概率论与数理统计公式整理(超全版).docx

第 1 章 随机事件及其概率1(1)排列组合公式(2)加法和乘法原理(3)一些常见排列(4)随机试验和随机事件(5)基本事件、样本空间 和事件(6)事件的关系与运算m!m (m n)! 从 m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。m!P n =m n!(m n)! 从 m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。C n =加法原理(两种方法均能完成此事)： m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)： mn某件事由两个步骤来完成， 第一个步骤可由 m 种方法完成， 第二个步骤可由 n 种方法来完成， 则这件事可由 mn 种方法来完成。重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个)顺序问题如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母 A， B， C， 表示事件，它们是的子集。为必然事件， 为不可能事件。不可能事件 () 的概率为零， 而概率为零的事件不一定是不可能事件； 同理， 必然事件 () 的概率为 1， 而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。关系：如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， (A 发生必有事件 B 发生)： A 仁 B如果同时有A 仁 B， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于B： A=B。A、 B 中至少有一个发生的事件： AU B，或者 A+B。属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。A、 B 同时发生： A B，或者 AB。 A B=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相n n容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率： A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB) C分配率： (AB) C=(AC) (BC) (AB) C=(AC) (BC)1(7)概率的公理化定义(8)古典概型(9)几何概型(10)加法公式(11)减法公式(12)条件概率(13)乘法公式(14)独立性nw Ai = Uw Ai德摩根率： i=1 i=1 A U B = A n B， A n B = A U B设 Q 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件： 1 0P(A)1，2 P() =13 对于两两互不相容的事件 A1， A2 ，有P(|(Ai)| = P(Ai )常称为可列(完全)可加性。则称 P(A)为事件A 的概率。1 Q = o ,o o ，1 2 n2 P(o ) = P(o ) = P(o ) = 1 。1 2 n n设任一事件 A ，它是由 o ,o o 组成的，则有P(A)= (o ) U (o ) U ( 1)U 2(o )m= P(o ) + P(o ) + + P(o )1 2 m 1 2 mm A所包含的基本事件数= =n 基本事件总数若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，P(A) = L(A) 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积) 。L(Q)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B 仁 A 时， P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=时， P(B )=1- P(B)定义 设 A 、B 是两个事件，且 P(A)0，则称P(AB) 为事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为P(A)P(B / A) = P(AB) 。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1 亭 P( B /A)=1-P(B/A)乘法公式： P(AB) = P(A)P(B / A)更一般地，对事件 A， A ，A ，若 P(A A A )0，则有P(A1A2 A n(1) P(A )P(A1(n) 2 |1 A21) P( n-)A3 | A1A2) P(An | A1A2 An - 1) 。两个事件的独立性设事件 A 、 B 满足 P(AB) = P(A)P(B)，则称事件 A 、 B 是相互独立的。若事件 A 、 B 相互独立，且 P(A) 0 ，则有P(B | A) = = = P(B)P(AB) P(A)P(B)P(A) P(A)若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独立。1(15)全概公式(16)贝叶斯公式(17)伯努利概型必然事件 和不可能事件 与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B)P(C)； P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、 B、 C 相互独立。对于 n 个事件类似。设事件 1, 2 , n 满足B B , B1 B1, B2 , , Bn 两两互不相容， P(Bi ) 0(i = 1,2, , n)，A 仁 Un Bi2 i=1 ， 则有P(A) = P(B1)P(A | B1) + P(B2)P(A | B2) + + P(Bn )P(A | Bn )。设事件 B1， B2 ， Bn 及A 满足1 B1， B2 ， Bn 两两互不相容， P(Bi) 0， i = 1， 2， n，A 仁 Un Bi P(A) 02 i =1 ， ， 则P(B / A) = P(Bi )P(A / Bi ) ， i=1， 2，n。i n P(B )P(A / B )j jj =1此公式即为贝叶斯公式。i iP(B )， ( i = 1， 2， n ) ，通常叫先验概率。 P(B / A)， ( i = 1， 2， n )，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。我们作了 n 次试验，且满足令 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生；令 n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；令 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为 1 p = q ，用 Pn (k)表示 n 重伯努利试验中 A出现 次的概率，Pn (k) = C n(k) pk qnk k = 0,1,2, , nk(0 k n)， 。第二章 随机变量及其分布1(1) 离散型 随机变量的 分布律(2) 连续型 随机变量的 分布密度设离散型随机变量 X 的可能取值为 X (k=1,2, )且取各个值的概率，即事件(X=X )的概率为k kP(X=x )=p， k=1,2, ，k k则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：X | x1, x2 , , xk , P(X = xk ) p1, p2 , , pk , 。显然分布律应满足下列条件：wx pk = 1(1) pk 0， k = 1,2, ， (2) k =1 。设 F (x)是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，有F (x) = j x f (x)dx_w，则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：1 。f (x) 0j +wf (x)dx = 12_w。(3) 离散与 连续型随机 变量的关系(4) 分布函 数(5) 八大分P(X = x) 如 P(x X 共 x + dx) 如 f (x)dx积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X = xk ) = pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数F (x) = P(X 共 x) 称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。可以得到 X 落入区间(a, b 的概率。分布函数F(x) 表示随机变P(a X 共 b) = F (b) _ F (a)量落入区间( ， x 内的概率。分布函数具有如下性质：1 0 共 F(x) 共 1, _ w x +w；2 F (x) 是单调不减的函数，即x1 x2 时，有 F (x1) 共 F (x2)；3 F (_w) = lim F (x) = 0， F (+w) = lim F (x) = 1；x)_w x)+w4 F (x + 0) = F (x) ，即F(x) 是右连续的； 5 P(X = x) = F (x) _ F (x _ 0)。对于离散型随机变量， k ； 对于连续型随机变量， 。F (x) = x p F (x) = j(x) f (x)dxxk 共x _w0- 1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q1布二项分布在n 重贝努里试验中，设事件A 发生的概率为p 。事件A 发生的次数是随机变量，设为X ，则X 可能取值为0,1,2, , n 。P(X = k ) = Pn (k ) = C n(k) p k q n一k ， 其中 q = 1 一 p,0 p 0， k = 0,1,2 ，则称随机变量X 服从参数为入 的泊松分布，记为X (入) 或者 P(入 )。泊松分布为二项分布的极限分布(np= ， n ) 。P(X = k) = M N一M ,C k Cn一k k = 0,1,2 , lC n l = min(M , n)N随机变量 X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。，其中 p0， q=1-p。P(X = k) = q k 一1 p, k = 1,2,3, 随机变量 X 服从参数为p 的几何分布，记为 G(p)。设随机变量 X 的值只落在a， b内，其密度函数f (x) 在a， b上为常数 1 ，即b 一 a| ,f (x) = b 一 a( 1|l0,axb其他，则称随机变量 X 在a， b上服从均匀分布，记为 XU(a， b)。分布函数为F (x) = j x f (x)dx =一w0，x 一 a,b 一 a1，xb。x , x当 ax x b 时， X 落在区间( 1 2 )内的概率为P(x X x ) = x2 一 x11 21 2 b 一 a 。1指数分布正态分布x 0e x ,x 0f (x) ,0,其中 ，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。X 的分布函数为 01 e x ,0,x 0,F (x) x )a 。pp下分位表： P(X )a；aX离散型已知 的分布列为(7) 函数分布X x1, x2, , xn , P(X = xi ) p1, p2, , pn , ，Y = g(X ) 的分布列( y = g(x ) 互不相等)如下：i iY g(x1), g(x2), , g(xn), P(Y = yi ) p1, p2, , pn , ，若有某些g(xi ) 相等，则应将对应的pi 相加作为g(xi ) 的概率。连续型先利用 X 的概率密度 f (x)写出 Y 的分布函数 F (y) P(g(X)y)，再利用变上下限积分的求导公X Y式求出 f (y)。Y第三章 二维随机变量及其分布离散型(1)联合分布如果二维随机向量 (X， Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y)，则称 为离散型随机量。设 = (X， Y)的所有可能取值为(x , y )(i, j = 1,2, ) ，且事件 = (x , y ) 的概率为i j i jpij,称P(X , Y) = (x , y ) = p (i, j = 1,2, )i j ij为 = (X， Y)的分布律或称为 X 和Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Yyyy21jXpx12p11p：11jxp2：21：22：2j：xppi：i1：ij：这里 pij 具有下面两个性质：(1) p 0 (i,j=1,2,)； ijp = 1.ij(2)i j1连续型对 于 二 维 随 机 向 量 (X , Y) ， 如 果 存 在 非 负 函 数，使对任意一个其邻边分别平行于坐标f (x, y)( x , y )轴的矩形区域 D，即 D=(X,Y) |axb,cyx 时，有 F (x ,y)F(x ,y);当 y y 时，有 F(x,y ) F(x,y );2 1 2 1 2 1 2 1(3) F (x,y)分别对 x 和 y 是右连续的，即F (x, y) F (x 0, y), F (x, y) F (x, y 0);(4) F ( , ) F ( , y) F (x, ) 0, F ( , ) 1.(5)对于 x x， y y ，1 2 1 2F (x， y ) F (x， y ) F (x， y ) F (x， y ) 0 .2 2 2 1 1 2 1 1P(X x， Y y) P(x X x dx， y Y y dy) f (x， y)dxdy离散型X 的边缘分布为p (i, j 1,2, )；P P(X x ) iji ijY 的边缘分布为P P(Y y ) j jip (i, j 1,2, ) 。ij11(6)条件分 布(7)独立性连续型离散型连续型一般型离散型连续型X 的边缘分布密度为f (x) = j+wf (x, y)dy；-wXY 的边缘分布密度为f (y) = j+wf (x, y)dx.-wY在已知 X=x 的条件下， Y 取值的条件分布为iP(Y = y | X = x ) = ij ；pj i pi.在已知 Y=y 的条件下， X 取值的条件分布为jP(X = x | Y = y ) = ij ,pi j p.j在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为f (y)f (x | y) = f (x, y)；Y在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为f ( y | x) = f (x, y)f (x)XF(X,Y)=F (x)F (y)X Ypij = pi. p.j有零不独立f(x,y)=f (x)f (y)X Y直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布f (x, y) =2装 装 1 - p 21 2e - 2(11-p 2 ) (|( x 装(-)1(山)1 )|2 - 2 p (x1)装(2y - 山2 ) +(|( y 装(-)2(山)2 )|2 ,随机变量的函数p 0若 X ,X , X ,X , X 相互独立， h,g 为连续函数，则：1 2 m m+1 nh (X， X , X )和 g (X , X )相互独立。1 2 m m+1 n特例：若 X 与 Y 独立，则： h (X)和 g (Y)独立。例如：若 X 与 Y 独立，则： 3X+1 和 5Y-2 独立。1(9)二维正 态分布(10) 函数分 布设随机向量(X，Y)的分布密度函数为1f (x, y) =e - 2(11-p 2 ) (|( x 装(-)1(山)1 )|2 - 2 p ( x1 )装(2y - 山2 ) +(|( y 装(-)2(山)2 )|2 ,2装 装 1 - p 21 2其中 山 , 山 装 0, 装 0, | p | 1是 5 个参数，则称(X， Y)服从二维正态分布，1 2 , 1 2记为(X， Y)N ( 山 , 山 装 2 ,装 2 , p).1 2, 1 2由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN ( 山 , 装 2 ), Y N(山 装 2 ).1 1 2, 2但是若 XN ( 山 ,装 2 ), Y N(山 装 2 )， (X， Y)未必是二维正态分布。1 1 2, 2根据定义计算： FZ (z) = P(Z 不 z) = P(X + Y 不 z)Z=X+Yj f (x, z - x)dx 对于连续型， fZ(z)+w-w两个独立的正态分布的和仍为正态分布( 山 + 山 ,装 2 + 装 2 )。1 2 1 2山 = xC 山 ， 装 2 = x C 2 装 2i i i ii in 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。若 X , X X 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为 F (x)， F (x) F (x) ， 则1 2 n x1 x2 xnZ=max,min(X1,X2, Xn)的分布函数为：F (x) = F (x) F (x) F (x)max x1 x2 xnZ=max,min(X1,X2, Xn)F (x) = 1 - 1 - F (x) 1 - F (x) 1 - F (x)min x1 x2 xn1X 2 分布