大学概率论与数理统计公式全集.pdf

大学概率论与数理统计公式全集大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称交换律结合律分配律德摩根律2、概率的定义及其计算公式名称求逆公式加法公式条件概率公式乘法公式全概率公式贝叶斯公式（逆概率公式）伯努利概型公式两件事件相互独立相应公式P(AB)P(A)P(B)表达式A B B A(A B)C A(BC)A BCA(BC)AB ACA B ABAB BA(AB)C A(BC)ABCA(BC)(A B)(AC)AB A B公式表达式P(A)1 P(A)P(A B)P(A)P(B)P(AB)P(B A)P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(B A)nP(AB)P(B)P(AB)iiP(B)P(A)P(B A)i1P(AjB)P(Aj)P(B Aj)P(A)P(B A)jii1kkPn(k)Cnp(1 p)nk,k 0,1,n；P(B A)P(B)；P(B A)P(B A)；P(B A)P(B A)1；P(B A)P(B A)11二、随机变量及其分布二、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X b)F(b)P(a X b)F(b)F(a)2、离散型随机变量分布名称01 分布B(1,p)二项分布B(n,p)泊松分布P()几何分布G(p)超几何分布H(N,M,n)3、连续型随机变量分布名称均匀分布U(a,b)密度函数1b a,f(x)0,a x b其他分布律P(X k)pk(1 p)1k,k 0,1kkP(X k)Cnp(1 p)nk,k 0,1,nP(X k)ekk!,k 0,1,2,P(X k)(1 p)k1p,P(X k)knkCMCNMnCN,k l,l 1,min(n,M)k 0,1,2,分布函数0,x axaF(x),a x bba1,x b指数分布E()正态分布N(,2)标准正态分布N(0,1)f(x)xe,x 0f(x)其他0,x 00,F(x)x1e,x 02211x12 e(x)222 x F(x)e(t)222d t(x)12ex22 x F(x)xe(t)222d t2三、多维随机变量及其分布三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布pi P(X xi)P(X x,Y y)pijjjijp j P(Y yj)P(X x,Y y)pijiiij2、离散型二维随机变量条件分布pi j P(X xiY yj)P(X xi,Y yj)P(Y yj)pijPj,i 1,2xypj i P(Y yjX xi)P(X xi,Y yj)P(X xi)pijPi,j 1,23、连续型二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)f(u,v)dvdu4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数边缘分布函数：FX(x)f(u,v)dvdu边缘密度函数：fX(x)f(x,v)dvFY(y)x yf(u,v)dudvfY(y)f(u,y)du5、二维随机变量的条件分布fY X(y x)f(x,y)f(x,y),y fX Y(x y),x fX(x)fY(y)3四、随机变量的数字特征四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：E(X)xkpk连续型随机变量：E(X)xf(x)dxk 12、数学期望的性质(1)E(C)C,C为常数EE(X)E(X)E(CX)CE(X)(2)E(X Y)E(X)E(Y)E(aX b)aE(X)bE(C1X1 CnXn)C1E(X1)CnE(Xn)(3)若 XY 相互独立则：E(XY)E(X)E(Y)(4)E(XY)2 E2(X)E2(Y)3、方差：D(X)E(X2)E2(X)4、方差的性质(1)D(C)0DD(X)0D(aX b)a2D(X)D(X)E(X C)2(2)D(X Y)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)若 XY 相互独立则：D(X Y)D(X)D(Y)5、协方差：Cov(X,Y)E(X,Y)E(X)E(Y)若 XY 相互独立则：Cov(X,Y)06、相关系数：XY(X,Y)Cov(X,Y)D(X)D(Y)若 XY 相互独立则：XY 0即 XY 不相关7、协方差和相关系数的性质(1)Cov(X,X)D(X)Cov(X,Y)Cov(Y,X)(2)Cov(X1 X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)Cov(aX c,bY d)abCov(X,Y)48、常见数学分布的期望和方差分布0-1 分布B(1,p)二行分布B(n,p)泊松分布P()几何分布G(p)超几何分布H(N,M,n)均匀分布U(a,b)正态分布N(,2)指数分布E()5数学期望p方差p(1 p)np(1 p)np1p1 ppn2nMNMMN m(1)NNN 1ab2(ba)2122112五、大数定律和中心极限定理五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式)D(X)若E(X),D(X)2,对于任意 0有P X E(X)D(X或P X E(X)1222、大数定律：若X1 Xn相互独立且n 时，1n(1)若X1 Xn相互独立，E(Xi)i,D(Xi)i2i1n1Xi nDnE(X)ii1n且i21 M则：ni11Xi nPE(X),(n )ii1n1nP(2)若X1 Xn相互独立同分布，且E(Xi)i则当n 时：Xini13、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为2 0的独立同分布时，当 n 充分大时有：XYnk1nkn N(0,1)n(2)拉普拉斯定理：随机变量n(n 1,2)B(n,p)则对任意 x 有：xlim Pnnpnp(1 p)xx12et22dt (x)n(3)近似计算：P(a Xk b)P(ank1nXk1knbnnnn)(bnn)(ann)6六、数理统计六、数理统计1、总体和样本总体X的分布函数F(x)样本(X1,X22、统计量(1)样本平均值：X 1n(3)样本标准差：S Xn)的联合分布为F(x1,x2 xn)F(xk)k1ni1n1Xi (2)样本方差：Sn121(Xi X)n1i12nni1n(Xi2nX)21n11(Xi X)(4)样本k阶原点距：Akni12nXi1ki,k 1,2(5)样本k阶中心距：Bk Mk1n(Xi1ni X)k,k 2,3(6)次序统计量：设样本(X1,X2序重新排列，得到x(1)x(2)为 样 本(X1,X2 Xn)Xn)的观察值(x1,x2 xn)，将x1,x2 xn按照由小到大的次 x(n)，记取值为x(i)的样本分量为X(i)，则称X(1)X(2)X(n)的 次 序 统 计 量。X(1)min(X1,X2 Xn)为 最 小 次 序 统 计 量；X(n)max(X1,X2 Xn)为最大次序统计量。3、三大抽样分布(1)2分布：设随机变量X1,X2量2 X12 X22Xn相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则随机变2Xn所服从的分布称为自由度为n的2分布，记为22(n)性质：E2(n)n,D2(n)2n设X 2(m),Y 2(n)且相互独立，则X Y 2(m n)(2)t分布：设随机变量X N(0,1),Y 2(n)，且X 与 Y 独立，则随机变量：T 的分布称为自由度的n的t分布，记为T t(n)性质：Et(n)0,Dt(n)1ne,(n 2)lim t(n)N(0,1)nn22(x)222XY n所服从n1V n2(3)F分布：设随机变量U 2(n1),V 2(n2)，且U与V独立，则随机变量F(n1,n2)U服从的分布称为自由度(n1,n2)的F分布，记为F F(n1,n2)性质：设X F(m,n)，则1 F(n,m)X所7七、参数估计七、参数估计1、参数估计(1)定义：用(X1,X2,Xn)估计总体参数，称(X1,X2,Xn)为的估计量，相应的(X1,X2,Xn)为总体的估计值。(2)当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值2、点估计中的矩估计法：（总体矩=样本矩）离散型样本均值：X E(X)1n离散型参数：E(X)1n2i1nXi连续型样本均值：X E(X)xf(x,)dxXi1n2i3、点估计中的最大似然估计最大似然估计法：X1,X2,密度：f(x1,x2,基本步骤：似然函数：L()f(xi,)或Pi()i1i1nnnXn取自X的样本，设X 12,f(x,)或P(X Xi)P()则可得到概率nnxn,)f(x,)或P(X X,Xii1Xn xn)P(X x)P()iii1i1取对数：ln L ln f(Xi,)i1n解方程：lnL 0,lnL 0最后得：11(x1,x2,xn),kk(x1,x2,xn)1k8