大学概率论与数理统计公式全集.docx

大学概率论与数理统计公式全集

1

1、随机事件及其概率
运算律名称 交换律 结合律 分配律
德摩根律
2、概率的定义及其计算

一、随机事件和概率

表达式

A + B = B + A

(A+B) +C =A +(B+C) =A+B +C

A(B 土 C) =AB 土 AC

A+B=AB
AB = BA

(AB)C = A(BC) = ABC A+(BC) =(A + B)(A + C)
AB=A+B

公式表达式

P(A) =1 — P( A)

P(A + B) =P(A) +P(B) _P(AB)

P(BA) = P(AB)
M P(A)

P(AB) =P(A)P(B A) P(AB) =P(B)P(AB)

n
P ( B ) =2： P ( A ) P ( B |A )
im
P(Aj)P(BAj)
P(Aj| B)—盟
S P(Aj)P(BAi)
im

Pn(k)=C(k k)n p (1-p) ,=o(k),1 … n
P(AB) =P(A)P(B)； P(B|A)=P(B)； P&A) = P(BA)； P(BA)+P(BA) =1；
P (B A)+P (B | A) =1
公式名称
求逆公式
加法公式

条件概率公式

乘法公式

全概率公式

贝叶斯公式
(逆概率公式)
伯努利概型公式
两件事件相互独立相
应公式

Z
x
、随机变量及其分布
1、 分布函数性质
P(X空 b)二 F(b) P(a ：：： X 乞 b)二 F(b) — F(a)

2、 离散型随机变量

分布律
P(X =k) = pk (1 —p)1」， k=0,1
P(X =k)=Cfpk (i — p)n」， k =0,1， … ,n

-k

k!

P(X = k) =(1 — p)k' p, k = 0,1,2； JL
P(X =k) = M 讣(C)』(k) = 丨, 丨十 1, … ,min(n,M )
CN
分布名称
0 - 1 分布 B(1,p) 二项分布 B(n,p)

泊松分布 P (九)

几何分布 G(p)

超几何分布 H(N,M,n)
P(X =k) , k =0,1,2， …

3、连续型随机变量

密度函数

'1
-------,a c x c b b —a 0, 其他
b/, x>0 f(x)
、 0, 其他

1
—e V2n <i

申 (x)=^^e 兀
2
_幻~o""2 ~ 一 oovx<+^

2
2 _ 比 *<畑

分布函数

0, x<a F(x) =W,a^x£b b —a
1,xKb

0, xc0 1_e-x , x^0

1
F (x) = — f e

1 /
F (x) - L J e
V 2ncr q
Z2
d t
(t4V

分布名称

均匀分布 U (a,b)

指数分布 E 仏)

正态分布 N (巴护)

标准正态分布 N(0,1)
寸
2 dt
F(x) =」
f(x)=
1 — -------
f(x)
= J
x

2
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量边缘分布
Pi =P(X =x)二' P(X =Xi ,Y =yj)二' Pij Pj=p(Y=yj)=\ P(X 二 Xi , 丫二 yj)二' pij
j j i
2 离散型二维随机变量条件分布
、Pij = P(X =XiY=yj)』 X fgj)』 , — … j P (丫 =yj) Pj
Pji = P(Y=yjX "j J(Xp： i， Y： yj)P ,iX(,2.).). P j i ,
3、 连续型二维随机变量(X，Y )的联合分布函数 F(x,y) = X y f (u,v)dvdu
4、 连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数
边缘分布函数： FX(X) 边缘密度函数 : fX (x)二 f (x,v)dv
J JO
■be
FY (y) f (u, v)dudv fY (y) 「J(u， y)du
5、 二维随机变量的条件分布

fYx(y X) = m，fx(x)(-)二:::y：：： ：： fxY (Xy)二
::: x ::: ■::
1(X' y)
fy(y) , -：：

3
四、随机变量的数字特征
1、数学期望 离散型随机变量： E(X) = 「Xk Pk k 4
2、数学期望的性质 连续型随机变量 : E(X)二'xf (x) dx

4
(1)
(2)

E(C) =C,C 为常数 E[E(X)] =E(X)

E(X _Y) =E(X) _E(Y) E(aX _b) =aE(X) _b


E(CX) =CE(X)
E(GXi • …CnXn) =Ci E(Xj • …Cn E(Xn)

⑶
(4)

3、

4、
(1)

若 XY 相互独立则： E(XY)二 E(X)E(Y)

[E(XY)]2 <E2(X)E2 (Y)

D(x) =E(X2) — E2 (x)
方差：
方差的性质

D(C) =0 D[D(X)] =0 D(aX _b)二 a2 D(X) D(X)：： : E(X -C)2

⑵ D(X 土 Y) =D(X) +D(Y) ±2Cov(X,Y)

若 XY 相互独立贝卩： D(X 士 Y) =D(X) +D(Y)

5、协方差： Cov(X,Y) =E(X,Y) _E(X)E(Y) 若 XY 相互独立则： Cov(X,Y)=0

6、相关系数： —(X‘Y)=.C； ()X'D； )若 XY 相互独立则 :

7、协方差和相关系数的性质
Cov(X,Y)二 Cov(Y,X)
Cov(X,X) =D(X)
(1)
Cov(aX c,bY d) =abCov(X,Y)
Cov(X1 X2 ,Y) =Cov(X1 ,Y) Cov(X2 ,Y)
(2)


认=0 即 XY 不相关

&常见数学分布的期望和方差
分布 0- 1 分布 B(1, P) 二行分布 B(n, P) 泊松分布 P⑴
G(p)
几何分布

H(N,M,n)
超几何分布

均匀分布

正态分布
指数分布
U(a,b)

N(P,<j2)

E⑴



数学期望

P

np

扎

1
P

M n—
N

a +b
2

P

1


方差

P(1 — P)

np(1 -P)

人

1 — P
2 P

M
n (1
N
M N _m ) -------
N N 1

(b-a)2
12

2

1

扎

5
五、大数定律和中心极限定理
1、切比雪夫不等式

若 E(X)， ,D(X)*2 ,对于任意 .0 有 P{X _E(X) _ }乞或 P{X — E(X) J} _1_2^2

2、大数定律：若 X< Xn 相互独立且 n_. 「时， X !'， E(Xi) n n i 丄
(1)若 X1 …Xn 相互独立， E(Xi)= 比,D(Xi) 且 i2(p)兰 M贝(1门) S： 丄送 Xi— ^丄送 E(Xi),(nT© n i 二 n iA

n
⑵若 X< Xn 相互独立同分布，且 E(Xi)=n 则当 n 时： ―、 Xi—P Z
n y

3、中心极限定理
(1)独立同分布的中心极限定理：均值为 ,方差为二 2 0 的独立同分布时，当 n 充分 大时有 :

n
Xk -nJ
Yn --------------------- J N(0,1)
、 n； 「
⑵ 拉普拉斯定理：随机变量 n (n =1,2 )~B( n, p)则对任意 X 有 :

6
、
丿叭只 n(n)—P(1n爲p-X^- = .2. X 1----- e _2d(t2)t

n
⑶近似计算： P(a Xk 乞 b)=P(a- nJ 心
k 仝 Jnb


为 Xk n-nP-
门") ：：：泸- n」 )_： . ：严- n")
Jnu Jn^ tnu Jncr

六、数理统计
1、总体和样本
总体 X 的分布函数 F(x)样本(Xi， X2 …Xn) 的联合分布为 F(X1 ,X2 …Xn)： ] F(Xk)

2、统计量

(1)样本平均值： X n Xi (2)样本方差： s2 = 1 ' (Xi_X)l 1 '(n)(Xi2— nX ) n °
ny n J y n 一 1 y
s 1 7 (Xi X)2 (4)样本 k阶原点距： Ak-丄 7 Xik,k-1,2 …
(3)样本标准差： ■彳n n
匚斗
(5)样本 k阶中心距： Bk 二 Mk 二、、n (Xi 一刃 k ,k=2,3 … n iA
(6)次序统计量：设样本 (Xi， X2…Xn) 的观察值(Xi， X<' Xn) ，将 X? …Xn 按照由小到大的次 序重新排 列,得到 X ⑴沁 (2) -■ _X (n)，记取值为 X(i) 的样本分量为 X(i) ，则称 X (i)沁 (2)一…_X (n)为样本 (Xi ， X2…Xn) 的次序统计量。 X (1)=mi rX( ,X2…Xn)为最小次序统计量； X (n) -m a XX(1 , X 2…X n)为最大次序统计 量。
3、三大抽样分布
(1) 2 分布：设随机变量 Xi， X< Xn 相互独立，且都服从标准正态分布 N(o,1),则随机变 量 ^X2 X2 X2 所服从的分布称为自由度为 n 的 2 分布，记为 2 ~ 2 (n)
性质：① E[ 2 (n)]=n,D[ 2 (n)] =2n ②设 X ~ 2 (m), 丫 2 ( n)且相互独立，则 X Y~ 2 (m - n)

⑵t 分布：设随机变量 X N(0,1),丫 2 (n) ，且 X 与Y 独立，则随机变量 : -： n 所服从

7
的分布称为自由度的 n 的 t 分布，记为


T ~t(n)

E[t(n)]=O,D[t(n)]
性质：①

⑶ F分布：设随机变量 U



— ,(n 2)②
n _2
lim t(n) =N(0,1) = 1 e 疋
(x4V
J 2 兀

2 代)，且 U 与 V 独立，则随机变量 F(n 1 , n?)二严
2 (n i),V


所
2
V n

服从的分布称为自由度(n1 ,n2) 的 F 分布，记为 F Fgm)
性质：设 X F(m,n)，贝 S 丄 F(n,m) X

n
七、参数估计
1、 参数估计
(1) 定义：用 r(Xi， X2 , …Xn)估计总体参数 二，称二(Xl ,X2, …Xn)为二的估计量，相应的 二 (Xi ,X2 , …Xn)为总体 r 的估计值。
(2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值 二未知参数的最大似然估计值
2、 点估计中的矩估计法： (总体矩二样本矩)
n
斗
离散型样本均值： X =： E(X) 7 Xi 连续型样本均值： X=E(X)二 [xf(x,r)dx
n i £ q

E(X2) J'， X2
离散型参数： n
n X
3、 点估计中的最大似然估计
最大似然估计法： Xi ,X2， …Xn 取自 X 的样本，设 X f(x,d) [或 P(X 二 Xi)=P(v)] 则可得到概率

8
、
密度： f(X1 ,X2，
基本步骤：

n n
Xn , 日)=口 f(Xi , 日) [ 或 P(X =Xi , X2， …Xn =Xn) =口
i 1 i 4

n
P(X =Xi ) =口 P 但)]
i
A

① 似然函数： LG)八 f 「凯或 H P(n)G)] i=1 i =1

② 取对数： In L » In f(XiJ) i=1
③ 解方程： =0, …， =0 最后得： H -V1 (X1 ,X2， …Xn), …Jk -Vk (Xi ,X2， …Xn)
1 ； ■ k