
…
M

…
M

这里 pij 具有下面两个性质：
(1) p ≥0 (i,j=1,2,…)； ij

连续型

(2)

对

xx
i j

于 二

p = 1.
ij

维 随 机 向 量 飞 = (X , Y) ， 如 果 存 在 非 负 函 数

，使对任意一个其邻边分别平行于坐标
f (x, y)(-的 < x < +的,-的 < y < +的)

轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y) |a<x<b,c<y<d}有
P{(X , Y) = D} = jj f (x, y)dxdy,
D

则称飞 为连续型随机向量；并称 f(x,y)为飞 = (X， Y)的分布密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。

(2)二维随 机 变 量 的 本
质

分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：
(1) f(x,y) ≥0;
(2) j+的j+的 f (x, y)dxdy = 1.
- 的 - 的
飞 (X = x, Y = y) = 飞 (X = x I Y = y)

(3)联合分 布函数

(4)离散型 与 连 续 型 的 关系
(5)边缘分 布

设(X， Y)为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数
F (x, y) = P{X 共 x, Y 共 y}

称为二维随机向量(X， Y)的分布函数，或称为随机变量 X 和Y 的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件{(O , O ) | 一w < X(O ) 共 x,一w < Y(O ) 共 y}的概率为函
1 2 1 2
数值的一个实值函数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质：
(1) 0 共 F(x, y) 共 1;

(2) F (x,y)分别对 x 和 y 是非减的，即
当 x >x 时，有 F (x ,y)≥F(x ,y);当 y >y 时，有 F(x,y ) ≥F(x,y );
2 1 2 1 2 1 2 1
(3) F (x,y)分别对 x 和 y 是右连续的，即
F (x, y) = F (x + 0, y), F (x, y) = F (x, y + 0);

(4) F (一w,一w) = F (一w, y) = F (x,一w) = 0, F (+w,+w) = 1.

(5)对于 x < x， y < y ，
1 2 1 2
F (x， y ) 一 F (x， y ) 一 F (x， y ) + F(x， y ) > 0 .
2 2 2 1 1 2 1 1
P(X = x， Y = y) 必 P(x < X 共 x + dx， y < Y 共 y + dy) 必 f (x， y)dxdy

离散型
X 的边缘分布为
p (i, j = 1,2,^ )；
P = P(X = x ) = x
ij
i• i
j

(6)条件分 布


连续型

离散型

Y 的边缘分布为
p (i, j = 1,2,^ ) 。
ij
P = P(Y = y ) = x
• j j
i
X 的边缘分布密度为
f (x) = j+wf (x, y)dy；
一w
X

Y 的边缘分布密度为
f (y) = j+wf (x, y)dx.
一w
Y

在已知 X=x 的条件下， Y 取值的条件分布为
i
P(Y = y | X = x ) = ij ；
p
j i p
i•
在已知 Y=y 的条件下， X 取值的条件分布为
j
P(X = x | Y = y ) = ij ,
p
i j p • j

1

连续型

一般型
(7)独立性
离散型

连续型

在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为
f (y)
f (x | y) = f (x, y)；
Y
在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为
f ( y | x) = f (x, y)
f (x)
X
F(X,Y)=F (x)F (y)
X Y
pij = pi• p • j
有零不独立
f(x,y)=f (x)f (y)
X Y
直接判断，充要条件：
①可分离变量

②正概率密度区间为矩形
二维正态分布
f (x, y) =
2"装 装 1 _ p 2
1 2


e _ 2(11_p 2 ) (||( x 装(_)1(山)1 ))||2 _ 2 p (x1)装(2y _ 山2 ) +(||( y 装(_)2(山)2 ))||2 ,

p ＝0
随机变量的函
数
若 X ,X , …X ,X , …X 相互独立， h,g 为连续函数，则：
1 2 m m+1 n
h (X， X , …X )和 g (X , …X )相互独立。
1 2 m m+1 n
特例：若 X 与 Y 独立，则： h (X)和 g (Y)独立。
例如：若 X 与 Y 独立，则： 3X+1 和 5Y-2 独立。
设随机向量(X，
(9)二维正 态分布
Y)的分布密度函数为
1
f (x, y) =
e _ 2(11_p 2 ) (||( x 装(_)1(山)1 ))||2 _ 2 p ( x1 )装(2y _ 山2 ) +(||( y 装(_)2(山)2 ))||2 ,
2"装 装 1 _ p 2
1 2
其中 山 , 山 装 > 0, 装 > 0, | p |< 1是 5 个参数，则称(X， Y)服从二维正态分布，
1 2 , 1 2
记为(X， Y)~N ( 山 , 山 装 2 ,装 2 , p).
1 2, 1 2
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，
即 X~N ( 山 , 装 2 ), Y ~ N(山 装 2 ).
1 1 2, 2
但是若 X~N ( 山 ,装 2 ), Y ~ N(山 装 2 )， (X， Y)未必是二维正态分布。
1 1 2, 2

(10) 函数分 布

Z=X+Y

根据定义计算： FZ (z) = P(Z 共 z) = P(X + Y 共 z)

j f (x, z – x)dx 对于连续型， fZ(z)＝
+w

–w
两个独立的正态分布的和仍为正态分布( 山 + 山 ,装 2 + 装 2 ) 。
1 2 1 2
山 = xC 山 ， 装 2 = x C 2 装 2
i i i i
i i
n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

Z=max,min(X1, X2, …Xn)

X 2 分布

若 X , X ^ X 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为 F (x)， F (x)^ F (x) ， 则
1 2 n x1 x2 xn
Z=max,min(X1,X2, …Xn)的分布函数为：
F (x) = F (x) • F (x)^ F (x)
max x1 x2 xn
F (x) = 1 – [1 – F (x)] • [1 – F (x)]^ [1 – F (x)]
min x1 x2 xn
设 n 个随机变量X , X ,^ , X 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和
1 2 n

n
W = x X 2
i
i=1
的分布密度为
f ( u ) = 〈|l 0(2) , 2(n) r (|( 2(n) ))|
( 1 n – 1 – u

我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的X