概率论与数理统计公式超全版.docx

第 1 章 随机事件及其概率( 1 )排列 组合公式(2)加法 和 乘 法 原 理(3)一些 常见排列(4)随机 试 验 和 随 机事件(5)基本 事件、样本 空 间 和 事 件(6)事件 的 关 系 与 运算m!P n = 从 m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。m (m n)!m!C n = 从 m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。m n!(m n)!加法原理(两种方法均能完成此事)： m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)： mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下， 不管事件有多少个， 总可以从其中找出这样一组事件， 它具有 如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母 A， B， C， 表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，为不可能事件。不可能事件()的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件()的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。关系：如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， (A 发生必有事件 B 发生)： A 仁 B如果同时有 A 仁 B， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于B： A=B。A、 B 中至少有一个发生的事件： AU B，或者 A+B。属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B，也可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。A、 B 同时发生： AnB，或者 AB。 A n B=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。(7 )概率 的 公 理 化 定义(8 )古典 概型(9 )几何 概型(10)加法 公式(11)减法 公式(12)条件 概率(13)乘法 公式 -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A 。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率： A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率： (AB) C=(AC) (BC) (AB) C=(AC) (BC)n A U Ai i德摩根率： i 1 i 1 A U B A n B， A n B A U B设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数 P(A)，若满 足下列三个条件：1 0P(A)1，2 P() =13 对于两两互不相容的事件A1， A2 ，有常称为可列(完全)可加性。则称 P(A)为事件A 的概率。1 , ，1 2 n12 P( ) P( ) P( ) 。1 2 n n设任一事件A ，它是由 , 组成的，则有P(A) = ( )U ( )U 1U (2 ) =P(m)( ) P( ) P( )1 2 m 1 2 m若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A，L(A)P(A) 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积)。L()P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A 时， P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=时， P(B )=1- P(B)P(AB)定义 设 A 、B 是两个事件，且 P(A)0，则称 为事件 A 发生条件下，事P(A)P(AB)件 B 发生的条件概率，记为P(B / A) 。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A)乘法公式： P(AB) P(A)P(B /A)更一般地，对事件 A， A ，A ，若 P(A A A )0，则有1 2 n 1 2 n- 1P(A A12 A )n P(A )P(A12 | A )P(A13 | A A )12 P(An | A1A2 An 1)。(14)独立 性(15)全概 公式(16)贝叶 斯公式(17)伯努 利概型两个事件的独立性设事件A、 B 满足P(AB) = P(A)P(B)， 则称事件A、 B 是相互独立的。 若事件A、 B 相互独立，且P(A) 0 ，则有若事件A、 B 相互独立， 则可得到A 与B、 A 与B、 A 与B 也都相互独 立。必然事件 和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B)P(C)； P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、 B、 C 相互独立。对于 n 个事件类似。设事件 B1,B2, ,Bn 满足1B1,B2, ,Bn 两两互不相容， P(Bi ) 0(i = 1,2, ,n)，A 仁 Un Bi2 i=1 ，则有P(A) = P(B1)P(A | B1)+ P(B2)P(A | B2)+ + P(Bn )P(A | Bn )。设事件B1， B2， B n及A 满足1 B1， B2， Bn两两互不相容， P(Bi) 0， i = 1， 2， n，A 仁 Un B2 i=1 i， P(A) 0，则P(B )P(A /B )P(B /A) = i i ， i=1， 2，n。 P(B )P(A/B )i nj jj =1此公式即为贝叶斯公式。P(B )， ( i = 1， 2， ， n )， 通常叫先验概率。 P(B /A)， ( i = 1， 2， ，n )，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了i i“由果朔因”的推断。我们作了n 次试验，且满足令 每次试验只有两种可能结果， A 发生或A 不发生；令 n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；令 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验A 发生与 否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为1 p = q ，用Pn(k)表示n 重伯努利试验中A 出现k(0 k n)次的概率，nPn (k) = C k p k q nk k = 0,1,2, ,n， 。第二章 随机变量及其分布(1)离散 型 随 机 变 量 的 分 布律设离散型随机变量X 的可能取值为 X (k=1,2, )且取各个值的概率，即事k件(X=X )的概率为kP(X=x )=p， k=1,2, ，k k则称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出：X | x1,x2, ,xk , P(X = xk ) p1,p2, ,pk , 。显然分布律应满足下列条件： pk = 1k = 1,2, (2) k =1 。，(1) pk 0，(2)连续 型 随 机 变 量 的 分 布密度设 F(x)是随机变量X 的分布函数， 若存在非负函数f (x)， 对任意实数 x， 有 F(x) = jx f (x)dx ，则称X 为连续型随机变量。 f (x) 称为X 的概率密度函数或密度函数， 简称概 率密度。密度函数具有下面 4 个性质：1 f (x) 0。j+ f (x)dx = 12 。(3)离散 与 连 续 型 随 机 变 量的关系积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P(X = xk ) = pk 在离 散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布函数设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a X b) = F(b) F(a) 可以得到 X 落入区间(a,b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间( ， x内的概率。分布函数具有如下性质：1 0 F(x) 1, x +；2 F(x)是单调不减的函数，即x1 x2 时，有 F(x1) F(x2)；3 F() = lim F(x) = 0， F(+) = lim F(x) = 1；x x+4 F(x + 0) = F(x) ，即F(x)是右连续的；5 P(X = x) = F(x) F(x 0)。对于离散型随机变量， F(x) = p ；kxk xx对于连续型随机变量， F(x) = j f (x)dx 。(5)八大分布0- 1 分布二项分布P(X=1)=p, P(X=0)=q在n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为p 。事件 A 发生 的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为0,1,2, ,n。P(X = k) = Pn (k) = C n(k) p k q nk ， 其 中q = 1 p,0 p 0， k = 0,1,2 ，k!则称随机变量 X 服从参数为入 的泊松分布，记为 X 爪 (入)或者 P(入 )。泊松分布为二项分布的极限分布(np=， n )。超几何分布 几何分布均匀分布指数分布随机变量 X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。 P(X = k) = q k 1p,k = 1,2,3, ，其中 p0， q=1-p。随机变量 X 服从参数为p 的几何分布，记为 G(p)。设随机变量 X 的值只落在a， b内， 其密度函数f (x) 在a， b1上为常数 ，即b aaxb其他，| ,( 1|l0,则称随机变量 X 在a， b上服从均匀分布，记为 XU(a， b)。分布函数为0， xa，F (x) = j x f (x)dx = x a ,当 ax x。b1 2P(x X 0其0中,入 0 ，则称x随 0,x0。正态分布设随机变量X 的密度函数为 x ，f (x) 1 e 其中 、 0为常数， 则称随机变量X 服从参数为 、2的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为 X N ( , 2)。f (x) 具有如下性质：1 f (x) 的图形是关于x 对称的；22 当x 时， f () 1 为最大值；F(若)e(，) dt(的)分布函数为2 。 。参数 0 、 1时的正态分布称为标准正态分布，记为X1， e(其)密x22度函数记为2 ， x ，分布函数为(x) 1 e (x)是不可求21(-x) 1- (x)且 (0) 。X 2P(x X x ) x2 x1 。如果 X N ( , 2 ) ，则 N(0,1) 。1 2 上分位表： P(X ) 。(6)分位 数(7)函数 分布下分位表： P(X ) ；离散型已知 X 的分布列为X x1, x2, , xn , ，P(X xi ) p1, p2, , pn , Y g(X ) 的分布列( y g(x )互不相等)如下：Y g(x1), g(x2), , g(xn), i i，P(Y yi ) p1, p2, , pn , 若有某些g(xi )相等，则应将对应的 pi 相加作为g(xi ) 的概率。连续型先利用 X 的概率密度 f (x)写出 Y 的分布函数 F (y) P(g(X) X Yy)，再利用变上下限积分的求导公式求出 f (y)。Y第三章 二维随机变量及其分布p( 1 )联合 分布离散型如果二维随机向量 (X， Y)的所有可能取值为至多可列 个有序对(x,y)，则称 为离散型随机量。设 = (X， Y)的所有可能取值为(x ,y )(i,j = 1,2, )，i j且事件 = (xi ,y j ) 的概率为 pij,称为 = (X， Y)的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Yyyy jX1212pxpp1111jxpp221222jxpii1ij这里 p 具有下面两个性质：ij(1) p 0 (i,j=1,2,)；(2) p = 1. iji j连续型对 于 二 维 随 机 向 量 = (X ,Y)， 如 果 存 在 非 负 函 数f (x,y)( x + , y +) ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D=(X,Y) |axb,cyd 有则称 为连续型随机向量；并称 f(x,y)为 = (X， Y)的分布密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：(1) f(x,y) 0;(2) j+ j+ f (x,y)dxdy = 1. (2 )二维随 机 变 量的本质(4 )离散 型 与 连 续 型的关系 (5 )边缘分布(6 )条件分布(7 )独立性(3 )联合分布函数设(X， Y)为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数称为二维随机向量(X， Y)的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函 数。分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件(O ,O ) |一w X(O ) 共 x,一w x 时，有 F (x ,y)F(x ,y);当 y y 时，有 F(x,y ) F(x,y );2 1 2 1 2 1 2 1(3) F (x,y)分别对 x 和 y 是右连续的，即(4) F (一w,一w) = F (一w,y) = F (x,一w) = 0,F (+w,+w) = 1.(5)对于 x x， y 0.2 2 2 1 1 2 1 1离散型连续型离散型连续型一般型离散型连续型二维正态分布X 的边缘分布为P = P(X = x ) = xi. ijY 的边缘分布为P = P(Y = y ) = x. j jiX 的边缘分布密度为Y 的边缘分布密度为p (i,j = 1,2, )；ijp (i,j = 1,2, )。ij在已知 X=x 的条件下， Y 取值的条件分布为i在已知 Y=y 的条件下， X 取值的条件分布为j在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为f (y)f (x | y) = f (x,y)；Y在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为F(X,Y)=F (x)F (y)X Y有零不独立f(x,y)=f (x)f (y)X Y直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形p 0随机变量的函数若 X ,X , X ,X , X 相互独立， h,g 为连续函数，则：1 2 m m+1 nh (X， X , X )和 g (X , X )相互独立。1 2 m m+1 n特例：若 X 与Y 独立，则： h (X)和 g (Y)独立。 例如：若 X 与Y 独立，则： 3X+1 和 5Y-2 独立。(8 )二维均匀分布设随机向量(X， Y)的分布密度函数为其中 S 为区域 D 的面积，则称(X， Y)服从 D 上的均匀分布，记为(X， Y)DU (D)。例如图、图和图。y1D1xO 1图y1x2O2图 D1ydDc 3xbO a图(9 )二维正态分布设随机向量(X， Y)的分布密度函数为其中 山 , 山 幸 0,幸 0,| p |2) n - 2EG(X ,Y) EG(X ,Y)对于随机变量 X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩 山 为 X 与 Y 的协方11差或相关矩，记为装 或 cov(X ,Y)，即XY与记号 装 相对应， X 与 Y 的方差 D(X) 与 D(Y) 也可分别记为装XY XX与装 。YY对于随机变量 X 与Y，如果 D (X) 0, D(Y)0，则称为 X 与 Y 的相关系数，记作p (有时可简记为 p ) 。XY| p |1，当| p |=1 时，称 X 与 Y 完全相关： P(X = aY + b) = 1(正相关，当p = 1时(a 0)，完全相关l负相关，当p = - 1时(a 0)，而当 p = 0 时，称 X 与Y 不相关。以下五个命题是等价的：XY p = 0；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)