大学概率论与数理统计公式全集.docx

大学概率论与数理统计公式全集11、随机事件及其概率运算律名称 交换律 结合律 分配律德摩根律2、概率的定义及其计算一、随机事件和概率表达式A + B = B + A(A+B) +C =A +(B+C) =A+B +CA(B 土 C) =AB 土 ACA+B=ABAB = BA(AB)C = A(BC) = ABC A+(BC) =(A + B)(A + C)AB=A+B公式表达式P(A) =1 P( A)P(A + B) =P(A) +P(B) _P(AB)P(BA) = P(AB)M P(A)P(AB) =P(A)P(B A) P(AB) =P(B)P(AB)nP ( B ) =2： P ( A ) P ( B |A )imP(Aj)P(BAj)P(Aj| B)盟S P(Aj)P(BAi)imPn(k)=C(k k)n p (1-p) ,=o(k),1 nP(AB) =P(A)P(B)； P(B|A)=P(B)； P&A) = P(BA)； P(BA)+P(BA) =1；P (B A)+P (B | A) =1公式名称求逆公式加法公式条件概率公式乘法公式全概率公式贝叶斯公式(逆概率公式)伯努利概型公式两件事件相互独立相应公式Zx、随机变量及其分布1、 分布函数性质P(X空 b)二 F(b) P(a ： X 乞 b)二 F(b) F(a)2、 离散型随机变量分布律P(X =k) = pk (1 p)1， k=0,1P(X =k)=Cfpk (i p)n， k =0,1， ,n-kk!P(X = k) =(1 p)k p, k = 0,1,2； JLP(X =k) = M 讣(C)(k) = 丨, 丨十 1, ,min(n,M )CN分布名称0 - 1 分布 B(1,p) 二项分布 B(n,p)泊松分布 P (九)几何分布 G(p)超几何分布 H(N,M,n)P(X =k) , k =0,1,2， 3、连续型随机变量密度函数1-,a c x c b b a 0, 其他b/, x0 f(x)、 0, 其他1e V2n i申 (x)=e 兀2_幻o2 一 oovx+22 _ 比 *畑分布函数0, xa F(x) =W,axb b a1,xKb0, xc0 1_e-x , x01F (x) = f e1 /F (x) - L J eV 2ncr qZ2d t(t4V分布名称均匀分布 U (a,b)指数分布 E 仏)正态分布 N (巴护)标准正态分布 N(0,1)寸2 dtF(x) =f(x)=1 -f(x)= Jx2三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布Pi =P(X =x)二 P(X =Xi ,Y =yj)二 Pij Pj=p(Y=yj)= P(X 二 Xi , 丫二 yj)二 pijj j i2 离散型二维随机变量条件分布、Pij = P(X =XiY=yj) X fgj) , j P (丫 =yj) PjPji = P(Y=yjX j J(Xp： i， Y： yj)P ,iX(,2.).). P j i ,3、 连续型二维随机变量(X，Y )的联合分布函数 F(x,y) = X y f (u,v)dvdu4、 连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数边缘分布函数： FX(X) 边缘密度函数 : fX (x)二 f (x,v)dvJ JObeFY (y) f (u, v)dudv fY (y) J(u， y)du5、 二维随机变量的条件分布fYx(y X) = m，fx(x)(-)二:y： ： fxY (Xy)二: x : :1(X y)fy(y) , -：3四、随机变量的数字特征1、数学期望 离散型随机变量： E(X) = Xk Pk k 42、数学期望的性质 连续型随机变量 : E(X)二xf (x) dx4(1)(2)E(C) =C,C 为常数 EE(X) =E(X)E(X _Y) =E(X) _E(Y) E(aX _b) =aE(X) _bE(CX) =CE(X)E(GXi CnXn) =Ci E(Xj Cn E(Xn)(4)3、4、(1)若 XY 相互独立则： E(XY)二 E(X)E(Y)E(XY)2 E2(X)E2 (Y)D(x) =E(X2) E2 (x)方差：方差的性质D(C) =0 DD(X) =0 D(aX _b)二 a2 D(X) D(X)： : E(X -C)2 D(X 土 Y) =D(X) +D(Y) 2Cov(X,Y)若 XY 相互独立贝卩： D(X 士 Y) =D(X) +D(Y)5、协方差： Cov(X,Y) =E(X,Y) _E(X)E(Y) 若 XY 相互独立则： Cov(X,Y)=06、相关系数： (XY)=.C； ()XD； )若 XY 相互独立则 :7、协方差和相关系数的性质Cov(X,Y)二 Cov(Y,X)Cov(X,X) =D(X)(1)Cov(aX c,bY d) =abCov(X,Y)Cov(X1 X2 ,Y) =Cov(X1 ,Y) Cov(X2 ,Y)(2)认=0 即 XY 不相关&常见数学分布的期望和方差分布 0- 1 分布 B(1, P) 二行分布 B(n, P) 泊松分布 PG(p)几何分布H(N,M,n)超几何分布均匀分布正态分布指数分布U(a,b)N(P,j2)E数学期望Pnp扎1PM nNa +b2P1方差P(1 P)np(1 -P)人1 P2 PMn (1NM N _m ) -N N 1(b-a)21221扎5五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若 E(X)， ,D(X)*2 ,对于任意 .0 有 PX _E(X) _ 乞或 PX E(X) J _1_222、大数定律：若 X Xn 相互独立且 n_. 时， X !， E(Xi) n n i 丄(1)若 X1 Xn 相互独立， E(Xi)= 比,D(Xi) 且 i2(p)兰 M贝(1门) S： 丄送 Xi 丄送 E(Xi),(nT n i 二 n iAn若 X Xn 相互独立同分布，且 E(Xi)=n 则当 n 时： 、 XiP Zn y3、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为 ,方差为二 2 0 的独立同分布时，当 n 充分 大时有 :nXk -nJYn - J N(0,1)、 n； 拉普拉斯定理：随机变量 n (n =1,2 )B( n, p)则对任意 X 有 :6、丿叭只 n(n)P(1n爲p-X- = .2. X 1- e _2d(t2)tn近似计算： P(a Xk 乞 b)=P(a- nJ 心k 仝 Jnb为 Xk n-nP-门) ：泸- n )_： . ：严- n)Jnu Jn tnu Jncr六、数理统计1、总体和样本总体 X 的分布函数 F(x)样本(Xi， X2 Xn) 的联合分布为 F(X1 ,X2 Xn)： F(Xk)2、统计量(1)样本平均值： X n Xi (2)样本方差： s2 = 1 (Xi_X)l 1 (n)(Xi2 nX ) n ny n J y n 一 1 ys 1 7 (Xi X)2 (4)样本 k阶原点距： Ak-丄 7 Xik,k-1,2 (3)样本标准差： 彳n n匚斗(5)样本 k阶中心距： Bk 二 Mk 二、n (Xi 一刃 k ,k=2,3 n iA(6)次序统计量：设样本 (Xi， X2Xn) 的观察值(Xi， X Xn) ，将 X? Xn 按照由小到大的次 序重新排 列,得到 X 沁 (2) - _X (n)，记取值为 X(i) 的样本分量为 X(i) ，则称 X (i)沁 (2)一_X (n)为样本 (Xi ， X2Xn) 的次序统计量。 X (1)=mi rX( ,X2Xn)为最小次序统计量； X (n) -m a XX(1 , X 2X n)为最大次序统计 量。3、三大抽样分布(1) 2 分布：设随机变量 Xi， X Xn 相互独立，且都服从标准正态分布 N(o,1),则随机变 量 X2 X2 X2 所服从的分布称为自由度为 n 的 2 分布，记为 2 2 (n)性质： E 2 (n)=n,D 2 (n) =2n 设 X 2 (m), 丫 2 ( n)且相互独立，则 X Y 2 (m - n)t 分布：设随机变量 X N(0,1),丫 2 (n) ，且 X 与Y 独立，则随机变量 : -： n 所服从7的分布称为自由度的 n 的 t 分布，记为T t(n)Et(n)=O,Dt(n)性质： F分布：设随机变量 U ,(n 2)n _2lim t(n) =N(0,1) = 1 e 疋(x4VJ 2 兀2 代)，且 U 与 V 独立，则随机变量 F(n 1 , n?)二严2 (n i),V所2V n服从的分布称为自由度(n1 ,n2) 的 F 分布，记为 F Fgm)性质：设 X F(m,n)，贝 S 丄 F(n,m) Xn七、参数估计1、 参数估计(1) 定义：用 r(Xi， X2 , Xn)估计总体参数 二，称二(Xl ,X2, Xn)为二的估计量，相应的 二 (Xi ,X2 , Xn)为总体 r 的估计值。(2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值 二未知参数的最大似然估计值2、 点估计中的矩估计法： (总体矩二样本矩)n斗离散型样本均值： X =： E(X) 7 Xi 连续型样本均值： X=E(X)二 xf(x,r)dxn i qE(X2) J， X2离散型参数： nn X3、 点估计中的最大似然估计最大似然估计法： Xi ,X2， Xn 取自 X 的样本，设 X f(x,d) 或 P(X 二 Xi)=P(v) 则可得到概率8、密度： f(X1 ,X2，基本步骤：n n Xn , 日)=口 f(Xi , 日) 或 P(X =Xi , X2， Xn =Xn) =口i 1 i 4nP(X =Xi ) =口 P 但)iA 似然函数： LG)八 f 凯或 H P(n)G) i=1 i =1 取对数： In L In f(XiJ) i=1 解方程： =0, ， =0 最后得： H -V1 (X1 ,X2， Xn), Jk -Vk (Xi ,X2， Xn)1 ； k